第三课时图形及其基本性质。
9.1平面的基本性质第三课时 空间图形直观图的画法
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要点突破
典例精析
演练广场
解 ：点 C′的位置不对． ′ 的位置不对． 画法： 法一： (1)作 画法： 法一 ： 作 CD∥x 轴交 y 轴于点 D， ∥ ， 画对应轴 O′x′、 ′ y′， ∠ x′O′y′ ′ ′ O′ ′ 使 ′ ′ ′ ＝ 45°. 1 (2)在 x′ 轴上取 O′B′＝ OB，在 y′ 轴的负半轴上取 O′D′ ＝ OD，过 D′ 作 在 ′ ′ ′ ， ′ ′ ′ ， ′ 2 D′C′∥ ′轴且 D′C′＝ DC. ′ ′∥x′ ′ ′ ′∥ (3)连结 O′C′、 ′ C′， 并擦去辅助线， 连结 ′ ′ B′ ′ 并擦去辅助线， △ O′B′C′即为所画三角形的直观图． 则 ′ ′ ′即为所画三角形的直观图． 如 图．
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知识要点： 知识要点： 斜二测画法的理解及应用 (1)画图时要紧紧把握住一斜 画图时要紧紧把握住一斜 轴的线段， 画图时要紧紧把握住 一斜——在已知图形的 xOy 平面内垂直于 x 轴的线段，在直观 在已知图形的 两种度量形式， 图中均与 x′轴成 45°或 135°；二测 ′ 或 ；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或平行 两种度量形式 即在直观图中， ′ 于 z′轴的线段长度不变， 平行于 y′轴的线段长度变为原来的一半． ′ 轴的线段长度不变， ′ 轴的线段长度变为原来的一半． (2)画水平放置的平面图形的步骤为：画轴，取点，成图．图形中平行于 x 轴的线段 ，在 画水平放置的平面图形的步骤为： 轴的线段， 画水平放置的平面图形的步骤为 画轴，取点，成图． 直观图中保持不变， 轴的线段，长度变为原来的一半． 直观图中保持不变， 平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半 ． 画立体图形的直观图，在画轴时， 画立体图形的直观图 ，在画轴时，要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′，且 ′ ′ ′ ′ ′ 平行于 O′z′的线段， 长度不变，其他同平面图形的画法． ′ ′ 的线段，长度不变，其他同平面图形的画法． (3)空间几何体的直观图在数学中有重要作用 ，画得立体感强 ，在做题时立体关系就便于 空间几何体的直观图在数学中有重要作用 空间几何体的直观图在数学中有重要作用，画得立体感强， 观察，图形画得好，在科学实验和日常生活中也会大有作用． 观察，图形画得好， 在科学实验和日常生活中也会大有作用．
高一下数学 第03课时 正切函数的性质与图象
正切函数的性质与图象【知识要点】正切函数的性质与图象1．作正切函数的图象的两种方法(1)几何法：利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁琐． (2)三点两线法：“三点”是指，(),1,0,0,ππ,144⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，“两线”是指2πx =-和π2x =．在三点、两线确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在2π,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的简图，然后向左、向右扩展即得正切曲线．2．对正切函数性质的四点说明(1)研究正切函数的性质，首先要考虑正切函数的定义域，否则容易引起错误． (2)正切函数在整个定义域上不单调，但在每个单调区间上单调． (3)正切函数的值域为R ，但正切函数在定义域上无最值． (4)正切曲线x 轴的交点是正切函数的对称中心；直线()ππ2x k k +=∈Z 与x 轴的交点也是． 基本技能1．函数()y f x =和()y f x =图象的作法(1)作函数()y f x =的图象的步骤：①作出函数()y f x =在y 轴右侧的那部分图象；②函数()y f x =是偶函数，故将y 轴右侧的那部分图象对称到y 轴的左侧，保留y 轴右侧的部分，即得到函数()y f x =的图象．(2)作函数()y f x =的图象的步骤：①作出函数()y f x =的图象；②将x 轴下方的那部分图象翻折到x 轴上方，保留x 轴上方的部分，即得到函数()y f x =的图象．2．利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤(1)转化：利用诱导公式将角度化到同一单调区间内． (2)比较：利用单调性比较函数值的大小． (3)结论：按一定顺序写出其大小关系．3．求函数()tan A x y ωϕ=+定义域、周期、单调性的方法(1)定义域：由ππ2x k ωϕ+≠+，k ∈Z ，求出的x 的取值范围即为函数的定义域，即 π,π2x x k k ϕω⎧⎫+⎪⎪⎪⎪≠∈⎨⎬⎪⎪⎪⎩-⎪⎭R ．(2)周期性：利用周期性函数的定义或直接利用公式πT ω=来求．(3)单调性：在求函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A ≠，ω>0)的单调区间时，首先要用公式把x 的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈R ，求出x 的取值范围即可． 提醒：注意A 的正负对函数单调性的影响．【课堂新授】自主探究1．如图为正切函数3π3πtan ,,22y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象，根据图象回答下面的问题：(1)作正切函数ππtan ,,22y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象的三个关键点几两条直线是什么？(2)直线y a =与图象的两交点A 1，A 2之间的距离是多少？ (3)正切曲线与直线()ππ2x k k +=∈Z 存在怎样的关系？ 2．正切函数的性质根据正切函数的图象，探究下面的问题：(1)由正切曲线可知，正切函数的最小正周期为π，你能根据正切函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A >，ω>0)的周期推导出函数的周期吗？(2)结合正切函数的单调区间你能推导出函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A >，ω>0)的单调区间吗？(3)正切曲线是对称图形吗？对称中心是什么？ 理解正切函数的性质与图象 1．()n πta y x =+是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2．πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π3．函数()tan π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是__________，6πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 4．函数tan 2y x =最小正周期为__________． 5．函数tan y x =-的单调递减区间是__________．【典型例题】正切函数的图象及应用1．函数1π2tan 3x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭在一个周期内的图象是（）A ．B ．C ．D ．2．若集合π(,)π2,,2tan A x y y x x ⎧⎫⎛⎫∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩==⎭，{}(,)B x y y x ==，则A ∩B 中有____个元素．变式训练1．若函数tan 1x >，则x 的取值区间____________________． 2．函数πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为____________________．3．比较大小：tan 56π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 13tan 7π⎛⎫- ⎪⎝⎭．正切函数的性质3．与函数πtan 24y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+的图象不相交的一条直线是A ．π2x =B ．2πx =-C ．π4x =D ．π8x =4．函数(n 4)πta x f x ω⎛=-⎫ ⎪⎝⎭与函数()sin 24πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期相同，则ω=（）A ．±1B ．1C ．±2D ．25．tan 2与tan 3的大小关系是______________．变式训练4．函数13tan 23πy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心是（）A ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2π,3⎛- ⎝C ．02π,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,05．若函数tan 3)(3π0y ax a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≠=-的最小正周期为π2，则a =_______．【课堂练习】1．关于x 的函数f (x )=tan (x +φ)有以下说法：(1)对任意的φ，f (x )既不是奇函数也不是偶函数； (2)不存在φ，使f (x )既是奇函数又是偶函数； (3)存在φ，使f (x )是奇函数；(4)对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中不正确的说法的序号是 ．因为当φ= 时，该说法的结论不成立．【课外练习】1．求函数y =tan2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间()ππ,-内的图象．。
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
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30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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人教版小学五年级数学下册第3课时《图形与几何(1)》教案
人教版小学五年级数学下册第3课时《图形与几何（1）》教案一. 教材分析人教版小学五年级数学下册第3课时《图形与几何（1）》主要包括了平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质以及正方形的性质。
这些内容为学生提供了丰富的探究材料，让学生在探究中发现图形的性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
二. 学情分析五年级的学生已经学习了平面图形的初步知识，对平行四边形、矩形、菱形、正方形有了初步的认识。
但是，对于这些图形的性质，学生可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生观察、操作、推理，从而发现图形的性质。
三. 教学目标1.让学生掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。
2.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
3.培养学生的合作意识，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。
2.难点：发现并证明矩形、菱形、正方形的性质。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、操作、推理，发现图形的性质。
2.利用小组合作学习，培养学生的合作意识。
3.运用数形结合思想，帮助学生理解图形的性质。
六. 教学准备1.准备相关的图形卡片、课件等教学资源。
2.准备矩形、菱形、正方形的实物模型。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如停车场的设计、房间布置等，引导学生观察其中的平行四边形、矩形、菱形、正方形，激发学生的学习兴趣。
呈现（10分钟）教师展示矩形、菱形、正方形的实物模型，引导学生观察这些图形的特征，并与平行四边形进行对比，找出它们的共同点和不同点。
操练（15分钟）教师提出一些有关平行四边形、矩形、菱形、正方形性质的问题，如“平行四边形的对角相等吗？”“矩形的四个角都是直角吗？”等，让学生分组讨论，并进行操作验证。
巩固（10分钟）教师学生进行小组竞赛，看哪个小组能更快地判断出给定图形的性质。
同时，教师引导学生总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象和性质(第3课时) 课件
O
x
B
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二:
y x 2,当x 0时, y 2, N(0,2).
ON 2.
1
1
SONB
ON 2
x B
2 4 4, 2
y A
N
SONA
1 ON 2
xA
1 2 2 2. 2
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
y y = —kx
y=-x
y=x
0
12
x
.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A,B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A ,B ,C 三点, 111
边结OA,OB,OC,记OAA , OBB , OCC 的
（2）根据图象写出反比y例函数的值大于一次函数的值 的x的取值范围。
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
解（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上
4
∴k=4,
∴y= x
y
又∵点M（2，m）在反比例函数图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
∵点M、N都y=ax+b的图象上 M（2，m）
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式； （2）求出点D的坐标；
(3）利用图象直接写出当x在什 么范围内取何值时，y1>y2．
5、如图，已知反比例函数 y 12 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标
第三学段图形与几何
第三学段“图形与几何”的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。
一、图形的性质：包括 9 个基本事实、探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定义、命题、定理等内容。
1．关于“点、线、面、角”这部分内容主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础。
这里，有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”、“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，《标准》不要求进行角的倍、分的计算。
2．关于“相交线与平行线”（ 1 ）两条直线的位置关系有相交、平行两种，《标准》没有把两条直线重合作为第三种位置关系。
（ 2 ）两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。
这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系——两直线相交所成角的大小成为特殊值（ 90 °）时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。
（ 3 ）“两条直线相交，只有一个交点”，《标准》既没有把这个显然的结论作为基本事实（如作为基本事实，它与基本事实（ 1 ）不独立），也没有要求根据基本事实（ 1 ）用反证法加以证明。
（ 4 ）需要指出：《标准》没有把“两直线平行，同位角相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。
这样处理一是为了减少“基本事实”的个数；二是避免学生产生难以证明的结论就可以作为“基本事实”的误解。
这个定理的证明要运用反证法完成（参见《标准》附录 2 例 60 ），只要求学生“了解”。
（ 5 ）认别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。
这里，重要的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练；而是引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。
3．关于“三角形”（ 1 ）三角形内角和定理，是一个十分重要的定理。
第二学段要求学生“了解三角形内角和是 180 °”，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。
3平面及其基本性质
平面及其基本性质教学目标：掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.重点1.理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.基础扫描1．分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 2．下列命题中真命题的序号为（1）四边形是平面图形（2）有三个公共点的两个平面重合（3）两两相交的三条直线必在同一平面内（4）三角形必是平面图形3．角α与β的两边分别平行，当α70=︒时， β=4．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l.A 平行 .B 相交 .C 垂直 .D 互为异面直线 解题平台例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别在BC 、CD 上，且BG ：GC =DH ：HC =1：2 （1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面。
（2）设EG 与HF 交于点P ，求证：P 、A 、C 三点共线。
A CD BEF GH例2若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则下列正确的是.A 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 .B 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 .C 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 .D 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面例3正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是小结A BCD1A1B1C1D PQ R课后练习1．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 个。
2．在正方体ABCD A B C D -''''中，过对角线BD '的一个平面交AA '于E ，交CC '于F ，则① 四边形BFD E '一定是平行四边形; ② 四边形BFD E '有可能是正方形③ 四边形BFD E '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD E '有可能垂直于平面BB D '以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号） 3．对两条不相交的空间直线a 与b,必存在平面α,使得.A αα⊂⊂b a , .B b a ,α⊂∥α .C αα⊥⊥b a ,.D αα⊥⊂b a ,4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 条件5．空间四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，E 、F 为AB 、BC 的中点，G 、H 分别在CD 、DA 上，且CG ：GD=AH ：HD=λ（λ>0） (1)求证:点E 、F 、G 、H 共面；（2）若λ=2，求证：直线FG 、EH 、BD 相交于一点6．已知△ABC 在平面α外，三边AB 、BC 、CA 分别与平面α交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线.7．三个平面两两相交，得到三条交线，求证：（1）若其中两条交于一点P ，则P 也在第三条交线上； （2）若其中两条平行，则这三条交线两两平行。
3 简单的轴对称图形 第3课时 等腰三角形的性质(教材P50～51练习)
.
3或
22. [应用意识]（衢州中考变式）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提
出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有
槽的棒 OA ， OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动， C 点固定， OC ＝ CD ＝
DE ，点 D ， E 可在槽中滑动.若∠ BDE ＝75°，求∠ CDE 的度数.
F . 若△ AFC 是等边三角形，则∠ B ＝
30 °.
第12题
图
13. 如图所示，以正方形 ABCD 的边 AB 为边作等边△ ABE ，连接 DE ，则∠ AED
的度数为
15°
.
第13题
图
14. 如图，已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形.试说明： AE ＝ CD .
◉答案 解：∵△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形，∴ AB ＝ BC ， BE ＝ BD ，∠ ABC ＝
＋ CD ＝ AC ＋ CD ，所以 CE ＝ AC ＋ CD .
∠ DBE ＝60°.在△ ABE 和△ CBD 中， AB ＝ BC ，∠ ABE ＝∠ CBD ， BE ＝ BD ，∴△
ABE ≌△ CBD （SAS），∴ AE ＝ CD .
15. [一题多解：代换法·平移法]（招远期中）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A
＝30°，点 P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC . 若∠1＝∠2，则∠ BPC 的度数是
∠ BDE ＝105°，∴∠ CDE ＝105°－25°＝80°.
【母题探究——双等边三角形】
23. 母题：如图，△ ABC 是等边三角形， AD 是角平分线，△ ADE 是等边三角形，
第三课时 镜面对称
第三课时镜面对称1. 镜面对称的定义与特点镜面对称是指在平面上存在一个镜面，通过该镜面将物体分成两个完全对称的部分。
镜面对称是一种非常常见的对称性，不仅存在于自然界中的生物体和晶体结构中，而且在几何学和艺术中也有广泛应用。
镜面对称的特点包括：•对称轴：镜面对称存在一个对称轴，该轴是垂直于镜面的直线，分割物体成为两个完全镜像对称的部分。
•对称性：镜面对称对物体的每个点进行映射，使得每个点在镜面上的对称点仍然在物体中。
•物体特征：具有镜面对称的物体在不考虑旋转和平移的情况下，可以通过垂直于镜面的轴进行重叠。
2. 镜面对称在几何学中的应用在几何学中，镜面对称被广泛应用于描述和解决问题。
以下是镜面对称在几何学中的几个应用场景：对称图形的性质在平面几何中，具有镜面对称的图形具有以下性质：•边界线对称性：具有镜面对称的图形的边界线在镜面上具有镜像对称。
•内部点对称性：具有镜面对称的图形中的任意点和它在镜面上的镜像点，在该图形内部。
判断图形对称性通过识别图形是否具有镜面对称，可以判断图形的对称性。
对于平面上的任意图形，如果可以找到一个镜面，将该图形分割为两个完全对称的部分，则该图形具有镜面对称。
构造镜像图形通过已知图形上的镜面对称特征，可以构造出该图形的镜像图形。
通过绘制图形上的对称线，并在对称线上按照相同的距离标记出相应的点，从而构造出与原图形关于镜面对称的镜像图形。
3. 镜面对称在艺术中的运用镜面对称在艺术中也有广泛的运用。
以下是镜面对称在艺术中的几个应用场景：反映和夸张通过镜像的方式，艺术家可以反映现实世界中的事物并进行夸张。
通过使用镜面对称的技巧，艺术家可以制作出反射出现在两侧的图像，从而营造出极具视觉冲击力的效果。
平衡与和谐镜面对称还被用来实现画面的平衡与和谐。
通过将画面分为对称的左右两部分，艺术家可以在形式上实现平衡，从而给人们带来美的感受。
创造虚幻镜面对称还可以用来创造虚幻的效果。
通过借助对称的构图，艺术家可以创造出与现实世界不同的幻觉和虚拟感。
图形认识初步(第三课时)
例2
如图，图中共有多少条射线？其中可用 两个大写字母表示的有哪几条？
C A D B
判断对错： 例3 判断对错：
(1)经过两点有且只有一条直线； (2)直线是向两方无限延伸的； (3)线段和射线都是直线的一部分； (4)线段AB是点A与点B的距离； (5)若线段AB=a，BC=b，则AC=a+b .
点：表示一个物体的位置． 表示法： 表示法：用一个大写字母表示点，如点A．
北京 拉萨 上海
A
问题 如何表示直线？ 如何表示直线？
A B l
直线l；直线AB,直线BA．
问题 如何表示射线？ 如何表示射线？
A B
射线AB;射线l
问题 如何表示线段？ 如何表示线段？
A a B
线段AB；线段BA,线段a
今天测量线段的工具
——刻度尺和圆规
例6 画直线
（1） 平面上有三个点，过其中任意两点 画直线，可以画几条直线？ （2） 平面上有四个点，过其中任意两点画直 线，可以画几条直线？
例7
某小区有四座塔楼，为方便居民，准备
建一个便民商店，建在何处能使商店到四座楼的 距离之和最小？
D P A
C B
想一想 如何比较两条线段的长短？
重合比较法：把一条线段移到另一条线 段上去加以比较． 度量比较法：用刻度尺分别量出它们的 长短加以比较．
直线、射线、 直线、射线、线段的关系
直线
a
射线
A B
线段
A a B
图形
A
B
表示法
直线AB 直线BA 直线a 向两方无限 延伸
射线AB
线段AB 线段BA 线段 a 不延伸
人教版高中数学高一A版必修4 第一章第四节三角函数的图象与性质(第三课时)
第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]． 当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }， 由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }． 同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }． 函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数， 所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数， 所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)． 点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判． 例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间． 活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]． 由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]， 因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]． 点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )． 点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的． 解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]． 取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]， 故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．知能训练课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]． 点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值．4．B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性．这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案．数形结合是实现这一目标的最佳方法．5．(1)sin250°>sin260°；(2)cos 15π8>cos 14π9；(3)cos515°>cos530°；(4)sin(－54π7)>sin(－63π8)． 点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．6．[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . 点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x 的不等式，通过解不等式求得答案．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝－1＋sin x ＋cos 2x 1－sin x. 解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称．∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }． ∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sin α这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅．而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了．但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了．我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力．现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了．这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑．有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标．1．是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的．三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名．“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年．但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了．有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在．现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局，将三角并入了代数内容．这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重．从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是．这是由当时的数学认知水平决定的．而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”．现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写．所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点．2．是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的．大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差．调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量．把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本．3．国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”．他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了．德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sin x 、cos x 、tan x 和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)．另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限．从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍； 第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系．这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的．现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及．人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步．在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x )的单调减区间是( ) A ．[2k π－π12，2k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[4k π－5π3，4k π＋11π3](k ∈Z ) C ．[k π－5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) 答案：D2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( ) A ．{x |2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z } B ．{x |2k π－π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }∪{x |2k π＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z } 答案：A3．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lgsin x ；(2)y ＝2cos3x .答案：解：(1)由题意得sin x >0，∴2k π<x <(2k ＋1)π，k ∈Z .又∵0<sin x ≤1，∴lgsin x ≤0.故函数的定义域为[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x ≥0，∴2k π－π2≤3x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴2k π3－π6≤x ≤2k π3＋π6，k ∈Z . 又∵0≤cos x ≤1，∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[2k π3－π6，2k π3＋π6]，k ∈Z ，值域为[0,2]．。
【部编版小学数学】第3课时图形与几何(1)
第9单元总复习第3课时图形与几何(1)【教学内容】课本第116页的第2题，课本第119～120页的练习二十八第11～16题。
【教学目标】1.通过一视图和三视图摆放小正方体，进一步培养学生空间想象力。
2.进一步明确长方体、正方体的特征，理解长方体、正方体表面积和体积的含义，并正确计算。
3.能运用长方体、正方体的知识解决简单的问题。
【教学过程】一、知识梳理1.摆一摆。
（1）只给一个正面看到的正方体小木块堆成的图形，怎样摆？有多种摆法?（2）给出从正面、上面、左边看到的正方体小木块堆成的图形，怎样摆？有多种摆法吗?2.长方体和正方体。
（1）说一说长方体和正方体的特征。
将学生的回答填在空格中。
①长方体有个面。
②每个面是什么形状？③哪些面是完全相同的？④长方体有条棱。
⑤哪些棱长度相等？⑥长方体有个顶点。
⑦还有什么发现？（2）表面积。
学生看图解答：①上、下每个面是形，长，宽，面积是，两个面积和是。
②前、后每个面是形，长，宽，面积是，两个面积和是。
③左、右每个面是形，长，宽，面积是，两个面积和是。
④这个长方体的表面积是：。
⑤如果这个长方体箱子没有盖子，那么要扣除哪个面的面积？需要材料面积是多少？⑥如果要在这个箱子的四周贴上一圈包装纸，包装纸的面积是多少？扣除哪些面的面积？（3）体积。
学生看图回答问题。
（以上面的图为例）①这个箱子的容积是多少？可以怎么求？②长方体、正方体的体积公式是什么？（4）体积单位。
①常用的体积单位有哪些？②一般情况下升、毫升是用于什么单位？③说一说，你所了解的体积单位间的进率。
二、巩固练习完成课本第116页第2题。
完成课本117页第3题。
1.完成课本第120页的第16题。
此题是图形变换的习题，练习时，让学生在小组内说说图一是怎样变换得到图二的。
2.完成课本第119页的第11题。
练习时，由学生独立填写，然后全班反馈，反馈时，让学生再次说说表面积和体积的区别。
3.完成课本第119页的第12题。
通河县三中九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质学习目标1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．教学过程一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得A.b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得A.b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a 的取值范围是( )A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图像的综合识别已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图像如图所示，其中正确的是( )解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－b2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－b2a＜0，∴选项B，C错．故选择D.方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数)，再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图像的顶点坐标是( )A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图像的顶点为(1，－6)，故选择C. 方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图像经过A(2，0)、B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C，连接BA.BC，求△ABC的面积．解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y ＝－12x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x2＋4x －6. (2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6. 板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.反比例函数的图象与性质一、选择题1．下列图象中是反比例函数2yx=-图象的是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：反比例函数2yx=-图象的是C．故选：C．分析：此题考查了反比例函数的图象，掌握反比例函数图象的形状是解题关键．利用反比例函数图象是双曲线进行判断即可．2．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数kyx=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：①当k＞0时，一次函数的图象y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数图象经过一、三象限，如图所示：②当k＜0时，一次函数图象y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数图象经过二、四象限．如图所示：故选：A．分析：因为此题k的符号不确定，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．此题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．3．在同一直角坐标系中，函数ayx=-与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：∵a≠0，∴a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．故选：B．分析：因为a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论进行判断．直线y=kx+b、双曲线kyx=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．4．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数byx=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：解答：∵ab ＜0，∴分两种情况：①当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y =ax 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；②当a ＜0，b ＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D 符合．故选：D ．分析：根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案．掌握反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质是解答此类题的关键．5．若函数221()2my m x -=--是反比例函数，且图象在第一，三象限，那么m 的值是（ ）A ．±1B ．1C ．-1D ．2答案：C解析：解答：221()2m y m x -=--是反比例函数，∴221m-=-，12m-≠，解之得m=±1，又∵图象在第一，三象限，∴1()2m-->0，即m＜12，故m的值是-1．故选：C．分析：先根据反比例函数的定义得221m-=-，得出m的可能取值，再由反比例函数的性质得出最后结果．将反比例函数解析式的一般式kyx=（k≠0），转化为1y kx-=（k≠0）的形式，根据反比例函数的定义条件可以求出m的值，注意不要忽略k≠0这个条件．6．已知反比例函数2yx=，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜2 答案：B解析：解答：A．把点（1，2）代入反比例函数2yx=，成立．B．∵k=2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．C．∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．D．若x＞1，则y＜2，正确．故选：B．分析：根据反比例函数的性质用排除法解答．此题考查了反比例函数kyx=（k≠0）性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y 随x的增大而增大．7．在反比例函数1kyx-=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2答案：D解析：解答：反比例函数1kyx-=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，∴1-k＜0，∴k＞1．故选：D．分析：对于函数kyx=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．易错点：对解析式kyx=中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．8．反比例函数kyx=的图象如图所示，则k的值可能是（）A．-1 B．1 C．2D．1 2答案：D解析：解答：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选：D．分析：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断选择．9．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线3 yx =（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小答案：C解析：解答：设点P的坐标为（x，3x），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=12（PB+AO）•BO=12（x+AO）•3x=32+312AOx，∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．分析：由双曲线3yx=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式进行判定．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式是解题的关键．10．某反比例函数象经过点（-1，6），则下列各点中此函数图象也经过的是（）A．（-3，2）B．（3，2）C．（2，3）D．（6，1）答案：A解析：解答：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：（-1）×6=-6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是-6的，就是符合题意的选项；A ．（-3）×2=-6，故本选项正确；B ．3×2=6，故本选项错误；C ．2×3=6，故本选项错误；D ．6×1=6，故本选项错误；故选：A ．分析：只要把所给点的横纵坐标相乘，结果是（-1）×6=-6的，就在此函数图象上．此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征：所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．11．如果点A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （2，3y ）是反比例函数1y x =-图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ）A ．1y ＞3y ＞2yB ．3y ＞2y ＞1yC ．2y ＞1y ＞3yD ．3y ＞1y ＞2y答案：A解析：解答：：∵反比例函数的比例系数为-1，∴图象的两个分支在二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A 在第二象限，点B 、C 在第四象限，∴1y 最大，∵1＜2，y 随x 的增大而增大，∴2y ＜3y ，∴1y ＞3y ＞2y ．故选：A ．分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B 和点C 的纵坐标的大小．用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y 随x 的增大而增大．12．若反比例函数k y x=的图象经过点（m ，3m ），其中m ≠0，则此反比例函数图象经过（ ）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限答案：A解析：解答：：∵反比例函数k y x =的图象经过点（m ，3m ），m ≠0， ∴将x =m ，y =3m 代入反比例解析式得：3k m m =， ∴23k m =＞0，则反比例23m y x=图象过第一、三象限． 故选：A分析：由反比例函数k y x=的图象经过点（m ，3m ），其中m ≠0，将x =m ，y =3m 代入反比例解析式中表示出k ，根据m 不为0，得到k 总大于0，利用反比例函数图象的性质得到此反比例函数图象在第一、三象限．此题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的性质，掌握待定系数法是解此题的关键．13．如图，有反比例函数1y x =，1y x=-的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．条件不足，无法求答案：B解析：解答：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，∵圆的半径是2，∴图中阴影部分的面积是21222ππ⨯⨯=．故选：B ．分析：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，求出圆的面积，再除以2即可．能根据图象得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半是解答此题的关键．14．反比例函数5n y x +=图象经过点（2，3），则n 的值是（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．1答案：D解析：解答：设k y x=，将点（2，3）代入解析式， 可得n +5=6，即n =1．故选：D ． 分析：先设k y x=，再把已知点的坐标代入可求出k 值，进一步求出n 的值．主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．15．当x ＞0时，反比例函数2y x=-（ ） A ．图象在第四象限，y 随x 的增大而增大B ．图象在第三象限，y 随x 的增大而增大C ．图象在第二象限，y 随x 的增大而减小D ．图象在第一象限，y 随x 的增大而减小答案：A解析：解答：∵反比例函数2y x=-中的-2＜0， ∴该反比例函数经过第二、四象限；又∵x ＞0，∴图象在第四象限；y 随x 的增大而增大．故选：A ． 分析：反比例函数k y x=（k ≠0），当k ＞0时，其图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，其图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．此题考查了反比例函数的性质．二、填空题16．已知反比例函数1myx-=的图象如图，则m的取值范围是答案：m＜1解析：解答：由图象可得：k＞0，即1-m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．分析：根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小解答．反比例函数kyx=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．17．已知点P（1，2）在反比例函数kyx=的图象上，根据图象判断，当x＞1时，y的取值范围是答案：0＜y＜2解析：解答：由P点坐标及图象可知，当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜2．故答案为0＜y＜2．分析：由反比例函数的图象的性质，进行解答．此题考查了反比例函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．18．对于函数2yx=，当x＞2时，y的取值范围是答案：0＜y＜1解析：解答：根据反比例函数性质可知2xy=；且过一、三象限；因为x＞2；所以2y＞2；解得y＜1且y＞0；即0＜y＜1．所以y的取值范围是0＜y＜1．分析：此题可结合函数图象列不等式求解．主要考查了反比例函数的性质．19．如图，一次函数11y x =-与反比例函数22y x =的图象交于点A （2，1）、B （-1，-2），则使1y ＞2y 的x 的取值范围是答案：x ＞2或-1＜x ＜0解析：解答：由图象易得在交点的右边，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的函数值，∵两图象交于点A （2，1）、B （-1，-2），∴使1y ＞2y 的x 的取值范围是：x ＞2或-1＜x ＜0．分析：找到在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的值．用到的知识点为：求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．20．如图，是反比例函数1k y x =和2k y x=（1k ＜2k ）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则21k k -的值为答案：4解析：解答：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：1k =ab ，2k =cd ，∵2AOB S ∆=，∴12cd -12ab =2， ∴cd -ab =4，∴2k -1k =4，故答案为：4．分析：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到1k =ab ，2k =cd ，根据三角形的面积公式求出cd -ab =4，即可得出答案．此题能求出cd -ab =4是解此题的关键．三、解答题21．已知反比例函数k y x=的图象经过点（-1，-2）． （1）求y 与x 的函数关系式；答案：2y x= （2）若点（2，n ）在这个图象上，求n 的值．答案：（2）n =1解析：解答：（1）∵点（-1，-2）在反比例函数k y x =上， ∴k =-1×（-2）=2，∴y 与x 的函数关系式为2y x=． （2）∵点（2，n ）在这个图象上∴2n =2∴n =1．分析：（1）根据点（-1，-2）的坐标用待定系数法求反比例函数k y x=的函数关系式；（2）把点（2，n ）代入函数关系式求出n 的值．反比例函数上的点的横纵坐标的积相等．22．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k y x=过点A ，求k 的值．答案：-4解析：解答：根据题意，知|k |=22=4，k =±4，又∵k＜0，∴k=-4．分析：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|，由此求解．主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．23．已知反比例函数kyx=的图象经过点M（2，1）（1）求该函数的表达式；答案：2 yx =（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．答案：12＜y＜1解析：解答：（1）∵反比例函数kyx=的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，∴该函数的表达式为2yx =；（2）∵2yx =，∴2xy =，∵2＜x＜4，∴2＜2y＜4，即12＜y＜1．分析：（1）用待定系数法把（2，1）代入反比例函数kyx=中得k的值，从而得到解析式；（2）由2yx=得2xy=，再根据条件2＜x＜4得2＜2y＜4，最后解不等式即可．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，正确确定函数解析式是解题的关键．24．已知反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．（1）求这个函数的解析式；答案：6y x= （2）判断点B （-1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； 答案：点B 不在该函数图象上｜点C 在该函数图象上（3）当-3＜x ＜-1时，求y 的取值范围．答案：-6＜y ＜-2解析：解答：（1）∵反比例函数k y x =（k 为常数，k ≠0）的图象经过点A （2，3）， ∴把点A 的坐标代入解析式，得32k =， 解得，k =6， ∴这个函数的解析式为：6y x=； （2）∵反比例函数解析式6y x =， ∴6=xy ．分别把点B 、C 的坐标代入，得（-1）×6=-6≠6，则点B 不在该函数图象上．3×2=6，则点C 在该函数图象上；（3）∵当x =-3时，y =-2，当x =-1时，y =-6，又∵k ＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当-3＜x ＜-1时，-6＜y ＜-2．分析：（1）把点A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k 的值．（2）把点B 、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．25．反比例函数k y x =在第一象限的图象如图所示，过点A （1，0）作x 轴的垂线，交反比例函数k y x=的图象于点M ，△AOM 的面积为3．（1）求反比例函数的解析式； 答案：6y x= （2）设点B 的坐标为（t ，0），其中t ＞1．若以AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数k y x=的图象上，求t 的值． 答案：7或3解析：解答：（1）∵△AOM 的面积为3， ∴12|k |=3， 而k ＞0，∴k =6， ∴反比例函数解析式为6y x=； （2）当以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点D 在反比例函数6y x =的图象上，则D 点与M 点重合，即AB =AM ，把x =1代6y x=得y =6， ∴M 点坐标为（1，6），∴AB =AM =6，∴t =1+6=7；当以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点C 在反比例函数6y x=的图象上， 则AB =BC =t -1，∴C 点坐标为（t ，t -1），∴t （t -1）=6，整理为2t -t -6=0，解得1t =3，2t =-2（舍去），∴t=3，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数kyx=的图象上时，t的值为7或3．分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到12|k|=3，得到满足条件的k=6，从而得到反比例函数解析式为6yx=；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数6yx=的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数6yx=的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-1，则C点坐标为（t，t-1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．21位似一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列每组的两个图形不是位似图形的是( )A．B．C．D．2．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点O B．点P C．点M D．点N第2题图第3题图3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
提高练习
设计一些需要运用二次函数性质解决的问题，如求最值、判断单调性等，让学生在实践中加深 对二次函数性质的理解。
课堂小结
总结本节课所学的二次函数的图像和性质，强调这些知 识点在后续学习中的重要性。
布置作业：针对本节课所学内容，布置适量的练习题和 思考题，以便学生进一步巩固和拓展所学知识。
如何激发学生的学习兴趣和积极性
采用生动有趣的教学案例 ，将抽象的数学知识与现 实生活相结合，激发学生 的学习兴趣。
组织学生进行小组讨论和 合作学习，鼓励学生积极 参与课堂互动，提高学生 的课堂参与度。
设计具有挑战性的数学问 题，激发学生的求知欲和 探索精神，培养学生的数 学思维能力。
及时给予学生积极的反馈 和鼓励，肯定学生的进步 和成绩，增强学生的自信 心和学习动力。
02 实际应用
二次函数在现实生活中的应用广泛，如抛物线型 桥梁的设计、经济领域的最优化问题等。
03 培养数学思维
学习二次函数有助于培养学生的数形结合思维、 方程思想和分类讨论思想等。
教学目标与要求
01 知识与技能
掌握二次函数的图像特征，理解其性质，能够运 用性质解决问题。
02 过程与方法
通过观察、比较、归纳等方法，探究二次函数的 图像和性质。
05
组织学生进行小组讨论和合作学习，鼓励学生互相交流和 分享学习成果。
06
设计有针对性的课堂练习和作业，帮助学生巩固所学知识 并提高其解题能力。
03
教学过程设计
导入新课
回顾旧知
简要回顾上节课所学的二次函数的基本概念，包括二次 函数的定义、标准形式等。
引入新课
对数函数及其性质(三)
对数函数及其性质第3课时2018年___月___日【教学目标】1.掌握对数函数的图像及基本的性质；2.会利用图形的变换画对数型函数的图像；3.会利用对数函数的单调性解对数不等式。
【教学重难点】换画对数型函数的图像；解对数不等式。
【教学过程】一、复习对数函数的定义、图像及性质二、对数函数的图象变换例1 画出函数y＝lg|x－1|的图象.解：(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).跟踪训练：画出函数y＝|lg(x－1)|的图象.三、对数不等式的解法例2： 解下列不等式：（1）3log 2x > （2）12log (21)3x ->例3 已知函数f (x )＝log a (1－a x )(a ＞0，且a ≠1).解关于x 的不等式：log a (1－a x )＞f (1).解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a ).∴1－a ＞0.∴0＜a ＜1.∴不等式可化为log a (1－a x )＞log a (1－a ).∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a x ＞0，1－a x ＜1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x ＜1，a x ＞a ，∴0＜x ＜1. ∴不等式的解集为(0,1).反思与感悟 对数不等式解法要点(1)化为同底log a f (x )＞log a g (x )；(2)根据a ＞1或0＜a ＜1去掉对数符号，注意不等号方向；(3)加上使对数式有意义的约束条件f (x )＞0且g (x )＞0.【课堂小结】【课后作业】预做世纪金榜课时作业二十一。
《二次函数的图像和性质》第三课时教案
5.4二次函数的图像和性质(3)教材分析：本节课是在学习了二次函数y=ax 2+k,y=a(x-h)2的图象和性质的基础上的再一次提高和升华，是在探索抛物线y=ax 2+k,y=a(x-h)2与y=ax 2的关系基础上，进一步讨论更一般的二次函数y=a(x-h)2+k 的性质，在本章中起到承前启后的作用．教学设想：在本节中，要让学生充分的参与到课堂学习中来，让学生成为学习的主人，鼓励学生自己动手，大胆猜想，敢于归纳，由此培养学生的归纳能力与逻辑思维能力． 教学目标：知识与技能：1．正确理解经过x 轴与y 轴的平移，可由抛物线y=ax 2得到y=a(x-h)2+k ．2．理解二次函数y=a(x-h)2+k 图象和性质，并能够利用性质解决相关问题．过程与方法：经历探索抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．教学重难点：重点：抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系及二次函数y=a(x-h)2+k 的性质.难点：应用抛物线y=a(x-h)2+k 的性质解决相关问题.课前准备教具准备 教师准备PPT 课件课时安排：4课时教学过程：知识回顾：（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（2）抛物线 与抛物线有什么关系？ 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x =－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_____，对称轴是___________，顶点是_____________．可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ． 【设计意图】：通过对二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标以及相互关系的回顾，为引入本节课的教学做好准备.合作探究: 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象221,1y x y x =+=-221,1y x y x =+=-2y x =()2112y x =-+()2112y x =--212y x =-()2112y x =-+212y x =-()2112y x =--画出函数 的图象， 解：(1)作函数 的图象： (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．抛物线 的开口方向向下、对称轴是 x =－1，顶点是（－1，－1）． (3)抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 向下平移1个单位，再身左平移1个单位，得到的． 归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的关系一般地,由y =ax ²的图象便可得到二次函数y =a (x -h )²+k 的图象:y =a (x -h )²+k (a ≠0) 的图象可以看成y =ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k 的值有关.归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 的性质归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的区别与联系1．相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小.2．不同点:(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x= h 和y 轴.(3)最值不同:分别是k 和0.3．联系: y=a(x-h)²+k(a ≠0) 的图象可以看成y=ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例1:试讨论二次函数 的性质 解:由函数 的表达式可知，它有以下性质 ()21112y x =-+-()21112y x =-+-212y x =-()21112y x =-+-()522y =-x +3-2()522y =-x +3-2（1）图象是抛物线(2)对称轴为直线x=-3（3）顶点是图象的最高点，坐标为(-3,-2)(4)当x<-3时，函数值随x的增大而增大；当x>-3时，函数值随x的增大而减小.【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.解:（1）a =2>0开口向上,对称轴为x=－3,顶点坐标为(-3,5)（2）a =－3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为（1,－2）（3）a =4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）（4）a =－5<0开口向下,对称轴为x=－2,顶点坐标为(-2,-6).课堂小结:本节课学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质作业:课本 P.38第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(3)知识回顾：合作探究：二次函数y=a(x-h)²+k的图象归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系归纳：二次函数y=a(x-h)²+k的性质归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的区别与联系例1。
平面与平面垂直》(第3课时)
1．从空间一点 P 向二面角 α－l－β 的两个面 α，β 分别作垂线
PE，PF，E，F 为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平
面角的大小是
()
A．60°
B．120°
C．60°或 120°
D．不确定
解析：若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120°；
若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60°. 答案：C
答案：C
题型一 二面角及其平面角的概念
[ 学透用活]
[ 典例 1] 下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面 角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，
分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与
了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固 定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能 保证墙面与地面垂直． (1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平
面，那么这些平面与已知平面有何关系？ 提示：垂直．
(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？ 提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．
提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB ＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与 角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)平面 α 和 β 分别过两条互相垂直的直线，则 α⊥β.( )
(2)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内两条平行线，则
α⊥β.
2．在二面角 α－l－β 的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是二面
角 α－l－β 的平面角，则必须具有的条件是
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学生独立完成后交流。
教师注意讲评
教师注意讲评
小结
提高
1、回顾本节课的活动过程：
2、本节课学到了哪些知识和方法？
学生讨论回答
布置
作业
教材第25页习题2、3。
反
思
（2）将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG=°，
BF=cm.
（3）将面积为30cm2的等腰直角三角形ABC向下平移20cm，得到△MNP，则△MNP是三角形，它的面积是cm2.
2、图中小船经过平移到了新的位置，你发现少了什么？请补上.
3、 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD＜BC，要探究∠B与∠C的关系，可以采用平移的方法(如图2、3)。请你分别说明图形的形成过程，同时判断∠B与∠C的关系并叙述理由，你还有其他方法吗？请在图1中画出你的方案。
第3教时图形的平移练习
教学程序设计：
程序
教师活动
学生活动
备注
创设
问题
情景
前面你学到了什么？举例
举一些生活中平移的实例。
探
究
新
知
1ห้องสมุดไป่ตู้
例：图中的四个小三角形都是等边三角形，边长为2cm，能通过平移△ABC得到其它三角形吗？若能，请画出平移的方向，并说出平移的距离.
随堂练习：（投影）
1、填空：
（1）将线段AB向右平移3cm得到线段CD，如果AB=5 cm，则CD=cm.