3.2古典概型(2)
2013宿迁市剑桥国际学校高二数学必修班教案：3.2《古典概型(2)》
3.2古典概型（2）
教学目标：
1．进一步理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；
2．了解实际问题中基本事件的含义；
3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．
教学重点：
能用古典概型计算比较复杂的背景问题．
教学难点：
能用古典概型计算比较复杂的背景问题．
教学方法：
问题教学；合作学习；讲解法；多媒体辅助教学．
教学过程：
一、问题情境
如何判断一个试验是否为古典概型？古典概型的解题步骤是什么？
二、学生活动
一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性；
古典概型的解题步骤是：
（1）判断概率模型是否为古典概型；
（2）找出随机事件A中包含的基本事件的个数m和试验中基本事件的总数n；
（3）计算P(A)．
三、数学运用
1．例题．
例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投郑这两颗正四面体玩具的试验，试写出：（1）试验的基本事件的总数；
（2）事件“出现点数之和大于3”的概率；
（3）事件出现点数相同的概率．
（3）从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为_________．
（4）口袋中有形状、大小都相同的一只白球和一只黑球，现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球．一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果．
四、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．进一步理解古典概型的概念和特点；
2．进一步掌握古典概型的计算公式；
3．能运用古典概型的知识解决一些实际问题．。
3.2.1古典概型 (2)
最终，这个囚犯就这样利用概率的原理和一点运气得以 死里逃生。
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
我们将具有这两个特征的概率模型称为 古典概率模型
简称：古典概型
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
问题4：向一个圆面内随机地投射一个点， 你认为这是古典概型吗？为什么？
有限性
等可能性
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
问题5：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验
的结果有：“命中10环”、“命中9环”、“命中8
31 P( A)
62
P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”)
= 111 1 666 2
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
古典概型的概率计算公式：
P(A)
A包含的基本事件的个数 试验的基本事件的总数
使用古典概型概率公式求概率的步骤： （1）判断是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的 个数和试验中基本事件的总数。
【例1】单选题是标准化考试中常用的题型， 一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个准 确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以 选择惟一正确的答案．假设考生不会做，他随 机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
解：基本事件共有4个：选择A、选择B、选择 C、选择D．“答对”的基本事件个数是1个．
设事件A为：“他任选一个选项，选对”
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现 哪几种基本事件？ 2 种
3.2古典概型
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ 7
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
变式1：两数之和不 变式1 低于10 10的结果有多少 低于10的结果有多少 种？两数之和不低于 10的的概率是多少 的的概率是多少？ 10的的概率是多少？
设“摸出两个球都是红球”为事件A 摸出两个球都是红球”为事件A 中包含的基本事件有10个 则A中包含的基本事件有 个， 因此 P ( A) = 中包含的基本事件有
m 10 5（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（6， ） （6，7）、（ ，8） ， ）、（ （7，8） ， ）
古典概型
【解题指南】(1)可以利用树状图写出所有不同的结 果.(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利 用古典概型的概率计算公式求出.(3)找出至少摸出1个 黑球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出.
【解析】(1)用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.
共3个基本事件;事件A包含(1,2),(2,3),共2个基本事件,
则P(A)= 2 .
3
答案: 2
3
【知识探究】 探究点1 基本事件 1.掷一枚质地均匀的硬币两次,观察哪一面向上.基本 事件有哪些? 提示:基本事件有4个,即正正、正反、反正、反反. 2.事件A=“恰有一次正面向上”包含哪些试验结果? 提示:正反、反正.
3.从集合{1,2,3,4}中任取两个元素,可能的结果数
为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选D.从集合{1,2,3,4}中任取两个元素,则可
能的结果为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},
共6个.
4.若书架上放有中文书五本,英文书三本,日文书两本,
则抽出一本外文书的概率为 ( )
2.方法一(列举法): (1)用(x,y)表示结果,其中x表示骰子第1次出现的点数, y表示骰子第2次出现的点数,则试验的所有结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
2021学年高中数学第3章概率32古典概型321古典概型322整数值随机数randomnumber
19
0.35 [ 抛 掷 这 枚 硬 币 三 次 恰 有 两 次 正 面 朝 上 的 有 010,010,100,100,010,001,100 共 7 组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次 正面朝上的概率可以为270＝0.35.]
20
合作 探究 释疑 难
21
基本事件及其计数问题
【例 1】 连续掷 3 枚硬币，观察落地后 3 枚硬币是正面向上还 是反面向上．
(1)写出这个试验的所有基本事件； (2)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
22
[解] (1)由树形图表示如下：
23
试验的所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反， 正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反， 反，反)．
(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下 3 个基本事件：(正，正，反)， (正，反，正)，(反，正，正)．
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基 本事件？是古典概型吗？
(3)求所取卡片标号之和小于 4 的概率．
30
思路点拨：先列举出基本事件，紧扣古典概型的特点加以判断， 再用古典概型概率公式求相应概率．
31
[解] (1)基本事件为(红 1，红 2)，(红 1，红 3)，(红 1，蓝 1)，(红 1，蓝 2)，(红 2，红 3)，(红 2，蓝 1)，(红 2，蓝 2)，(红 3，蓝 1)，(红 3，蓝 2)，(蓝 1，蓝 2)共 10 种，由于基本事件个数有限，且每个基 本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．
3．理解用模拟方法估计概率的实质， 率，提升数学抽象素养.
会用模拟方法估计概率．(重点)
4
自主 预习 探新 知
古典概型2学案
3.2.1（2）古典概型学案
一、学习目标：
（1）复习古典概型的概念与特点与概率计算公式
（2）掌握古典概型的概率计算方法
二、自学过程：
1.基本事件的特点⑴
⑵
2.列举基本事件时按一定规律，使做到“既不重复，也不”
3.古典概率模型的特点⑴
⑵
4.在古典概型中，随机事件的概率公式
5.总结P127例3求概率的方法：①编号②写出所有结果③观察结果，计算。
6.阅读P128例4，从概率角度探讨以下问题：
⑴密码的位数多少和银行卡的安全性有什么关系？
⑵为什么自动取款机不能无限制的让用户试密码？
⑶怎么设置密码更安全？
7.按要求列出P129例5的30种基本事件，并在事件A包含的基本事件下面画横线。
回答：事件A包含的基本事件有多少个？
9.在20瓶饮料中，有两瓶已经过了保质期。
从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率是多少？
10.在夏令营的7名同学中，有3名已经去过北京，从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？（①编号②写出所有结果③观察结果，计算。
）
11.有5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取2本，取出的书恰好都是数学书的概率是多少？（①编号②写出所有结果③观察结果，计算。
）。
高中数学人教A版必修三课件3.2.2古典概型 (整数值)随机数的产生2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2从甲、乙、丙、丁4人中,任选3人参加志愿者活动,请
用随机模拟的方法估计甲被选中的概率.
解:用1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁四人.
利用计算器或计算机产生1到4之间的随机数,每三个一组,每组
中数不重复,得到n组数,统计这n组数中含有1的组数m,则估计甲被
机产生的0或1,这样我们就很快就得到了100个随机产生的0,1,相当
于做了100次随机实验.
4.如果需要统计抛掷一枚质地均匀的骰子30次时各面朝上的频
数,但是没有骰子,你有什么办法得到实验的结果?
提示由计算器或计算机产生30个1~6之间的随机数.
课前篇自主预习
5.一般地,如果一个古典概型的基本事件总数为n,在没有实验条
321230
就相当于做了25次实验,在每组数中,如果恰有3个或3个以上的
数是0,则表示至少答对3道题,它们分别是
001003,030032,210010,112000,共有4组数,由此可得该同学6道选择
4
题至少答对3道的概率近似为 =0.16.
25
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟如果事件A在每次实验中产生的概率都相等,那么可以
③则任取一球,得到白球的概率近似为 .
(2)步骤:
①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一
组(每组中数不重复),统计组数为n';
②统计这n组数中,每组三个数字均小于6的组数m';
′
③则任取三球,都是白球的概率近似为 .
古典概型的定义—课例研究【教学研究】
3.2 古典概型（2课时） 3.2.1古典概型的定义一、教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=（3）了解随机数的概念；（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法： （1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：正确理解掌握古典概型及其概率公式；三、学法与教学用具：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯．四、教学设想：1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。
师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？2、基本概念：（1）基本事件、古典概率模型； （2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=．总的基本事件个数包含的基本事件个数A 总的基本事件个数包含的基本事件个数A3、例题分析： 课本例题略例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点）， 其包含的基本事件数m=3 所以，P （A ）====0.5 小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点： （1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏。
高一数学人教A版必修3课件：3.2.1 —3.2.2古典概型2
练习： 用三种不同的颜色给图中的3个矩形 随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求 (1)3个矩形的颜色都相同的概率; (2)3个矩形的颜色都不同的概率.
解 ： 本题的等可能基本事件共有27个 (1)同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 =1/9;
(2)不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 =2/9
例、某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随 机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉， 问第二次才能打开门的概率是多少？ 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？ 有无放回问题
在前面学习中,同学们做了大量的试验,有没 有其他的方法可以代替试验呢?
3.2.2(整数值)随机数的产生
要产生1～25之间的随机整数,怎么做? 抛掷硬币试验. 称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方 法或蒙特卡罗方法.
=IF(OR(AND(A1<4,B1<4,C1>3),AND(A1<4,B1>3, C1<4),AND(A1>3,B1<4,C1<4)),1,0)
=IF(OR(AND(A1<4,B1<4,C1>3),AND(A1<4,B1>3,C1<4),AND(A1> 3,B1<4,C1<4)),1,0)
（2）标签的选取是有放回的。
有无放回问题。
Hale Waihona Puke 2.一个密码箱的密码由5位数字组成，五个 数字都可任意设定为0-9中的任意一个数 字，假设某人已经设定了五位密码。 (1)若此人忘了密码的所有数字，则他一 次就能把锁打开的概率为____________ 1/100000 (2)若此人只记得密码的前4位数字，则一 次就能把锁打开的概率____________ 1/10
3.2古典概型
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
10/20
小结: 利用古典概型的计算公式时应注意两点： （1）所有的基本事件必须是互斥的； （2）m为事件A所包含的基本事件数，
求m值时，要做到不重不漏。
11/20
例2 单选题是标准考试中常用的题型，一般是从 A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如 果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确 的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答 案，问他答对的概率是多少？
3 7 8 A. B. C. 5 15 15
D.1
4.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm， 从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维 的概率是（ ）
30 A. 40 12 B. 40 12 C. 30
D.以上都不对
17/20
5.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的,2个 是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是
解： “答对” 所包含的基本事件的个数 P（“答对”）=—————————————— 4 =1/4=0.25
12/20
例3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问: (1) 共有多少种不同的结果? (2) 两数之和是3的倍数的结果有多少种?
(3) 两数之和是3的倍数的概率是多少?
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
1 A． 5 1 B． 4 4 C． 5 1 D． 10
6.在大小相同的5个球中，2个是红球，3个 是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中 至少有一个红球的概率是 。 7.抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的 概率。
18/20
19/20
1.从两位正整数中任取一个数x,则 log 2 x 也 是正整数的概率是_________.
高中数学必修3第三章：概率3.2古典概型
验，如果这2个元素没有顺序，那么这次试验共有
nn－1 2
个
基本事件；如果这2个元素有顺序，那么这次试验有n(n－1)
个基本事件．可以作为结论记住(不要求证明)，在选择题或
填空题中可以直接应用．
计算基本事件个数的常用法
1.列举法 列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件 个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举即可得出随 机事件所含的基本事件数．但列举时必须按一定顺序，做到 不重不漏．
球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a)
(b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b)
(c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c)
(d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a) 与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
新课引入 “三门问题”是美国一个经典的电视游戏节目，内容如 下：现有三扇门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇门后 各有一只羊，参赛者选中车门就得车，选中羊门就得羊，首 先参赛者选一扇门，然．后主持人故意打开剩下两门中的一 扇羊门(主持人知道车在何处)，接着主持人给参赛者选择机 会，是坚持原门还是换另一扇门？
[解析] 第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10] 内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限 性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个， 而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能 性；
第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概 型；
【数学】3.2《古典概型(2)》课件(北师大版必修3)
P(A)=12/24=0.5
模型2 模型 利用试验结果的对称性,因为是计算 因为是计算“ 利用试验结果的对称性 因为是计算“第二个人 摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人 摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人 摸球的情况, 摸球的情况
2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 2 2
2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2
1 2 2 1
1 1 2 1
总共有 24种结 种结 果，而 第二个 摸到红 球的结 果共有 12种。 种
3.抛掷两枚均匀的骰子 出现数字之积为 抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为 抛掷两枚均匀的骰子 偶数与出现数字之积为奇数的概率分别 27/36 、______. 是_____、9/36
1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36
§3.2 古典概型
温故知新 1.古典概型的概念 古典概型的概念 1)试验的所有可能结果 试验的所有可能结果( 基本事件)只有 1)试验的所有可能结果(即基本事件 只有 只出现其中的一个结果 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能性相同。 每一个结果出现的可能性相同 2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率公式 古典概型的概率公式 m( A包含的基本事件数 ) P( A ) = n( 基本事件总数 ) 3.列表法和树状图 列表法和树状图
3.2.1古典概型 (2)
2 求摸出两个球都是红球的概率；
3求摸出的两个球一红一黄的概率。
变式1：求摸出两个球恰有一个是红球的概率；
变式2：求摸出两个球至少有一个是红球的概率；
变式3：求摸出两个球至多有一个是红球的概率；
变式4：将上题“依次摸出”改为“一把摸出”，结果一样吗？有多少个基本事件？
变式5：将上题“取出后不放回”改为“每次取出后放回”，结果一样吗？
古典概型（题单）
（一）掷骰子问题：
1.掷一粒均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率是多少呢？
2、将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。
（1）共有多少个基本事件?
（2）两数之Biblioteka 是5包含哪些基本事件？（3）两数之和是5的概率是多少？
变式：两数之和是3的倍数的概率是多少？
思考：（1）“将一个骰子先后抛掷2次”和“同时掷两粒骰子”,结果一样吗？基本事件数是多少？
练习2（2013广东理17）
某车间共有 名工人，随机抽取 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 名工人中有几名优秀工人；
(3)从该车间 名工人中，任取 人，求恰有 名优秀工人的概率.
（2）“将一个骰子先后抛掷k次”和“同时掷k粒骰子”的基本事件数呢？
练习1（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．
（二）摸球问题：
1.一个口袋内装有大小和形状完全相同的4个红球和2个黄球，从中依次摸出两个球，每次取出后不放回。
3.2 古典概型
张喜林制3.2 古典概型教材知识检索考点知识清单1．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)= ．2.古典概型试验有两个共同的特征是： (1) ．在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． (2) ．每个基本事件发生的可能性是均等的．3.我们把由事件A 和B 所构成的事件D 称为事件A 与B 的 （或 ），记作B A D =（或⋅=)AB D4．在古典概型情况下的概率的一般加法公式为=)(B A P 要点核心解读1．古典概型(1)古典概型的定义．我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件有有限个；②每个基本事件发生的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)古典概率模型的概率求法，如果一次试验中等可能的基本事件共有n 个，那么每一个等可能的基本事件发生的概率都是;1n 如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，那么事件A 发生的概率为nm A P =)( 注意：①运用公式时，一定要检验事件是否为古典模型，即是否满足有限性和等可能性两个条件， ②公式也可由以下方法得出：某一事件共有n 个基本事件，其中事件A 包含的基本事件有m 个，则P （“事件A 发生”）+P （“事件A 不发生”）=1，．．．P(“事件A 发生”)=1 - P(“事件A 不发生”)．2．古典概型的理解(1)古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，深入理解等可能性事件必须抓住以下三个特点：第一，对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；第二，对于这有限个不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的；第三，求事件的概率可以不通过大量重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可．因此，必须分清事件是否为等可能性事件，以免与后面学习的其他事件及其概念混淆．nm A P =)()2(既是等可能性事件的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法，根据这个公式计算概率时，关键在于求出n ，m ，因此，首先要正确理解基本事件与事件A 的相互关系，一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．特别要强调指出，一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果．如果同时抛两个硬币，一共出现四个等可能的结果：正正、反反、正反、反正，而不能把一正一反看做一个基本事件（因为这一事件包括“正反”“反正”这两种结果），否则基本事件就不等可能了．而事件A 则不同，它可能仅含一个基本事件，也可能包含多个基本事件，因此在求n 时必须强调n 个基本事件必须等可能，否则n 就求错了，同时在求m 时，事件A 中包含的每个基本事件也必须是等可能的.(3)用集合的观点来考查事件c4的概率，有利于帮助学生生动、形象地理解事件A 与基本事件的关 系，有利于理解公式nm A P =)(如图3 -2 -1所示，把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合，，其中每一个结果就是，中的一个元素，把含m 个结果的事件A 看做含有m 个元素的集合，则事件A 是集合，的一个子集，则有nm I card A card A P ==)()()(3．概率的一般加法公式（选学）(1)事件A 与B 的交（或积）．我们把由事件A 和B 同时发生所构 成的事件D ，称为事件A 与B 的交（或积），记作).(AB RD B A D ==(2)概率的一般加法公式．当A ，B 不是互斥事件时：的基本事件总数中包含的基本事件数Ω=B A B A P )( 基本事件的总数中基本事件的个数中基本事件的个数中基本事件的个数Ω-+=B A B A),()()(B A P B P A P -+=⋅-+=)()()()(B A P B P A P B A P 即注：该公式也适合A ，B 为互斥事件的情况，因为.0)(=B A P4．古典概型的概率的求法(1)古典概型的概率的求法有两种： ,)(nm A P =①其中n 为试验所产生的等可能基本事件的总个数，m 为事件A 所包含的等可能的基本事件的个数；,)()()(I card A card A P =②其中card(A)表示事件A 包含的所有结果组成的集合A 中的元素个数，card (I)表示试验所产生的所有结果组成的集合，的元素个数．(2)利用概率的古典定义来求等可能事件概率的步骤：①算出基本事件的总个数n ；②算出事件A 中包含的基本事件的个数m;③算出事件A 的概率，即nm A P =)(典例分类剖析考点1 古典概型的定义[例1] (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内的任意一点都是等可能的，这是古典概型吗？(2)某射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，……，命中1环和命中0环（即不命中）．你认为这是古典概型吗？[答案] 依据古典概型的定义判断．(1)不是古典概型，因为事件的个数不是有限个．(2)不是古典概型．因为每一事件发生的可能性不相等．[点拨] 古典概型中要求的有限性和等可能性缺一不可．1．从全班20名男生、30名女生共50名同学中选一名作为班长，选出的班长要么是男生，要么是女生，因此，“选男生为班长”和“选女生为班长”是两个等可能事件，是古典概型，这种说法正确吗？ 考点2 列举法求古典概型的概率[例2] 袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球中一个是白球，另一个是红球．[解析] 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A ：取出的两球都是白球的总数；事件B ：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．[答案] 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6．从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1，2)，(1，3)，(1，4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).∴ 取出的两个小球全是白球的概率为⋅==52156)(A P (2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8种．∴ 取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为⋅=158)(B P 考点3 图表法求古典概型的概率[例3] 抛掷两颗骰子，求：(1) 点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．[解析] 抛掷两颗骰子，基本事件的总数为36.但所求事件的基本事件个数不易把握，很容易出现遗漏或重复，故可借助直观图形，以便更准确地把握基本事件的个数．[答案] 作图3 -2 -3，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为4，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(2，6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6)，所以，⋅=41)(A P (2)记“点数之和大于5小于10”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个，即(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6)（3，5）（4，4），(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以，⋅=95)(B P [点拨] 在求概率时，常常可以把全体基本事件用直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所含的基本事件的个数．2．(1)将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a ，b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子掷出的点数，若把点P(a ，b)落在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+>>4,0,0y x y x 所表示的平面区域内的事件记为A ，求事件A 的概率．(2)用三种不同的颜色给图3-2 -4中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：①3个矩形颜色都相同的概率；②3个矩形颜色都不同的概率，考点4 概率的一般加法公式(*)[例4] 甲、乙等四人参加4x100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[答案] 设事件A 为“甲跑第一棒”，事件B 为“乙跑第四棒”；则,41)(,41)(==B P A P 计算 ),(B A P 记x 为甲跑的棒数，y 为乙跑的棒数，记为(x ，y)，则共有可能结果12种：(1，2)，(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3，2)，(4，2)，(4，3)，而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1，4)，故⋅=121)(B A P 所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为： ⋅=-+=-+=1251214141)()()()(B A P B P A P B A x [点拨] (1)关键要计算出A(lB 发生的概率．(2)-般概率的加法公式为-+=)()()(B P A P B A P ).(B A P3．(1)每次抛掷一颗骰子（六个面上分别标有数l ，2，3，4，5，6），①连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；②连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．(2)同时抛掷红、黄两颗骰子，事件A=“红骰子点数大于3”，事件B=“黄骰子点数大于3”，求事件AUB=“至少有一颗骰子的点数大于3”的概率，优化分层测训第一课时古典概型(1)学业水平测试1．下列试验中，是古典概型的有( )．A ．．种下一粒种子观察它是否发芽B ．从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面D ．某人射击中靶或不中靶2．下列概率模型中，有几个是古典概型( )．①从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1~10中任意取出一个整数，求取到l 的概率；③向一个正方形ABCD 内投一点P ，求P 刚好与点A 重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．A.l 个B.2个C.3个 B.4个3．将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面向上的概率是( )．21.A 41.B 43.C 31.D 4．在6个零件中，有4个正品和2个次品，从中不放回地任取2个，恰好都是正品的概率是____．5．同时掷1角和5角的两枚硬币，两枚都出现正面的概率为 ，一枚出现正面，一枚出现反面的概率为____．6．-个家庭中有两个小孩，设小孩是男还是女是等可能的，求此家庭中两个小孩均为女孩的概率为高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2011年全国新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )31.A 21.B 32.C 43.D 2．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为( )．51.A 103.B 52.C 21.D 3．从甲、乙、丙三名学生中选出两名代表，其中甲被选中的概率为( )．21.A 31.B 32.C 1.D 4．在一次问题抢答的游戏中，要求答题者在问题所列出的4个答案中找出唯一正确的答案．某抢答者不知道正确答案便随意说出了其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是( )．21.A 41.B 81.C 161.D 5．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率是( )．52.A 51.B 103.C 107.D 6．(2011年安徽高考题)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )．101.A 81.B 61.C 51.D 7．在两个袋内，分别装有写着0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，从每一个口袋中各任取一张卡片，则两数之和等于7的概率为( )．31.A 61.B 91.C 121.D 8．以集合A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子和分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是( )．135.A 285.B 143.C 145.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置）9．把一枚硬币向桌上连抛10次，则正、反两面交替（可以正反，正反…也可以反正，反正…）出现的概率是 ．10．（2009年江苏高考题）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为____．11．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂上红、白、黑、黄四种颜色．(1)从中任取1球，取出白球的概率为____．(2)从中任取2球，取出的是红球和白球的概率为____．12．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得偶数点的概率是三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）13．从标有1，2，3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和．求取出的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率．14.甲、乙、丙三人比赛，没有平局，问(1)甲得第一的概率；(2)甲比乙强的概率．15.（2011年江西高考题）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和曰两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．16.（2011年山东高考题）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．第二课时古典概型(2)学业水平测试1．掷两颗质地均匀的骰子，事件“点数之和为6”的概率是( )．111.A 91.B 365.C 61.D 2．-个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷两次，则“向上的数之和是5”的概率是( )．91.A 61.B 121.C 31.D 3．任意说出星期一到星期日中的两天（不重复），其中恰有一天是星期六的概率是( )．71.A 72.B 491.C 492.D 4．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是 ．5．从1，2，3，4，5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是 ．6．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．将一颗骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程02=++c bx x 有相等实根的概率为( )． 121.A 91.B 361.C 181.D 2．掷两颗质地均匀的骰子，出现“点数和为3”的概率是( )．61.A 6161.⨯B 6161.+C 361361.+D 3．从分别写有A ，B ，C ，D 的4张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率是( )．41.A 21.B 43.C 107.D 4．先后抛掷两颗质地均匀的正方体骰子（他们的六个面分别标有点数l ，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则112=y og x 的概率为( )．61.A 365.B 121.C 21.D 5．（2008年辽宁高考题）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )．3.1.A 21.B 32.C 43.D 6．从不包括大小王的52张扑克牌中，随机抽出一张是A 或K 的概率是( )．132.A 521.B 261.C 131.D 7．在线段AB 上随机任取三个点,321x x x 、、则2x 位于1x 和3x 之间的概率为( )．21.A 31.B 41.C 1.D 8．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )．12513.A 12516.B 12518.C 12519.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置）9．在第1，3，4，5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要等的汽车的概率等于____．10．若事件A 与B 不互斥，那么P(A+B)与P(A)+P （B ）的大小关系是P(A+B ） P(A)+P(B ）．11.射手甲一次击中目标的概率为0.7，射手乙一次击中目标的概率为0.5，现在甲、乙两人同时向一个目标射击一次，则目标被击中的概率是 ；甲、乙都击不中目标的概率是12.从甲口袋中摸出一白球的概率为,31从乙口袋中摸出一白球的概率为,21从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为,61则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）13.储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取．(1)使用储蓄卡时如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？(2)某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？14.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数，求取出的数大于3或者能被3整除的概率．15.如图3-2 -7所示的电路中，开关a ，b ，c 开或关的概率都是,21且彼此互不相关，求灯亮的概率．16.（2011年北京高考题）以下茎叶图（如图3-2 -8）记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． (注：方差：=2s +-+-2221)()([1x x x x n],)(2x x n -+ 其中x 为,1x n x x ,,2 的平均数）。
古典概型 (用)
用A表示“取出的两种中，恰好有一件 次品”这一事件，则 A=｛ (a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1， a2) ｝. 事件A由4个基本事件组成，
因而，P(A)=
4 2 6 3
例3. 在例3中，把“每次取出后不放回” 这一条件换成“每次取出后放回”其余不 变，求取出两件中恰好有一件次品的概率。
并不是所有的试验都是古典概型。例如， 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是 否发芽”，这个试验的基本事件空间为 [发芽，不发芽]，而“发芽”与“不发芽” 这两种结果出现的机会一般是不均等的。 又如，从规格直径为300±0.6mm的一 批合格产品中任意抽一根，测量其直径d， 测量值可能是从299.4~300.6之间的任何一 个值，所有可能的结果有无限多个。 这两个试验都不属于古典概型。
8、现有一批产品共有10件，其中8件正品， 2件次品.
（1）如果从中取出1件，然后放回再任取
1件，求两件都是正品的概率？ 82/102=0.64 （2）如果从中一次取2件，求两件都是正
品的概率？
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 7+6+5+4+3+2+1=28
28 —— 45
9、甲,乙两人做掷骰子游戏,两人各掷一 次,谁掷得的点数多谁就获胜.求甲获胜的 概率. 5 —— n=36，m=15 12 10、甲、乙、丙、丁四人做相互传球练 习，第1次甲传给其他三人中的1人，第2 次由拿球者再传给其他三人中的1人，这 样一共传了4次，则第4次球仍然传回到 甲的概率是多少？ 7 n=3×3×3×3=81。树状图 m=21 —— 27
1 nP ( A1 ) 1, P( A1 ) n
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这种图叫 做树形图 , 实际上只 要画出左 边第一个 树形图即 可推知其 余两个的 结果 .
矩形1 矩形2 矩形3 矩形1 矩形2 矩形3 矩形1 矩形2 矩形3
解
本题的基本事件共有
27 个 如图 .
" 为事件 A , 由图知 ,
3因为抛掷2 次得到的36 种结果是等可能出现的, 记
"向上的点数之和是 3的倍数"为事件 A, 则事件 A的结果 有12 种, 故所求的概率为 P A
答
12 36
1 3
.
先后抛掷 2 次, 共有 36 种不同的结果, 点数之和是 3 1
的倍数有结果共有12 种, 概率为 . 3
第 思考 如图 直观地 二 , 给出了例3 第2 问 次 抛 中的 12种 结 果 , 你 掷 能用此图求出向上 后 向 的点数之和是 4 的 上 的 倍数的结果有多少 点 数 种吗 ?
1 记 " 3 个矩形都涂同一颜色
事件 A 的基本事件有 PA 3 27 1 9 .
1 3 3 个 ,故
1 记 " 3 个矩形颜色都不同
件 B 的基本事件有 P B
答
" 为事件 B , 由图知 , 事
2 3 6个 , 故 2 9 .
的概率为 1 9 , 3 个矩形颜色
果有多少种?
3 两数之和是3 的倍数的概
率是多少?
解
1将骰子抛掷1 次,它出现的点1, 2, 3, 4, 5, 6 这
6 种结果 .
先后抛掷 2 次骰子, 第 1 次骰子向上的点数有 6 种结 果, 对每一种结果, 第 2 次又都有 6 种可能结果, 于是 一共有 6 6 36 种不同的结果 .
2第1 次抛掷 ,向上的点数为1, 2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数中的
某一个 , 第 2 次抛掷时都可以有两种结果, 使两次向上
的点数和为3的倍数 ( 例如, 第1 次向上的点数为4, 则当
第 2 次向上的点数为2 或 5 时, 两次的点数和都为3的倍
数 ) , 于是共有 6 2 12 种不同的结果.
6 27
3 个矩形颜色相同 2 9 .
都不同的概率为
分层训练
• 必做题 • 选做题 • 思考 P97习题 P97习题 P97习题
P97习题 8
4,6 10 12
作业
6 5
7
6 5
8
9 8
10 9 8
11
10 9 8
12 11
10 9 8
7
6 5
4
3
7
6 5
4
3
7
6 5
2 1
4
3
7
6 5
2 1
4
3
7
6
2
4
第一次抛掷后向上的点
数
例4
用三种不同颜色给图中 个矩形涂色 每个矩形 3 ,
只涂一种颜色 求 : ,
1 3 个矩形颜色都相同的概 ; 率 2 3 个矩形颜色都不同的概 . 率
3. 2
古 典 概 率(2)
学习目标
• 进一步掌握等可能事件的概率计算方法．
Hale Waihona Puke 自学指导• 从例3第(2)问中的十二种结果,你能求出点数 之和是2的倍数的概率吗?点数之和是4的呢? 你能总结出解决类似问题的基本步骤吗?
自主检测
Ｐ97练习：2
例3
将一颗骰子先后抛掷 2
次, 观察向上的点数 问 : ,
1 共有多少种不同的结果 ? 2 两数之和是3 的倍数的结