弹塑性力学第十章解读

、ij(k2)之差称为虚应变ij
。
ij =(ui,j +uj,i )/2 在V内 ui =0 在su上齐次位移边界条件。
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§10-1 几个基本概念和术语
1.5 虚应力 ij ：
ij
=
(k1 ij
)-ij(k2 )
在V内：
ij,j = 0
在s 上:
njij = 0；
满足齐次静力方程。
ij
ij
但
U
Uc
1 2
V ijijdV
W W ( ij ) Wc Wc ( ij )
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§10-1 几个基本概念和术语
各向同性线性材料的应力应变关系
ij
E
1
ij
1 2
kk
ij
U 1
2
V ijijdV
U
E
2(1 )
V
ij 2
1 2
kkll
dV
将几何关系引入上式
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§10-1 几个基本概念和术语
作业：图示结构各杆等截
面杆，截面面积为A,结点 A
C承受荷载P作用,材料应
力—应变关系分别为（1） l
y
=E ，(2) =E 1/2 。
试计算结构的应变能U 和 B
应变余能Uc。
P
Cx
C’
l
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§10-1 几个基本概念和术语
1.2可能位移 ui(k) 和可能应变 ij(k)：
应变能、应变余能的计算举例
l
P
o
x
解：
（1） =E
图示等截面杆，承受轴 向荷载 P 作用。杆截 面面积为 A,材料应 力—应变关系分别为
（1） =E ，(2)
=E 1/2. 试计算外力功T 、应变
能U 和应变余能Uc。
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§10-1 几个基本概念和术语
l o
P
T = U =Uc= P l/2
在前面各章中就围绕平面问题、扭转问 题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。
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第十章 弹性力学的能量原理
弹性力学问题的解法还有另一种解 法：以能量形来建立弹性力学求解方 程——能量法（从数学意义上说也可认 为变分法）。
本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量 原理的近似解法。
在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概 念和术语。
可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在
su上 满足 ：
u (k ) i
ui
可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的
(k) ij
1 2
(ui(,kj)
uLeabharlann Baidu
(k) j ,i
)
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§10-1 几个基本概念和术语
1.3可能应力 ij(k)： 可能应力 ij(k)：在V内满足
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§10-2 虚功方程
2.1虚功方程
在给定体力、面力和约束情 况下，如果找到两种状态:
S
第一种状态：
Su
在给定的体力 fi和面力 可能应力状态ij(k1)
X
，已知（找到）
i
在V内：
ij(k1)+fi =0 ;
在s =s :
Xi
n
j
( k1 ij
)
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§10-2 虚功方程
ij,j(k)+fi =0
(a)
在s上满足
Xi
n
j
(k) ij
(b)
满足式(a)、（b) —— 满足静力方程
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§10-1 几个基本概念和术语
1.4虚位移 ui和虚应变 ij ：
两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移
ui，而由两种可能位移状态对应的可能应
变
(k1) ij
如果将几何关系引入应变能, U、W 为位
移的函数。
应变余能（类似应变能）定义
Uc V WcdV
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§10-1 几个基本概念和术语
应变余能密度
Wc
0
ij
i
j
i
j
dij ij
——单位体积的应变余能
Wc 与积分路径无关，只与 终止状态和初始状态有关。
ij dij
Wc=ijij 为全微分
x
P = N = lEA/l,
l= Pl/(EA)
U = l 2EA/(2l), Uc = P 2 l/(2EA), （2） =E 1/2
1
T = U = WdV (d )dV ( E 2d )dV
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§10-1 几个基本概念和术语
1
l
P
T=U ( E 2d )dV o 0
第二种状态：
弹性体处于可能变形状态 ui(k2) 、ij(k2)
在s =su:
ui(k2 ) ui
则第一种状态外力在第二种状态可能位移作
的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二
种状态可能应变上作的虚变形功。
——虚功原理
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§10-2 虚功方程
We
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§10-1 几个基本概念和术语
ij
Wc
ij
——逆弹性关系
dij
且
W+Wc= ijij
ij
W
ij
0
ij d ij
ij dij
W ij ij
d ij
0 ij ij
ij ij
c
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§10-1 几个基本概念和术语
材料为线弹性时
W
Wc
1 2
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§10-1 几个基本概念和术语
1.1应变能U 和应变余能Uc：
应变能 U 在第四章中
已定义过：
ij
U
WdV
V
U (ij )
ij dij
应变能密度
W
ij
0 ij ij
W ( ij )
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§10-1 几个基本概念和术语
ij
W
ij
——弹性关系
x
2E
3
2dxdydz
2E
l3
2 Adx
3
30
2
EAl
3 2
2EA l 32
3
3l
2EAl 3
E
3
2P3l 3E2 A2
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§10-1 几个基本概念和术语
Uc =P l –U =P l -U
P
2
l
U
E
l
P
o
x
U
2P3l 3E 2 A2
P3l 3E2 A2
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U=U( ui ) 应变能是位移的函数
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§10-1 几个基本概念和术语
各向同性线性材料的应力应变关系
ij
1 E
(1 ) ij
kk ij
代入Uc表达式
Uc
1 2
V ijijdV
Uc
1 2E
V
(1 ) ij 2 kk ll dV
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§10-1 几个基本概念和术语
第十章 弹性力学的能量原理
§10-1 几个基本概念和术语 §10-2 虚功方程 §10-3 功的互等定理 §10-4 虚位移原理和最小势能原理 §10-5 虚应力原理和最小余能原理 §10-6 基于能量原理的近似解法
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第十章 弹性力学的能量原理
弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题 求解体系——静力法。