矩阵知识点归纳

矩阵知识点归纳
(一)二阶矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy 中，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称
为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，
d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦
⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．
3．几种常见的线性变换
(1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1 00 1；
(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ；
(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 －1；
(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1
倍，纵
坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数；
(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1 k 0 1，
若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质
设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy ；设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 1＋x 2y 1＋y 2.
(1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ.
(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
1．矩阵的逆矩阵
(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．
(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．
(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．A 的逆矩
阵记为A －
1．
(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －
1. (5)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .
(6)对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d ad －bc
－b ad －bc －c ad －bc
a
ad －bc
. 2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪
⎪a b c d 称为二阶行列式，它的
运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a b c d ＝ad －bc . 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y
，则当D ≠0时，
方程组的解为⎩
⎨⎧
x ＝D x D
，
y ＝D y D
.
3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式
设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤x y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即⎩
⎪⎨⎪⎧
(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) 定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a
＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．
(3)矩阵的特征值与特征向量的求法
如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)
＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量
．
所有变换矩阵
单位矩阵：1001M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，点的变换为(,)(,)x y x y → 伸压变换矩阵：001k M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
：1k >，将原来图形横坐标扩大为原来k 倍，纵坐标不变
01k <<，
将原来图形横坐标缩小为原来k 倍，纵坐标不变 点的变换为(,)(,)x y kx y →
100M k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
： 1k >，将原来图形纵坐标扩大为原来k 倍，横坐标不变
01k <<，
将原来图形纵坐标缩小为原来k 倍，横坐标不变 点的变换为(,)(,)x y x ky →
反射变换： 1001M ⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
：点的变换为(,)(,)x y x y →- 变换前后关于x 轴对称 1001M -⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦：点的变换为(,)(,)x y x y →- 变换前后关于y 轴对称 1001M -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦：点的变换为(,)(,)x y x y →-- 变换前后关于原点对称 0110M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
：点的变换为(,)(,)x y y x → 变换前后关于直线y x =对称
旋转变换：cos sin sin cos M θθθθ-⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦：逆时针090：0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；顺时针0
90：0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
旋转变化矩阵还可以设为：a b M b a -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
投影变换：
1000M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上 点的变换为(,)(,0)x y x →
0001M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上 点的变换为(,)(0,)x y y →
1010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y x =上
点的变换为(,)(,)x y x x →
0101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y x =上
点的变换为(,)(,)x y y y →
11221122M ⎡⎤
⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
：将坐标平面上的点垂直于y x =方向投影到y x =上 点的变换为(,)(
,)22
x y x y
x y ++→ 切变变换：101k M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
：把平面上的点沿x 轴方向平移||ky 个单位 点的变换为(,)(,)x y x ky y →+
101M k ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
：把平面上的点沿y 轴方向平移||kx 个单位 点的变换为(,)(,)x y x kx y →+。