第9章动态规划

④ 0-1变量：
x ij 1 ,0(i 1 ,2 , ,1 7 ;j 1 ,2 ,3 )
目标函数：未带物品购买费用最小
3
17
3
1 xij(i 8,9, ,17) Mizn pi(1 xij)
j1
i8
j1
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
Excel求解结果为：
包1 放3件 物品1 物品3 物品5 包2 放5件 物品4 物品10 物品13 物品15 物品17 包3 放4件 物品2 物品6 物品7 物品14 没有放 5件 物品8 物品9 物品11 物品12 物品16
9.2.1 生产与存贮问题
解：明年市场总需求为3000＋4000＋8000＋ 7000 ＝22000双 ， 而 最 多 可 生 产 4×6000＝ 24000双，所以皮鞋公司可以满足市场总需求 。 (1) 决策变量
本问题是要确定该公司明年每个季度的生产 计划，所以设
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
决策变量：对每个物品要确定是否带的同 时，还要确定放在哪个包里（如果增加一个 虚拟包，把不带的物品放在里面，则问题就 转化为确定每个物品放在哪个包里。这里的 数学模型和电子表格模型没有用虚拟包）。 因此可设决策变量为第i个物品是否放在第j 个包中（1-放，0-不放）。
动态规划问题的提出
在实际的决策过程中，由于涉及的参数比较多， 往往需要将问题分成若干个阶段，对不同阶段采取 不同的决策，从而使整个决策过程达到最优。
显然，由于各个阶段选择的策略不同，对应的整 个过程就可以有一系列不同的策略。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方 法。这种方法把困难的多阶段决策问题变换成一系 列互相联系的比较容易的单阶段问题，解决了这一 系列比较容易的单阶段问题，也就解决了困难的多 阶段决策问题。
例9.1 某货运公司使用一种最大承载能力 为10吨的卡车来装载3种货物，每种货物 的重量及价值如表9-1所示。应当如何装 载货物才能使总价值最大？
货物 编号
123
单位
重量 3 4 5
(吨)
用单Ex位cel求解背包问题时，采用的是 整价数值规划4 的5 方6 法。
9.1.2 多维背包问题
当约束条件不仅有货物的重量，还有体积 等限制时，构成了多维背包问题。
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积 大小分别为1000、1500和2000，根据需要列出需 带物品清单，其中一些物品是必带物品，共有7件， 其体积大小分别为400、300、150、250、450、 760、190。尚有10件可带可不带物品，如果不带 将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的 地的价格（美元）。这些物品的容量及价格分别见 下表，试给出一个合理的安排方案，把物品放在三 个旅行包里。
9.1 背包问题
背包问题可以抽象为这样一类问题：设 有n种物品，每种物品有其重量及价值。 同时有一个背包，最大装重为c，现从n种 物品中选取若干件（同一种物品可以选多 件），使其总重量小于等于c，而总价值 最大。 背包问题等同于车、船、人造卫星等工 具的最优装载问题，有广泛的实际意义。
9.1.1 一维背包问题
未带物品购买费用为200美元
9.2 生产经营问题
在生产和经营中，经常遇到如何合理安排 生产计划、采购计划以及库存计划和销售计 划等问题，要求既要满足市场的需要，又要 尽量降低成本费用。因此，正确制定生产（ 或采购）策略，确定不同时期的生产量（或 采购量）、销售量和库存量，在满足产品需 求量的条件下，使得总收益最大或总成本（ 生产成本＋存储成本）最小，这就是生产经 营问题，包括生产与存储问题、采购与销售 问题等。
例9.2 现有一辆载重为5吨，装载体积8立 方米的卡车，可装载三种货物，已知每种货 物各8件，其它有关信息如表9-2所示，求携 带货物价值最大的装载方案。
货物品种
1 2 3
单位重量 (吨) 0.2 0.4 0.3
单位体积 (立方米)
0.3 0.5 0.4
单位价值 (千元) 3 7.5 6
补充：背包问题
x ij 1 ,0(i 1 ,2 , ,1 7 ;j 1 ,2 ,3 )
补充：背包问题
（容量一定的背包里装尽可能多的物品）
约束条件 17 ① 包的容量限制 cixij rj (j1,2,3) i1
3
② 必带物品限制 xij 1 (i 1,2, ,7) j1
3
③ 选带物品限制 xij 1 (i 8,9, ,17) j1
9.2.1 生产与存贮问题
例9.3 某皮鞋公司根据对去年的市场需求
分析预测明年的需求：一季度3000双，二 季 度 4000 双 ， 三 季 度 8000 双 、 四 季 度 7000双。企业现在每个季度最多可以生产 6000双皮鞋。为了满足所有的预测需求， 前两个季度必须有一定的库存才能满足后 两个季度的需求。已知每双皮鞋的利润为 20元，每个季度的库存成本8元。请确定 该公司明年每个季度的生产计划，使公司 的年利润最大。
第9章动态规划
动态规划问题的提出
动态规划是解决多阶段决策过程最 优化问题的一种方法。该方法是由美 国 数 学 家 贝 尔 曼 (RBellman) 等 人 在 20世纪50年代初提出的。他们针对多 阶段决策问题的特点，提出了解决这 类问题的“最优化原理”，并成功地 解决了生产管理、工程技术等方面的 许多实际问题，从而建立了运筹学的 一个新分支，即动态规划。
有时阶段可以用时间表示，在各个时间段，采用 不同决策，它随时间而变动，这就有“动态”的含 意
动态规划问题的Байду номын сангаас出
动态规划是现代企业管理中的一个 重要决策方法。 本章利用微软Excel软件在“公式” 和“规划求解工具”两方面的强大功 能，对背包问题、生产经营问题、资 金管理问题和资源分配问题等进行分 析、建模与求解，解决了实际经营中 的优化问题，迅速准确地得出决策结 果。