第二十一章 变分法初步

x1 x= x0
= η (x)
x=x1
=
φ(x) η (x) dx = 0
x0
均成立，则必有φ(x) ≡ 0． 例 3 设质点在有势力场中沿路径q = q (t)由t0 , q (t0 )点运动到t1 , q (t1 )点，它的Hamilton作 用量是 S=
t0 t1
L(t, q, q ˙) dt源自文库
泛函不同于复合函数，例如g = g (f (x))． 对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g 值与之对应； 对于前者，则必须给出某一区间上的函数y (x)，才能得到一个泛函值J [y ]． (定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同． 为了强调泛函值J [y ]与函数y (x)之间的依赖关系，常常又把函数y (x)称为变量函 数． 泛函的形式可以是多种多样的，但是，在本书中我们只限于用积分
x0 x1 2 x0 x1
∂F ∂F δy + (δy ) dx, ∂y ∂y ∂ 2 ∂ + ( δy ) F dx δy ∂y ∂y ∂2F ∂2F ∂2F 2 ( δ y ) + 2 δ y ( δ y ) + (δy ) ∂y 2 ∂y∂y ∂y 2
2
=
x0
dx
分别是泛函J [y ]的一级变分和二级变分．这样就得到：泛函J [y ]取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0， δJ [ y ] ≡
§21.2 泛 函 的 极 值
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其中q 和q ˙是描写质点运动的广义坐标和广义动量，L = T − V 是动能T 和势能V 之差，称 为Lagrange量． Hamilton原 理 告诉我们，在一切(运动学上允许的)可能路径中，真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S 取极值． 根据上面的讨论可知，作用量S 取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是
t1 x1
S=
t0
dt
x0
1 ρ 2
∂u ∂t
2
−T
∂u ∂x
2
dx
也是位移u(x, t)的泛函．
x1
L=
x0
1 ρ 2
∂u ∂t
2
−T
∂u ∂x
2
dx
称为Lagrange量(Lagrangian)，而被积函数 1 ρ 2 称为Lagrange量密度． ∂u ∂t
2
−T
∂u ∂x
2
§21.2 泛 函 的 极 值
=
S
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − ∂u ∂x ∂ux ∂y ∂uy ∂ ∂F ∂ ∂F δu + δu ∂x ∂ux ∂y ∂uy
+
S
= 0. 利用公式
S
∂Q ∂P dx dy = − ∂x ∂y ∂F δu, ∂ux
P dx + Qdy ,
Γ
取 Q= 就能将上面的结果化为 δJ [ u ] =
x1
J [ y + δy ] − J [ y ] =
x0
δy +
∂ ∂ + ( δy ) F ∂y ∂y
2
1 ∂ ∂ δy + ( δy ) 2! ∂y ∂y 1 = δJ [ y ] + δ2 J [ y ] + · · · , 2! 其中
x1
F + ···
dx
δJ [ y ] ≡ δ J [y ] ≡
仍然约定，u(x, y )在S 的边界Γ 上的数值给定，即 u 首先，当然要计算 J [ u + δu ] − J [ u ] =
S Γ
固定.
F (x, y, u + δu, (u + δu)x , (u + δu)y ) dx dy −
S
F (x, y, u, ux , uy ) dx dy δu ∂ ∂ ∂ + (δu)x + (δu)y F dx dy ∂u ∂ux ∂uy δu
x0 x1
δy
∂F ∂F + ( δy ) dx = 0 . ∂y ∂y
x1
将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，就有 δJ [ y ] = =
x0
∂F δy ∂y
x1
x1
+
x0 x0
δy
∂F d ∂F − δy dx ∂y dx ∂y
d ∂F ∂F − δ y dx = 0 . ∂y dx ∂y ∂F d ∂F − = 0. ∂y dx ∂y
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§21.2 泛 函 的 极 值
• 何谓泛函极值？ • 泛函取极值的必要条件？ 先回忆一下有关函数极值的概念． 所谓函数f (x)在x0 点取极小值，是指当x在x0 点及其附近|x − x0 | < ε时，恒有 f (x) ≥ f (x0 ); 而如果恒有 f (x) ≤ f (x0 ), 则称函数f (x)在x0 点取极大值． 函数f (x)在x0 点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0， f (x0 ) = 0. 可以用同样的方法定义泛函的极值． “当变量函数为y (x)时，泛函J [y ]取极小值”的含义就是：对于极值函数y (x)及其“附 近”的变量函数y (x) + δy (x)，恒有 J [ y + δy ] ≥ J [ y ] . 所谓函数y (x) + δy (x)在另一个函数y (x)的“附近”，指的是： 1. |δy (x)| < ε； 2. 有时还要求|(δy ) (x)| < ε． 这里的δy (x)称为函数y (x)的变分． 可以仿照函数极值必要条件的导出办法，导出泛函取极值的必要条件． 不妨不失普遍性地假定，所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y (x0 ) = a, 即 δy (x0 ) = 0, 考虑泛函的差值
S
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − δ u dx dy ∂u ∂x ∂ux ∂y ∂uy
= 0. 再利用δu的任意性，就可以导出上面的被积函数一定为0， ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − = 0, ∂u ∂x ∂ux ∂y ∂uy 这就是二元函数情形下，泛函 J [u] =
S
F (x, y, u, ux , uy )dx dy
x1
y (x1 ) = b,
δy (x1 ) = 0.
J [ y + δy ] − J [ y ] =
x0
F x, y + δy, y + (δy ) − F (x, y, y ) dx,
§21.2 泛 函 的 极 值
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当函数的变分δy (x)足够小时，可以将被积函数在极值函数附近作Taylor展开，于是，有
由于δy 的任意性，就可以得到
这个方程称为Euler–Lagrange方程，它是泛函J [y ]取极小值的必要条件的微分形式．一般说 来，这是一个二阶常微分方程． 对于泛函J [y ]取极大值的情形，也可以类似地讨论，并且也会得到同样形式的必要 条件． 在导出Euler–Lagrange方程时，实际上用到了变分法的一个重要的基本引理： 设φ(x)是x的连续函数，η (x)具有连续的二阶导数，且η (x) 0，若对于任意η (x)，
x1
L=
C
ds =
x0
1 + y 2 dx.
显然，y (x)不同，L也不同，即L的数值依赖于整个函数y (x)而改变．L和函数y (x)之间 的这种依赖关系，称为泛函关系． 类似的例子还可以举出许多．例如，闭合曲线围成的面积，平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积，等等．它们也都定了各自的泛函关系． 设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y (x)，有另一个数J [y ]与之对应，则称J [y ]为y (x)的 泛函． 这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求y (x) 满足一定的边界条件，并且具有 连续的二阶导数．这样的y (x)称为可取函数．
2. 变分运算也是一个线性运算， δ(α F + β G) = α δF + β δG, 其中α和β 是常数．
§21.2 泛 函 的 极 值
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§21.1 泛 函 的 概 念
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§21.1 泛 函 的 概 念
泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数概念的 推广． 所谓函数，是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值，就有一个y 与之对应．y 称 为x的函数，记为y = f (x)． 设在x, y 平面上有一簇曲线y (x)，其长度
把这个结果应用到例21.3中，如果Lagrange量L不显含t，则有 q ˙ ∂L − L = 常量 C, ∂q ˙
§21.2 泛 函 的 极 值
第7页
这就是能量守恒． 下面研究二元函数的情形．设有二元函数u(x, y ), (x, y ) ∈ S ，在此基础上可以定义泛函 J [u] =
S
F (x, y, u, ux , uy ) dx dy.
S
P =−
∂F δu, ∂uy
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − − δ u dx dy ∂u ∂x ∂ux ∂y ∂uy −
Γ
+
∂F ∂F dx + dy δu. ∂ux ∂uy
§21.2 泛 函 的 极 值
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根据边界条件，u
Γ
固定，可知 δu
Γ
= 0,
上式右端第二项的线积分为0，所以 δJ [ u ] =
S
=
S
+
1 2!
∂ ∂ ∂ + (δu)x + (δu)y ∂u ∂ux ∂uy
2
F dx dy
+ ··· , 于是，泛函J [u]取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0， δJ [ u ] =
S
δu
∂F ∂F ∂F + (δu)x + (δu)y dx dy ∂u ∂ux ∂uy δu dx dy dx dy
x1
J [y ] =
x0
F (x, y, y ) dx
定义的泛函，其中的F 是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数． 如果变量函数是二元函数u(x, y )，则泛函为 J [u] =
S
F (x, y, u, ux , uy ) dxdy,
其中ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y ． 对于更多个自变量的多元函数，也可以有类似的定义．
§21.1 泛 函 的 概 念
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图 21.1
例 1 如图21.1所示，在重力作用下，一个质点从(x0 , y0 )点沿平面曲线y (x)无摩擦地自由 下滑到(x1 , y1 )点，则所需要的时间
(x1 ,y1 )
T =
(x0 ,y0 )
ds = 2g (y0 − y )
x1 x0
1+y 2 dx 2g (y0 − y ) (此问题最早
就是y (x)的泛函．这里，要求变量函数y (x)一定通过端点(x0 , y0 )和(x1 , y1 )． 由Galileo Galilei提出) 例 2 弦的横振动问题．设在弦上隔离出足够短的一段弦，则该段弦的 动能 = 1 ρ∆ x 2 ∂u ∂t
2 2
,
势能 =
1 T ∆x 2
∂u ∂x
,
其中u(x, t)是弦的横向位移，ρ是弦的线密度，T 是张力．这样，弦的Hamilton作用量
t1
δS =
t0
∂L ∂L δq + δq ˙ dt = 0 ∂q ∂q ˙
和 ∂L d ∂L − = 0. ∂q dt ∂ q ˙ 在给定的有势力场中，写出Lagrange量L的具体形式，就会发现，它和Newton力学的动力学方 程完全一样． 现在讨论泛函 J [y ] =
x0 x1
F (x, y, y ) dx
的两种常见的特殊情形． 泛函中的F = F (x, y )不显含y 这时的Euler–Lagrange方程就是 d ∂F = 0, dx ∂y 所以，立即就可以得到它的首次积分 ∂F = 常量 C. ∂y 泛函中的F = F (y, y )不显含x 容易证明， d ∂F ∂F ∂F ∂F d ∂F y − F =y +y − y − y dx ∂y ∂y dx ∂y ∂y ∂y ∂F d ∂F , =−y − ∂y dx ∂y 所以，这时的Euler–Lagrange方程也可以有首次积分 y ∂F − F = 常量 C. ∂y
取极值的必要条件的微分形式(Euler–Lagrange方程)． 把这个结果应用到例21.2中弦的横振动问题上，就得到使作用量
t1 x1
S=
t0
dt
x0
1 ρ 2
∂u ∂t
2
−T
∂u ∂x
2
dx
取极值的必要条件 ∂2u T ∂2u − = 0, ∂t2 ρ ∂x2 这正是第十二章导出的弦的横振动方程． 以上在一元函数和多元函数的泛函极值问题中，都限定了变量函数在端点或边界上 取定值，因而变量函数的变分在端点或边界上一定为0． 这种泛函极值问题称为固定端点或固定边界的泛函极值问题． 这类问题在数学上是最简单的，然而却又是物理上最常用的． 下面以一元函数为例，总结一下变分的几条简单运算法则． 1. 首先，由于变分是对函数y 进行的，独立于自变量x，所以，变分运算和微分或微商运 算可交换次序， δ dy d(δy ) = dx dx 即 δy = ( δy ) .