空间几何体的结构特征及其直观图、三视图PPT课件
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空间几何体结构及其三视图和直观图PPT课件
圆柱体实例分析
总结词：直上直下
详细描述：圆柱体的底面和顶面都是圆，侧面是曲面。在三视图和直观图中，圆柱体的上下底面是圆形，侧面则呈现为矩形 或椭圆，体现了其直上直下的特性。
圆锥体实例分析
总结词：尖顶曲底
详细描述：圆锥体的底面是圆，侧面是曲面。在三视图和直观图中，圆锥体的底面是圆形，侧面则呈 现为三角形或曲线，体现了其尖顶曲底的特性。
左视图
左视图是空间几何体在左侧投影 下得到的视图，通常表示物体的
宽度和高度。
左视图的方向应与投影方向一致， 且应将物体的主要轮廓和特征反
映出来。
在左视图中，垂直于投影面的线 段长度和倾斜线段的高度应保持
不变。
俯视图
俯视图是空间几何体在顶部投 影下得到的视图，通常表示物 体的长度和宽度。
俯视图的方向应与投影方向一 致，且应将物体的主要轮廓和 特征反映出来。
常见空间几何体
01
02
03
多面体
由多个平面围成的几何体， 如正方体、长方体、三棱 锥等。
旋转体
由一个平面图形围绕其一 边或一点旋转而成，如圆 柱、圆锥、球等。
复杂几何体
由多个多面体和旋转体组 合而成，如组合体、镶嵌 体等。
空间几何体的性质
空间性
空间几何体存在于三维空 间中，具有大小和方向。
封闭性
04
空间几何体与三视图的 应用
三视图在工程设计中的应用
工业设计
三视图是工业设计中重要的表达 工具，用于展示产品的外观、结
构和功能。
建筑设计
在建筑设计中，三视图用于呈现建 筑物的外观、内部布局和结构设计， 以便更好地进行施工和规划。
机械设计
在机械设计中，三视图用于描述机 器的零件、装配关系和运动原理， 以确保机器的正常运行。
第八篇 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图(共25张PPT)
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练2】 以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )．
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析 正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视
图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱
台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱
锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)旋转体 ①圆锥可以由直角三角形绕其____任__一__直___角旋边转得到．
②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转 得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．
③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．三视图
(1)三视图的名称 几何体的三视图包括___正__视__图、___侧__视__图、____俯__视_．图 (2)三视图的画法 ①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的____正_前 方、__正__左_方、___正__上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们 的组成方式，特别是它们的交线位置．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练1】 给出以下四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④假设有两个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直四棱柱． 其中不正确的命题的个数是________个． 解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形 的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的 腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相 对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．
空间几何体的结构、三视图、直观图课件
用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱 棱台 锥，底面与截面之 间的部分叫作棱台 (1) (1)上下两个底面 互相平行； 互相平行； (2) (2)侧棱的延长线 相交于一点； 相交于一点；
1 V Sh 3
旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球
分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构 识 图 空 间 几 何 体
画 图
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影． 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
正投影：投 射线垂直于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，在作图 中只是作为一种辅助图样．
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
1 V Sh 3
旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球
分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构 识 图 空 间 几 何 体
画 图
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影． 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
正投影：投 射线垂直于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，在作图 中只是作为一种辅助图样．
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
第1讲空间几何体的结构三视图和直观图.ppt
视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为
()
解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视 图中小长方形在右上方，排除A. 答案：C
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
5．从如右图所示的圆柱中挖去一个以圆柱的上 底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥得 到一个几何体，现用一个平面去截这个几何体， 若这个平面垂直于圆柱的底面所在的平面，那么 所截得的图形可能是下图中的________(把所有可 能的图形的序号都填上)．
S′＝ 2S，能进行相关问题的计算． 4
迁移发散
3．如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的
直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形
是
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC，则
∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2(cm)，
OD＝2O′D′＝4 2(cm)， C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，
2．旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台 和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系， 也就掌握了它们各自的性质．
3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我 们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三 视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．
1.2空间几何体的三视图和直观图(共94张PPT)
观察下列投影图,并将它们进行比较
结论： 我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影.
知识点一：平行投影
当把投影中心移到无穷远，在一束平 行光线照射下形成的投影，叫做平行 投影。
平行投影：
正投影：投影方向垂直于投影面 的投影。
平行投影：
斜投影：投影方向与投影面倾斜 的投影。
平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平
例：根据三视图判断几何体.
正视图 侧视图 俯视图
例：根据三视图判断几何体.
正视图 侧视图 俯视图
例：根据三视图判断几何体.
正
侧
视
视
图
图
俯视图
练习
1.已知几何体的三视图如下，画出它的直观
图.
p
p
.
O′
.正视图 O
.
O′
.侧视图 O
.
俯视图
.z
p
y′ y
.p
.O′
x′
.O′
o
x
.o
(1) 四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体 (4) 两个圆台组成的简单组合体
A.任意四边形
B.直角梯形
C.任意梯形
D.等腰梯形
y
A D
B
o
C
x
练习4:已知一四边形ABCD的水平放 置的直观图是一个边长为2的正方形， 请画出这个图形的真实图形。
练习5：如图为水平放置的正方形ABCO， 它在直角坐标系xOy中点B(2,2)，则在用 斜二测画法画出的正方形的直观图中，
顶点B’到x’轴的距离为( 2 )
y
y’
.....
. . . . o.
空间几何体的三视图和直观图课件ppt
D
A D
A
C B C B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
·Z
y
O y x
Ox
·
O
·
O
正视图
·
俯视图
·O
·
O
侧视图
三视图从细节上刻画了空间几何体的 结构,根据三视图，我们可以得到一个精 确的空间几何体,正是因为这个特点，使 它在生产活动中得到广泛应用(比如零件 图纸、建筑图纸等).直观图是对空间几何 体的整体刻画，我们可以根据直观图的 结构想象实物的形象．
长对正 长度
宽相等
宽度
俯视图
如何作出空间几何体的三视图？
(1)分析从几何体的正前方、正左方、正上方 所看到的正投影图;
(2)按照“长对正、高平齐、宽相等”作出对 应的三视图;
(正视图和俯视图一样长,正视图和侧视图一样 高,俯视图和侧视图一样宽)
(3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示，
不能看见的用虚线表示.
投影
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物
平行投影 投影线平行
斜投影 不改变原 正投影 物形状
正视图
侧视图
三视图
俯视图
长对正、高平齐、宽相等
根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
视图
直观图 斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
联想水平放置的平 面图形的画法，并注意 到高的处理
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,xOz 90 .
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
空间几何体的结构、三视图和直观图课件
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线 或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,
也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到．
2.正棱锥：底面是正多 边形，顶点在底面的 射影是底面正多边形 的中心的棱锥叫作正 棱锥．特别地，各棱 均相等的正三棱锥叫 正四面体．反过来， 正棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底面 的射影是底面正多边 形的中心．
题型分类·深度剖析
题型三
空间几何体的直观图
【例 3】 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三 角形，求原△ABC 的面积．
思维启迪 解析 探究提高
已 知 A′B′ ＝ A′C′ ＝ a ， 在
△OA′C′中， 由正弦定理得
OC′ sin∠OA′C′
＝
As′in C45′°，
所以 OC′＝ssiinn14250°°a＝ 26a，
直观图中分别画成平行于 x′轴 和 y′轴
的线段；
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图 中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长 度为原来的12.
3．空间几何体的数量关系也 体现在三视图中，主视图 和左视图的“高平齐”， 主视图和俯视图的“长 对正”，左视图和俯视图 的“宽相等”．其中，主 视图、左视图的高就是空 间几何体的高，主视图、 俯视图中的长就是空间 几何体的最大长度，左视 图、俯视图中的宽就是空 间几何体的最大宽度．要 尽量按照这个规则画空 间几何体的三视图．
数学 北(理)
§8.1 空间几何体的结构、 三视图和直观图
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 平行 ，侧棱都 平行 且 长度相等 ，上底面和下底 面是 全等 的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面 是有一个 公共顶点 的三角形． (3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面 截棱锥得到，其上下底面的两个多 边形 相似 ．
也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到．
2.正棱锥：底面是正多 边形，顶点在底面的 射影是底面正多边形 的中心的棱锥叫作正 棱锥．特别地，各棱 均相等的正三棱锥叫 正四面体．反过来， 正棱锥的底面是正多 边形，且顶点在底面 的射影是底面正多边 形的中心．
题型分类·深度剖析
题型三
空间几何体的直观图
【例 3】 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三 角形，求原△ABC 的面积．
思维启迪 解析 探究提高
已 知 A′B′ ＝ A′C′ ＝ a ， 在
△OA′C′中， 由正弦定理得
OC′ sin∠OA′C′
＝
As′in C45′°，
所以 OC′＝ssiinn14250°°a＝ 26a，
直观图中分别画成平行于 x′轴 和 y′轴
的线段；
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图 中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长 度为原来的12.
3．空间几何体的数量关系也 体现在三视图中，主视图 和左视图的“高平齐”， 主视图和俯视图的“长 对正”，左视图和俯视图 的“宽相等”．其中，主 视图、左视图的高就是空 间几何体的高，主视图、 俯视图中的长就是空间 几何体的最大长度，左视 图、俯视图中的宽就是空 间几何体的最大宽度．要 尽量按照这个规则画空 间几何体的三视图．
数学 北(理)
§8.1 空间几何体的结构、 三视图和直观图
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 平行 ，侧棱都 平行 且 长度相等 ，上底面和下底 面是 全等 的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面 是有一个 公共顶点 的三角形． (3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面 截棱锥得到，其上下底面的两个多 边形 相似 ．
第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图PPT课件
第33页/共63页
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得
，
所以OC′＝
a＝ a，
所以原三角形ABC的高OC＝ ，
所以S△ABC＝ ×a× a＝ a2.
第34页/共63页
若△ABC是边长为a的正三角形，则其直观图 △A′B′C′的面积是多少？
解：法一：由于直观图的面积S′与原图形的面积S
第31页/共63页
已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形， 求原三角形ABC的面积. [思路点拨]
第32页/共63页
[课堂笔记] 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC的顶点C在y轴上， AB边在x轴上，OC为△ABC的高. 把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′ 轴，则点C变为点C′，且OC＝2OC′， A、B点即为A′、B′点，长度不变.
第43页/共63页
[自主体验] 一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视 图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点. (1)求证：MN∥平面ACC1A1； (2)求证：MN⊥平面A1BC.
第44页/共63页
证明：由题意可知，这个几何体是直三 棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝a. (1)连结AC1、AB1. 由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1， 所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩 形.
第13页/共63页
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长
为a的正方形，则原平面四边形的面积等于
.
解析：如图所示.
原平面四边形面积为a×2 ＝2 . 答案：2
第14页/共63页
5.如图所示，图①、②、③是图④表示的几何体的三视
图，其中图①是
，图②是
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得
，
所以OC′＝
a＝ a，
所以原三角形ABC的高OC＝ ，
所以S△ABC＝ ×a× a＝ a2.
第34页/共63页
若△ABC是边长为a的正三角形，则其直观图 △A′B′C′的面积是多少？
解：法一：由于直观图的面积S′与原图形的面积S
第31页/共63页
已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形， 求原三角形ABC的面积. [思路点拨]
第32页/共63页
[课堂笔记] 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC的顶点C在y轴上， AB边在x轴上，OC为△ABC的高. 把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′ 轴，则点C变为点C′，且OC＝2OC′， A、B点即为A′、B′点，长度不变.
第43页/共63页
[自主体验] 一个多面体的直观图及正视图、侧视图、俯视 图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点. (1)求证：MN∥平面ACC1A1； (2)求证：MN⊥平面A1BC.
第44页/共63页
证明：由题意可知，这个几何体是直三 棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝a. (1)连结AC1、AB1. 由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1， 所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩 形.
第13页/共63页
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长
为a的正方形，则原平面四边形的面积等于
.
解析：如图所示.
原平面四边形面积为a×2 ＝2 . 答案：2
第14页/共63页
5.如图所示，图①、②、③是图④表示的几何体的三视
图，其中图①是
，图②是
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 经典课件(最新)
图 12
高中数学课件
【反思·升华】 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反 映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主 左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应 的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符 合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
高中数学课件
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 课件
高中数学课件
1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
高中数学课件
(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线 长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周 长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积 公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
高中数学课件
高频考点 2 空间几何体的三视图 【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构 件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图 可以是( )
空间几何体的结构特征及三视图与直观图1 (共100张PPT)
讨论
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形 的几何体是不是棱形？
反例 这样的定义不确切，比如上图符合上述定义， 但不是棱形。
按照侧棱分类： 斜棱柱 。 （1）侧棱不垂直于底面的棱柱叫做_______ 直棱柱，其 （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫做______ 正棱柱 。 中底面是正多边形的直棱柱叫做_______
解析：A 错误,如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一 起构成的几何体 , 它的各个面都是三角形 , 但它不是三 棱锥 ;B 错误 , 如图 2, 若 △ ABC 不是直角三角形 , 或 △ ABC 是直角三角形但旋转轴不是直角边 ,所得的几 何体都不是圆锥;C 错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是 图 1 正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.
A
图1.1-1
B
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别 叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底。 其余各面叫做棱柱的侧面。 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
讨论 如何表示一个棱柱呢？
用底面各顶点的字母表示棱柱，如图1.1-1表示为 棱柱ABCDEF—A ' B ' C ' D ' E ' F ' 。
下底面
A 图1.1-3
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台 分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……，如图1.12表示为棱台ABCDEF-A ' B ' C ' D ' E ' F ' 。 棱台可由棱锥转化而来，棱台问题常可转化 成棱锥问题求解。
总结
棱柱、棱锥、棱台都是多面体。
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空间几何体的直观图、三视图
何如 黄永金 钟信 梁美双 谭艳福
重点难点 重点：①空间几何体的结构特征、性质． ②平行投影与中心投影性质，斜二测直观图画法规 则与三视图画法原理、规则． 难点：①柱、锥、台、球的几何性质的掌握与运用 ②平行投影原理、斜二测直观图画法规则、三视图 画法．
1．直观图 (1)直观图：用来表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法的规则： ①在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy， 再作 Oz 轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
答案：B
(文)(2011·山东济宁模拟)如下图，下列几何体各自 的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析：∵正方体的正视、侧视、俯视图都为正方 形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三 角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯 形、梯形、三角形(但两梯形不相同)；正四棱锥的正 视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方 形．
②画直观图时(图(1))，把 Ox、Oy、Oz 画成对应的轴 O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或 135°)， ∠x′O′z′＝90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平 面．
③已知图形中，平行于 x 轴、源自 轴或 z 轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x′轴，y′轴、z′轴的线段．并 使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线 段和原坐标轴的位置关系相同．
答案：D
(理)(2011·江西文，9)将长方体截去一个四棱锥，得 到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为( )
解析：
根据正投影的性质，并结合左视图要求及如上图所 示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′， BD′的正投影为B′D′，综上可知左视图为选项D.
答案：D
依据三视图进行计算
答案：C
(理)下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺 寸(单位：cm)，可知几何体的表面积是( )
A．18＋ 3
B．16＋2 3
C．17＋2 3
D．18＋2 3
分析：由主、俯视图可知，该几何体侧棱与底面垂
直，由左视图知，该几何体的底面为正三角形，故该几
何体是一个横放的正三棱柱．
解析：由三视图可得，该几何是一个底面边长为2高
和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立 投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射 到这个平面内的图形叫做 左视图 (或侧视图)．
将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个 投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫 做空间图形的三视图．
(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何 体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓 线．画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽， 主左一样高．
为3的正三棱柱，其表面积S＝3×2×3＋2×
3 4
×22＝18
＋2 3cm2.
答案：D
(文)(2010·天津文，12)一个几何体的三视图如下图 所示，则这个几何体的体积为__________．
解析：这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直 棱柱，梯形两底边长为1和2，高为2，棱柱的高为1，
答案：①②③⑤
由直观图到三视图
[例3] (2011·枣庄质检)如下图，几何体的主(正)视图 和左(侧)视图都正确的是( )
解析：直观图中的几何体是由斜二测规则画出的， 故几何体是一个长方体沿交于同一顶点的三条面对角线 截去一角余下的部分，主视图从正前方向后投影，故应 得到一个矩形和一条实对角线，对角线的方向是左上到 右下，左视图从左向右投影，得到一个矩形和一条虚对 角线，虚对角线应是左上到右下的方向，故选B.
由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相 等、高平齐”的原则作出判断．
由三视图想象几何体的形状
[例 1] (2011·安徽省皖南八校联考) 如下图是一个物体的三视图， 则此三视图所描述的物体的直观图是( )
解析：由俯视图的形状可知直观图是选项B或选项D 中的一个，根据正视图和侧视图可知选项B错．故选D.
④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段， 图中保持长度不变，平行于 y 轴或在 y 轴上的 长度为原来的一半．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴 到了空间图形的直观图．
(2)三视图 为了使画出的图形更准确地反映空间图形的大小和 形状．通常总是选择三个两两互相垂直的平面作为投射 面作正投影． 一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这 个平面内的图形叫做 俯视图 ． 一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投 射面；投射到这个平面内的图形叫做 主视图 (或正视 图)．
解析：①若正视投射线与三棱锥的一个侧面平行， 可得三棱锥的正视图为一个三角形；②若四棱锥的底面 是一个矩形，且有一条侧棱与底面垂直，则其正视图为 一个三角形；③将三棱柱的一个侧面水平放置，正对着 底，沿着侧棱看，可得其正视图为一个三角形；④对于 四棱柱，无论从哪个方向看，其正视图都不可能是三角 形；⑤圆锥的底面水平放置，其正视图是三角形；⑥圆 柱从不同的方向看，其正视图都不可能是三角形．
[例4] (文)已知一空间几何体的三视图如下图所 示，它的表面积是( )
A．4＋ 2
B．2＋ 2
C．3＋ 2
D．3
分析：由主、左视图可知，该几何体的侧棱垂直于
底面，由俯视图知，该几何体的底面是Rt△，因此该几
何体是一个直三棱柱．
解析：由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角 三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角边长和棱柱的 高都是1，故表面积S＝2× 12×1×1 ＋2×(1×1)＋ 2 ×1＝3＋ 2.
答案：D
点评：要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、 棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视 图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问 题，由三视图画出其直观图．
(2010·课标全国文，15)一个几何体的正视图 为一个三角形，则这个几何体 可能是下列几何体中的________． (填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
何如 黄永金 钟信 梁美双 谭艳福
重点难点 重点：①空间几何体的结构特征、性质． ②平行投影与中心投影性质，斜二测直观图画法规 则与三视图画法原理、规则． 难点：①柱、锥、台、球的几何性质的掌握与运用 ②平行投影原理、斜二测直观图画法规则、三视图 画法．
1．直观图 (1)直观图：用来表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图． (2)斜二测画法的规则： ①在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy， 再作 Oz 轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
答案：B
(文)(2011·山东济宁模拟)如下图，下列几何体各自 的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析：∵正方体的正视、侧视、俯视图都为正方 形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三 角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯 形、梯形、三角形(但两梯形不相同)；正四棱锥的正 视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方 形．
②画直观图时(图(1))，把 Ox、Oy、Oz 画成对应的轴 O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或 135°)， ∠x′O′z′＝90°.x′O′y′所确定的平面表示水平平 面．
③已知图形中，平行于 x 轴、源自 轴或 z 轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x′轴，y′轴、z′轴的线段．并 使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线 段和原坐标轴的位置关系相同．
答案：D
(理)(2011·江西文，9)将长方体截去一个四棱锥，得 到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为( )
解析：
根据正投影的性质，并结合左视图要求及如上图所 示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′， BD′的正投影为B′D′，综上可知左视图为选项D.
答案：D
依据三视图进行计算
答案：C
(理)下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺 寸(单位：cm)，可知几何体的表面积是( )
A．18＋ 3
B．16＋2 3
C．17＋2 3
D．18＋2 3
分析：由主、俯视图可知，该几何体侧棱与底面垂
直，由左视图知，该几何体的底面为正三角形，故该几
何体是一个横放的正三棱柱．
解析：由三视图可得，该几何是一个底面边长为2高
和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立 投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射 到这个平面内的图形叫做 左视图 (或侧视图)．
将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个 投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫 做空间图形的三视图．
(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何 体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓 线．画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽， 主左一样高．
为3的正三棱柱，其表面积S＝3×2×3＋2×
3 4
×22＝18
＋2 3cm2.
答案：D
(文)(2010·天津文，12)一个几何体的三视图如下图 所示，则这个几何体的体积为__________．
解析：这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直 棱柱，梯形两底边长为1和2，高为2，棱柱的高为1，
答案：①②③⑤
由直观图到三视图
[例3] (2011·枣庄质检)如下图，几何体的主(正)视图 和左(侧)视图都正确的是( )
解析：直观图中的几何体是由斜二测规则画出的， 故几何体是一个长方体沿交于同一顶点的三条面对角线 截去一角余下的部分，主视图从正前方向后投影，故应 得到一个矩形和一条实对角线，对角线的方向是左上到 右下，左视图从左向右投影，得到一个矩形和一条虚对 角线，虚对角线应是左上到右下的方向，故选B.
由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相 等、高平齐”的原则作出判断．
由三视图想象几何体的形状
[例 1] (2011·安徽省皖南八校联考) 如下图是一个物体的三视图， 则此三视图所描述的物体的直观图是( )
解析：由俯视图的形状可知直观图是选项B或选项D 中的一个，根据正视图和侧视图可知选项B错．故选D.
④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段， 图中保持长度不变，平行于 y 轴或在 y 轴上的 长度为原来的一半．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴 到了空间图形的直观图．
(2)三视图 为了使画出的图形更准确地反映空间图形的大小和 形状．通常总是选择三个两两互相垂直的平面作为投射 面作正投影． 一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这 个平面内的图形叫做 俯视图 ． 一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投 射面；投射到这个平面内的图形叫做 主视图 (或正视 图)．
解析：①若正视投射线与三棱锥的一个侧面平行， 可得三棱锥的正视图为一个三角形；②若四棱锥的底面 是一个矩形，且有一条侧棱与底面垂直，则其正视图为 一个三角形；③将三棱柱的一个侧面水平放置，正对着 底，沿着侧棱看，可得其正视图为一个三角形；④对于 四棱柱，无论从哪个方向看，其正视图都不可能是三角 形；⑤圆锥的底面水平放置，其正视图是三角形；⑥圆 柱从不同的方向看，其正视图都不可能是三角形．
[例4] (文)已知一空间几何体的三视图如下图所 示，它的表面积是( )
A．4＋ 2
B．2＋ 2
C．3＋ 2
D．3
分析：由主、左视图可知，该几何体的侧棱垂直于
底面，由俯视图知，该几何体的底面是Rt△，因此该几
何体是一个直三棱柱．
解析：由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角 三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角边长和棱柱的 高都是1，故表面积S＝2× 12×1×1 ＋2×(1×1)＋ 2 ×1＝3＋ 2.
答案：D
点评：要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、 棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视 图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问 题，由三视图画出其直观图．
(2010·课标全国文，15)一个几何体的正视图 为一个三角形，则这个几何体 可能是下列几何体中的________． (填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱