数学运算之鸡兔同笼问题专题

第五节鸡兔同笼（列方程求解）

1. 《孙子算经》解法：设头数为a,足数是b。则b/2-a是兔数，a-(b/2-a)是鸡数。

2. 《丁巨算法》解法：鸡数=（4*头总数-总足数）/2，兔数=总数-鸡数

兔数=（总足数-2*头总数）/2

鸡数=总数-兔数

鸡兔同笼的变式，这种题目的思想是假设，假设全是鸡，算出脚数，与题目中给出的脚数比较，看差多少，每差一个（4-2）只就说明有一只兔子，将所差脚数除以（4-2），就可以求出兔子数，同理假设全是兔，可以求出鸡数。

例：红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.

利用上面算兔数公式，就有：

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算，经常可以利用已知脚数的非凡性.例2

中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8×（11 19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5。就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3. 30×8比19×16或11×16要轻易计算些.利用已知数的非凡性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。

例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10 11×6=256，比280少24。

24÷（19-11）=3，

就知道设想6只“鸡”，要少3只。要使设想的数，能给计算带来方便，经常取决于你的心算本领。

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

【例1】鸡、兔同笼，共有头 40个，足92 只，求兔子有多少只？（）

A.5只

B.6只

C.7只

D.8只

［答案］B

［解一］假设有x只鸡，y只兔子，则：

x+y=40

2x+4y=92

x=34，y=6

［解二］如果笼中都是鸡，可有足40×2=80只，每只鸡换成兔子可多 4-2=2只足，又一共差92-80=12只足，所以共有兔子12÷2=6只。

［备注］解二不需要列方程组，解题迅速，但对思维上的要求较高。因此，对于数学思维一般的同学，仍然推荐列方程组求解，这样可以达到既快速又准确的目的。