数学实验报告之一——Rossler方程

数学实验报告之一——Rossler方程

自动化学院2001级刘和松

一 .实验目的

掌握用MATLAB软件求解微分方程的基本方法，掌握求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；了解二次迭代过程中三种图形表示的含义，观察分枝与混沌现象，学会分析迭代对参数的敏感性。

Rossler方程组是非线性动力学中一个非常著名的方程，在理论和实际中都有非常重要的价值。但是，由于它没有精确的解析解，我们只能通过数值方法对其进行求解。

二.试验内容——Rossler方程

Rossler方程组

当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65)）时方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状。

三．问题分析

对于Rossler方程组这样的非线性微分方程组，不可能求得其解析解。利用MatLab可以用数值解法进行模拟。

在物理意义上，t一般表示时间，x，y，z通常表示几个随时间变化的物理量，例如几种生物种群的数量，或者是几个常见的物理量。

对于混沌现象，我们通常更关心变量的最终归宿。因此，在研究时，我们有时舍去方程解的前几组数值。

四．MatLab求解

建立函数M文件rossler.m，在其中用x(1)表示x，用x(2)表示y，用x(3)表示z.

function r=rossler(t,x)

global a;

global b;

global c;

r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];

主程序如下：

global a;

global b;

global c;

b=2;

c=4;

t0=[0,200];

for a=0:0.02:0.65

[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);

a

subplot(1,2,1);

plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');

title('x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况');xlabel('t');

subplot(1,2,2);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

pause

end

1． b=2,c=4

a=0.00

当a=0时，(x,y,z)收敛于（0,0.5,0.5）

当a=0.05时，(x,y,z)仍然收敛，但收敛速度较小。

a=0.05

a=0.12

当a=0.12时，(x,y,z)仍然收敛（准确的说，只能说具有收敛的趋势，其收敛速度已大大降低）。

a=0.16

a=0.16时，(x,y,z)已经发散。但是，(x,y,z)并不是发散于无穷大，而是周期性变化。

a=0.20

随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快。

a=0.28

a=0.38

a=0.54

2．因为只关心迭代的最终归宿，我们改变作图方法：忽略初值，只打印迭代末尾的100个值。

主程序如下：

global a;

global b;

global c;

b=2;

c=4;

t0=[0,200];

for a=0:0.02:0.65

[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);

a

t(1:length(t)-100)=[];

x(1:length(x)-100,:)=[];

subplot(1,2,1);

plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');

title('x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况');xlabel('t'); subplot(1,2,2);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

pause

end

a=0

a=0.10

a=0.22

右边的相图形象地表示了(x,y,z)迭代的最终归宿。象这种(x,y,z)趋向于一个环的，我们称这样的环为“极限环”。

a=0.36

当a增大时，单个极限环的稳定性已经失去，进入二周期极限环。

a=0.38

随着a的增大，二周期极限环也失去稳定性。

3.当a较大时，增加迭代次数，可以更好地看出规律。

a=0.40

a=0.42

a=0.46

a=0.52

由以上几图可以看出，a增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。这就是形成混沌(chaos)的必要条件。

五、总结体会

Rossler方程组是非线性动力学中非常著名的方程。由于非线性动力学与线性有非常大的区别，我们也不能通过分析的方法求得它的解析解，因此只能采取数值模拟的方法近似求解。通过这个方程组，我们可以窥见混沌的一角。

通过本次实验，我进一步熟悉了MatLab的工作环境，学会了用MatLab解方程的方法，掌握了MatLab数组的操作，强化了用MatLab作图的能力。