二次函数中线段最值问题

二次函数中线段最值问题（一）

例1.已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；y＝x2﹣2x﹣3

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；

练习1.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；y＝﹣x2+2x+3，

（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；

练习2.如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；y＝x2﹣2x﹣3，

（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

例2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3

（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为．

练习3.在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y

轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．

（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；y＝＝2x2﹣6x﹣8．（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；

例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥

OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；y＝﹣x2+x+2；

（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

练习4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；y＝x2﹣2x+1．

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．

①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，

请说明理由？

、

练习5.如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．y＝﹣x2﹣x+3，

（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB 于点D，求线段PD的最大值．

练习6.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；y＝x2+2x﹣3．

（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；

例4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数的解析式；（y＝﹣x2+2x+3）

（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

练习7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，

0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；

例5.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

（1）求A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；y＝x2﹣3x﹣4；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

练习8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P 的坐标；