11.2 与三角形有关的角

第2讲与三角形有关的角（11.2）

一、知识重点

1．三角形内角和定理

(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.

(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.

(3)理解与延伸：

因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．

(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．

谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．

【例1】填空：

(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；

(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；

(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.

解析：(1)三角形内角和为180°，已知两角求第三角；

(2)可设∠C＝x°，那么x＋x＋80＝180，求出x＝50.所以∠C＝50°；

(3)设每一份为x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°.

答案：(1)80(2)50(3)5490

2．直角三角形的性质与判定

(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．

如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.

【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．

A ．43°

B ．47°

C ．30°

D ．60°

解析：如图所示，由平行线的性质可知，∠CEF ＝∠α＝43°，所以∠BDC ＝∠CEF ＝43°，∠β＝∠DBC ，在Rt △DBC 中，∠DBC ＋∠BDC ＝90°，所以∠β＋43°＝90°，所以∠β＝90°－43°＝47°.

答案：B

(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．

如图所示，在△ABC 中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC 是直角三角形．

提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．

【例2－2】 如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分

线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：△EPF 是直角三角形．

证明：∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.

∵EP ，FP 分别平分∠BEF ，∠DFE ，

∴∠PEF ＝12∠BEF ，∠PFE ＝12

∠DFE ， ∴∠PEF ＋∠PFE ＝12(∠BEF ＋∠DF E )＝12×180°＝90°，∴△EPF 是直角三角形． 3．三角形的外角

(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC 其中的一个外角．

(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．

②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．

破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．

【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.

解析：∠A和与它相邻的外角互为邻补角，∠A又等于和它相邻的外角的四分之一，所以∠A＝36°，∠A的外角为144°，所以∠B＝72°，根据三角形内角和为180°，可以求得∠C ＝72°.

答案：36°72°72°

4.三角形外角性质

(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．

注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.

(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；

②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．

析规律三角形外角的性质的理解①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．

【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.

解析：由三角形外角性质定理可知，∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE，所以∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE.

因为90°＋∠AED＋∠ADE＝180°，

所以∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°.

答案：270°

5．三角形外角和

(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．

(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.

注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．

【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.

分析：方法一：根据同顶点的外角与内角互为邻补角和三角形内角和定理证明；

方法二：根据一个外角等于和它不相邻的两个内角的和及三角形内角和定理证明．解：方法一：因为∠1＋∠BAC＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°，

所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.

又∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

所以∠1＋∠2＋∠3＋180°＝540°.

所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.

方法二：因为∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝2(∠ABC ＋∠ACB＋∠BAC)＝2×180°＝360°.

点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据．

6.三角形内角和定理应用

三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：

(1)已知两角求第三角

这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系．

(2)已知三角的比例关系求各角

这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180°列方程求解，然后再求出每一个角的度数．有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状．

(3)已知三角之间相互关系求未知角

这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数．

解技巧利用三角形内角和求三角形的内角运用三角形内角和定理求角的度数题目