《线性代数》电子教案矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换与线性方程组
.
1 a
1 1
,
r − 2r1 r3 + (a − 2)r2 2 3 a+2 3 2 0 −1 0 −1 a 1 r3 − 3r1 3 a −2 0 0 a − 2 −3 −1 0 0
1 −2
1 −2
x2 = k1 −3 + k2 −1 + 0 1 x 3 0 x4 1
1 . 0 0
其中 k1 , k2 为任意常数.
(II) 当 λ =
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
秩是矩阵的一种内在属性. 矩阵的这种内在属性是与生俱来的, 一个矩阵一旦诞生, 它 的这种内在属性就确定了. 虽然初等变换可以把它们变得面目全非, 但是它们的这个内在 属性是不变的. 等价的矩阵, 看上去各各不同, 但是有一个内在属性是一样的, 那就是它们 的秩.
§3.1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
min R(A), R(B ) . 其中 A, B 分别为 s × n 和 n × m 矩阵.
(三) 线性方程组有解判别 (1) 一般的方程 Ax = b 的情形.
对 n 元线性方程组 Ax = b, 记 B = (A, b). 注意到 R(B ) 比 R(A) 只多 0 或 1.
是否出现矛盾方程是方程组有解与否的关键; 是否出现自由未知量又是区分有无限多解和有唯 一解的关键. 换成秩的角度去说问题, 就呈现为下面的表达:
n 元线性方程组 Ax = b 有解 ⇐⇒ R(A) = R(B ). 且 n 元线性方程组 Ax = b 无解 ⇐⇒ R(A) = R(B ). (2) 齐次方程组 Ax = 0 的情形. R(A) = R(B ) = n, 有唯一解; R(A) = R(B ) < n, 有无限多解.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组.
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
方程组的同解变换与增广矩阵的关系
在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同 解的方程 这种变换过程称为同解变换.
同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵初等变换举例
~ ~ 21
1 1
1 2
1 1
42
43
6 6
2 9
2 7
94
r
01
1 1
2 1
1 1
04
00
0 0
0 0
1 0
03
r
0001
0 1 0 0
1 1 0 0
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的 探讨中都可起重要的作用.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
方程组的同解变换与增广矩阵的关系
在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同
解的方程 这种变换过程称为同解变换.
线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以 转换为对方程组的增广矩阵的变换.
把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种 初等变换.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去.
线性代数矩阵的初等变换与线性方程组
方程组与增广矩阵是一一对应关系 一一对应关系 方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 − 1 2 4 ~ A = 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组 同解方程组? 首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程 组也称等价方程组 等价方程组. 组也称等价方程组.
-9-
下面形状的矩阵称为(行 阶梯形矩阵 下面形状的矩阵称为 行)阶梯形矩阵 定义 …
1 0 0 0
1 2 0 2 1 2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
3 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
下面形状的矩阵称为(行)最简阶梯形矩阵 定义 … 下面形状的矩阵称为 行 最简阶梯形矩阵
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
-1-
§3.1 矩阵的初等变换
引例 用Gauss消元法求解下面方程组 消元法求解下面方程组 ① 2 x1 − x 2 + 2 x 3 = 4 ② x1 + x 2 + 2 x 3 = 1 4 x + x + 4 x = 2 ③ 1 2 3
r3 + 5r2 r4 − 3r2
1r 2 2
4 0 0 2 − 6 0 1 − 3
r3 ↔ r4
r4 − 2r3
r1 − r2 r2 − r3
1 0 0 0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4 3 0 1 − 3 0 0 0
-12-
下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变 下面讨论对一个矩阵实施初等变换 既可用行变 换又可用列变换)能把矩阵化成最简单的形状是什么 换又可用列变换 能把矩阵化成最简单的形状是什么? 能把矩阵化成最简单的形状是什么 定义 如果 A → B ,则称 A 与 B 等价 则称
(完整word版)线性代数教案
线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》电子教案-第三章
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
对上例的行最简形矩阵再施以初等列变换
1 0 0 0
c4 0 2 0 1 c3 c4+2c1-3c2 1 3 0 2 0 0 1 0 c5-c1+2c2 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
行最简形
特点：非零行的第一个非 零元素为1，这些非零元所 在列的其他元素都为0
标准形
特点：左上角是一个单位 矩阵，其余元素全为0
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
3. 若mn矩阵 A经过有限次初等变换化为 Er Or(nr) (r ) Emn O(mr)r O(mr)(nr)
( 的形式, 则称 Emr)n 为A的(等价)标准形.
注: 标准形是所有与原矩阵等价的矩阵中 形状最简单的一个。可以证明: 任何一个 矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准 形.
前面第二个问题的另一种解答。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
我们知道，线性方程组与线性变换是一一对应，下面我们给初等变 换建立相对应的概念。
刚才的第一个问题得到了回答。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
2. 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
如果矩阵A满足如下条件 若A有零行(元素全为零的行), 且零行位于 最下方, 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为 零的元)的列标随行标的递增而递增, 则称A为行阶梯形矩阵。这时称 A 中非零行的 行数为A的阶梯数。例如 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 0 0 2 0 0 0 4 1 1 2 , 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 4 2 3 4
线性代数教案 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
教案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日100100000101j 11⎥⎥⎥⎦列乘矩阵某行或某列 记为11k⎤⎥⎥⎥⎥⎦列乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去i 111⎥⎥⎥⎦列j初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，)(j i kr r =E课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日12122212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦，2m b ⎥=⎥⎥⎦b ，2n x ⎥=⎥⎥⎦X ，则（1=AX b 定义增广矩阵：1112121222212(,n n m m mnm a a a a a a a a a b ⎡⎢⎢⎥==⎢⎥⎥⎦B A b ）有着一一对应关系。
如果方程组（1）有解，则称用一个不等于零的数乘某一个方程；课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日1211220n n n nm m mn n a x a x a x a x a x +=++⎨⎪⎪+++=⎩课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日12122212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦，2n x ⎥=⎥⎥⎦X ，则（4=AX 齐次线性方程组（4）总是相容的，当 1 = 0、x 2 = 0组解称为零解，其它的解称为非零解。
齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例。
自然，非齐次线性方程组的一些结应齐次线性方程组。
于齐次线12121222120n n m m mna a a a a a ⎥⎥⎥⎦，显然有），因此，齐次线性方程组总是相容的。
进一步，（B ）= n 时，方程组（4）有唯一的零解；（B ）< n 时，方程组（4）有无穷解。
求解齐次线性方程组 123122222x x x x x x x x +++⎧⎪+--⎨⎪-⎩。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．定义2 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ (2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000322104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§2 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2.),()()(0110Δj i E j i E E E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ )]([Δk i E E kE E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E E k EE j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n nm a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i αααα 1[]nj i nm A ββββ,,,,,,1 =⨯性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j αααα 1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k ααααα 1由此可得：对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []nijββββ,,,,,,1=)]([k i E A n []njik ββββ,,,,,,1=)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意：3B A ij c k c +→因此可得：对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵． 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =- 0)]([det ≠=k k i E , )]1([)])(([1ki E k i E =-1)](,[det =k j i E , )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=- 定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒, 故存在初等矩阵 PsP ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得 n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理2 设n m A ⨯,n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵PsP ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =． 充分性 已知B PAQ =, 则由定理1知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, , 故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 也就是n m n m B A ⨯⨯≅． 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A 21=⇒ （i P 都是初等矩阵） ⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列（A 的位置）成为E 时，则后n 列（E 的位置）为1-A ．例2 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a a A ，试用初等变换法求1-A解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232aaa a a a 依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -, 12ar r -可得 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001aa a 故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A ．例4 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424 r r r r r r E A因为2330233023311111-------，所以0||=A ，故A 不可逆，即1-A 不存在.[注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B . 解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010001523012101 E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业： 习题三 P79:1(1)(4)4, 5讲授内容§3.3 矩阵的秩教学目的和要求：通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性．理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩. 教学重点：矩阵的秩.教学难点：理解矩阵的秩的概念和基本性质，矩阵的秩的定义及计算.教学方法与手段：矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义的，因此，若R （A ）=r ，则意谓着，A 中必有一个r 阶非零子式，同时A 中所有的r+1阶子式（若存在的话）必为零.搞清楚了矩阵的秩的概念，便可进一步理解矩阵的秩的基本性质及其它性质．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k nk m C C 个． 定义5. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ，而A 的所有三阶子式（4个）0312101011=-，0312101011=-，0332111001=，0331110001=-所以 ()2=A R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=03690140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=0369140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论 性质：1. ()00=⇔=A A R ；2. 对于n m A ⨯，有()),min(0n m A R ≤≤；3. 若()r A R =，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, ))A R(kA R(=5.))A R(A R(T= 6. A 中的一个0≠r D r A R(≥⇒) 7. A 中所有的01=+r D r A R(≤⇒)8. {}())()(,)(),(B R A R B A R B R A R max+≤≤ 9. {}R(B)R(A),minAB)R ≤( 10.若0B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()([注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵； 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A <rank , 称A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵 ⇔0||≠A (A 可逆 ⇔ A 为满秩方阵).定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒． 设r A =rank , 仅证行变换之(3)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <, 则有)(1B r D +不含i r ：0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒A B ji r k r -→B Ar a n k r a n k ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． (2) 若m r =或者n r =, 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A , )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似．定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r, 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩, 则n E A ≅．推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank=⇔． 三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算，其常用的方法有：1. 只用初等行变换，可把A 变成阶梯形矩阵. 例7 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r （阶梯形），有此可看出 .3)(=A R2．进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .在例7中，IA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形. 例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R (B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答. 已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A错误解答⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-113011A 错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A 来求1-A 时,要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换. 正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业：习题三 P79:6,7,10讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．利用矩阵的秩，使学生清楚“线性方程组的解Ax=b 有解的充要条件是),()(b A R A R =和“n 元齐次线性方程组的解Ax=0有非零解的充要条件是n A R <)(”这两个线性方程组理论中的最基本的定理。
线性代数 第三章矩阵初等变换与线性方程组
3 7 2 7 0 0
13 7 4 7 0 0
13 7 4 7 0 0
13 3 13 x1 x3 x4 7 7 7 x 4 2 x 4 x 7 7 3 7 4 2
令
x3 c1 , x4 c2 (c1 , c2为任意常数）
18
3 0 0
2
k
k2 4 0 1 2 k 3 3 1 2
3 0 0
k 2 5 18 5k 2 1 k 3 3 2
2 1 0 k 2 4 1 2 k k 1 3 3
18 5k
线性方程组的解
设一般线性方程组为
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am 1 x1 am 2 x2
பைடு நூலகம்
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
(1)
线性方程组有解，我们称它们是相容的；如果无解，则 称它们是不相容的。 方程（1）对应的矩阵方程为
定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得 到的新的线性方程组与原方程组同解。 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩 阵；做初等行变换
B ( A, b )
最后一行有
0 x3 1,
8
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b ) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
矩阵初等变换法解方程组教案
矩阵初等变换法解方程组教案一、教学目标：1. 理解矩阵初等变换的概念及其作用。
2. 掌握矩阵初等变换的法则，能够进行矩阵的初等变换。
3. 学会运用矩阵初等变换法解方程组，提高解方程组的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：矩阵初等变换的概念、法则及应用。
2. 难点：矩阵初等变换的法则，运用矩阵初等变换法解方程组。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。
2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。
3. 采用练习法，巩固所学知识。
四、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。
2. 教学素材（如方程组、矩阵等）。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引出矩阵初等变换的概念。
2. 讲解：讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。
3. 案例分析：分析并解决实际问题，让学生理解矩阵初等变换在解方程组中的应用。
4. 练习：让学生运用所学知识，解决一些简单的方程组。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调矩阵初等变换在解方程组中的重要性。
6. 布置作业：布置一些有关矩阵初等变换和解方程组的练习题，巩固所学知识。
六、教学反思：在课后，对学生的学习情况进行总结，对自己的教学方法进行反思，以便改进教学，提高教学效果。
七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和作业，评价学生对矩阵初等变换的概念、法则及应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的创新能力和合作精神。
八、课时安排：2课时九、教学内容：第一课时：1. 矩阵初等变换的概念。
2. 矩阵初等变换的法则。
3. 矩阵初等变换的应用。
第二课时：1. 运用矩阵初等变换法解方程组。
2. 案例分析与练习。
十、教学拓展：引导学生深入研究矩阵初等变换的性质，探讨矩阵初等变换在实际问题中的应用。
鼓励学生参加相关竞赛，提高自己的数学素养。
六、教学案例与实例分析1. 案例一：解二元一次方程组给定方程组：\[\begin{cases}ax + = c \\dx + ey = f\end{cases}\]通过矩阵表示方程组，并利用初等变换将其化为行最简形式，从而求解未知数。
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
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1 1 2 0 4 1 1 0 0 4
01 00
3 0
2 2
2 3
,
01 00
0 2 2 0 2 3
00 0 0 0 00 0 0 4
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
如果行阶梯阵A还满足如下条件 各非零首元全为1, 非零行首元所在列的其余元素全为0,
则称A为行最简形矩阵. 例如
x2+2x3 = 2 1 轻
x22x3 = 2
装 上
x1+2x2 x3 = 3
阵
x2+2x3 = 2
0= 0
§3.1 初等变换与初等矩阵
2 3 4 4 1 2 1 3 2 2 6 2 1/2
1 2 1 3 2 (1) 2 3 4 4 1 1 3 1
1 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 2 2
1 2 1 3 0 1 2 2 00 0 0
§3.1 初等变换与初等矩阵
我们知道，线性方程组与线性变换是一一对应，下面我们给初等变 换建立相对应的概念。
二. 初等矩阵
1. 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵. 按定义, 初等矩阵共有如下3类:
(1) E ri rj E(i, j) E ci cj E(i, j) 行（列）对调
(2) E rik E(i(k)) E cik E(i(k)) 行（列）数乘
2x1 + 2x2 6x3 = 2
采用我们代数中的消元法求解该方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2
x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4
x1 + x23x3 = 1
x1+2x2 x3 = 3
应的元素上去(第j行的k倍加到第i行记 为ri+krj).
把上述定义中的 “行” 换成 “列”, 即得到初 等列变换的定义 (相应的记号是把“r”换成 “c”).思考：我们在解上面的方程组时只使用了行变换，为什么没有使用列变换？
初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
《线性代数》电子教案
第三章
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
§3.1 初等变换与初等矩阵
前面我们已经看到，无论是采用克拉默法则求解线性方 程组或者是采用逆矩阵的定义法求解逆矩阵都需要很大 的计算量，因此我们迫切需要新的计算方法。
一. 初等变换
已知线性方程组
2x1 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 x3 = 3
E (r) mn
Er O(mr)r
Or(nr) O(mr)(nr)
的形式,
则称
E (r) mn
为A的(等价)标准形.
注: 标准形是所有与原矩阵等价的矩阵中 形状最简单的一个。可以证明: 任何一个 矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准 形.
前面第二个问题的另一种解答。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
初等变换具有可逆性： 任何初等变换都可以通过同一类型的逆变换化为
原来的形式。
请思考：经过初等变换的矩阵和原矩阵有什么关系？ 矩阵经有限次初等变换最终可以得到什么？
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
矩阵等价的定义（可与线性方程组相结合来理解等价
的含义）
若矩阵A经过有限次初等行（列）变换化为B, 则称 A与B行（列）等价. 记为A r~(c)B
若矩阵A经过有限次初等变换（既可进行行变换也可 进行列变换）化为B, 则称A与B等价.记为A ~ B.
容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质:
(1) (反身性) A ~ A, (2) (对称性) A ~ B B ~ A, (3) (传递性) A ~ B, B ~ C A ~ C .
(3) E ri+krj E(i, j(k)) E ci+kcj E(j, i(k))行（列）倍加
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§3.1 初等变换与初等矩阵
1
1 0………1
第i行
……… ………
E(i, j) =
1
1 1………0
1
1
第
第
i 列
ci cj
j 列
ri rj
刚才的第一个问题得到了回答。
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§3.1 初等变换与初等矩阵
2. 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
如果矩阵A满足如下条件
若A有零行(元素全为零的行), 且零行位于 最下方, 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为 零的元)的列标随行标的递增而递增,
则称A为行阶梯形矩阵。这时称 A 中非零行的 行数为A的阶梯数。例如
1 0 2 0 1 0 1 3 0 2 00 0 1 0 00 0 0 0
注: 用数学归纳法可以证明: 任何一个矩阵都个问题的一种解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
对上例的行最简形矩阵再施以初等列变换
1 0 2 0 1 c3 c4 1 0 0 0 0 0 1 3 0 2 c4+2c1-3c2 0 1 0 0 0
00 0 1 0 00 0 0 0
c5-c1+2c2
00 1 0 0 00 0 0 0
行最简形
特点：非零行的第一个非 零元素为1，这些非零元所 在列的其他元素都为0
标准形
特点：左上角是一个单位 矩阵，其余元素全为0
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§3.1 初等变换与初等矩阵
3. 若mn矩阵 A经过有限次初等变换化为
线性方程组的消元过程与其增广矩阵的化简过程是一一对应的。
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§3.1 初等变换与初等矩阵
1.下面三种变换称为矩阵的初等行变换.
(1) 对调两行(对调i, j两行记为ri rj), (2) 以非零的数k乘某一行中的所有元素
(第i行乘以k记为ri k), (3) 把某一行所有元素的k倍加到另一行对
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§3.1 初等变换与初等矩阵
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0= 0
其中c为任意实数.
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
1 2 1 3 0 1 2 2 (2) 00 0 0
1 0 5 1 0 1 2 2 00 0 0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c