湍流的数值模拟方法进展

3 大涡模拟（LES ）
湍流大涡数值模拟（LES ）是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值模拟手段.利用次网格尺度模型模拟小尺度湍流运动对大尺度湍流运动的影响即直接数值模拟大尺度湍流运动, 将N —S 方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。

3。

1 基本思想
很多尺度不同的旋涡一起组成了湍流运动平均流动主要取决于大漩涡的流动，大尺度运动则受到小旋涡的影响。

流动中的大涡实现了动量、能量质量、热量的交换，耗散主要是由于小涡作用的。

大旋涡中受到流场形状、阻碍物的影响，,使大漩涡的各向异性更加明显。

然而小漩涡之间各项同性，相互没有太大的区别，所以建立统一的模型比较容易一些.综上所述,大涡模拟将湍流瞬时运动量通过滤波将运动分成小尺度和大尺度.大尺度的运动受到小尺度的运动的影响可以通过应力项（类似于雷诺应力项）来表示，即为亚格子雷诺应力，以建立这种模型的方法来模拟。

而大尺度则是求解运动微分方程而计算出来的，也就是说大涡模拟,要先过滤掉小尺度的脉动,然后再推出小尺度的运动封闭方程以及大尺度的运动控制方程。

3。

2 滤波函数
正如上面提到，大涡模拟要先将流动变量分解成小尺度量和大尺度量，我们把这个作用叫做滤波.滤波运算就是在一区域内按照一定的条件对函数进行加权平均，作用是将高波数滤掉，使低波数保留，滤波函数的特征尺度决定了截断波数的最大波长,下面三种滤波函数是最为常用的主要有以下三种：盒式、富氏截断以及高斯滤波函数.
不可压常粘性系数的湍流运动控制方程为N-S 方程:
j ij i j j i i x S x P x u u t u ∂⋅∂+∂∂-=∂∂+∂∂)2(1γρ
式中:S 拉伸率张量，表达式为：2/)//(i j j i ij x u x u S ∂∂+∂∂=；γ分子粘性系数；ρ流体密度。

设将变量i u 分解为方程（11）中i u 和次网格变量(模化变量）'i u ,即'+=i i i u u u ，
i u 可以采用Leonard 提出的算式表示为:
(11）
式中)(x x G '-称为过滤函数，显然G(x)满足
x d x u x x G x u i i '
''-=⎰+∞
∞-)()()(⎰+∞
∞-=1)(dx x G
3.3 控制方程
将过滤函数作用与N —S 方程的各项，得到过滤后的湍流控制方程组:
由于无法同时求解出变量i u 和j i u u ,所以将j i u u 分解成i j i j ij u u u u τ=⋅+，ij τ即称为次网格剪切
应力张量(亦称为亚格子应力)。

由此动量方程又可写成:
式中ij τ代表了小涡对大涡的影响。

3.4亚格子模型
通常在大涡模拟应用最广泛的亚格子模型主要有：动态混合模型、标准的Smagorinsky 模型、尺度相似模型、动态涡粘性模型、选择函数模型、梯度模型、选择函数模型等。

而应用最广泛的模型则是Smagorinsky 模型。

3。

4。

1亚格子涡扩散和涡粘模型
不可压缩湍流的亚格子涡扩散和涡粘模型采用分子热扩散和分子粘性的形式，即
i
t i x T ∂∂=θκ kk ij ij t ij S τδντ3
12+=
式中t κ和t ν分别为亚格子涡扩散系数和亚格子涡粘系数;(1/2)[(/)(/)]ij i j j i S u x u x =⋅∂∂+∂∂为可接尺度的变形率张量。

上式第2项的作用是满足不可压缩连续方程，当ij S 收缩时(ij S =0）公式等号左右两边相等。

把亚格子应力的涡粘模型公式代入到（13)式中，即得
)])([()3(i
j i i t i kk i i i j i x u x u x p x x u u t u ∂∂+∂∂+∂∂++∂∂-=∂∂+∂∂νντρ ()(2)1i j ij i j i j
u u S u P t x x x γρ∂∂⋅∂∂+=-+∂∂∂∂()(2)1i j ij ij i j i j j u u S u P t x x x x τγρ∂⋅∂∂∂∂+=-+-∂∂∂∂∂
0=∂∂i
x u i 3。

4。

2 Smagorinsky 模型
1963年，Smagorinsky 提出了Smagorinsky 模型，这是第一个亚格子模型。

Smagorinsky 模型认为亚格子应力的表达式如下：
式中
(1/2)[(/)(/)]ij i j j i S u x u x =⋅∂∂+∂∂是可接尺度的变形率张量，T ν是涡粘系数。

1963年Smagorinsky 定义了涡粘系数：
）
式中2/1)2(ij ij S S S =是变形率张量，∆是过滤尺度,C S 无量纲参数,称为Smagorinsky 系数。

3.4。

3 动态亚格子模式
动态亚格子模式 由Germano 在1991年提出的，这种模式是以Smagorinsky 模式作为基本点模型，但却弥补了Smagorinsky 模式的一些不足。

动态亚格子模式其实是使亚格子涡粘模型的系数得到动态确定。

动态亚格子模式要两次对湍流场做进行过滤，第一次为细过滤，然后再进行粗过滤.应力模型的系数是通过检验滤波器尺度条件和网格尺度计算得到的应力求差而得到的，使模型系数表示成时间和空间的函数，在模拟时就不需要对系数做调节。

在这点上比Smagorinsky 模式定系数计算更合理。

3。

4.4 相似性模式
尺度相似模式由Bardina 于1980年提出。

此模式是假设主要是由大尺度脉动中的最小尺度脉动而产生的由大尺度脉动到小尺度脉动的动量输运,而且过滤掉的小尺度脉动速度和过滤后的最小尺度脉度速度相近.由相似性假定和二次过滤能导出亚格子应力表达式。

应用该模式可以准确的预测墙壁面附近的渐近特性,但不适于模拟各向不均匀的的复杂流动，比如模拟室内空气的流动结果准确性较差.
ij T kk ij ij S ντδτ231-=-S C S T 2)(∆=ν
3。

4.5 混合模式
混合模式中的亚格子应力是通过Smagorinsky 模式和相似性模式的叠加来而确定的。

这种模式湍动能耗散充足，而且和实际亚格子应力有紧密的联系，。

3.5 大涡模拟的特点
(1)可以描述小尺度湍流的流动，而且计算量要小于DNS 方法，无论在工程应用还是科学研究都得到广泛的应用。

有很大的发展空间.
(2）用非均匀网格能够使网格数达到最少，在节省计算资源的同时又能保证计算的精度。

(3）湍流尺度比网格尺度小，可以模拟湍流发展过程的一些细节。

(4)相较于RANS 方法，LES 可以模拟更多的湍流大尺度运动，LES 所用的湍流亚网格应力模型受边界的几何形状和流动类别的影响小，比 RANS 方法所用的Reynolds 应力更具普适性.
其不足之处在于：
（1)小涡模型网格节点的划分极密集，需要庞大的计算机存储能力；
（2） 大量数据处理和非线性偏微分方程的求解需要高速数值处理能力；
（3)仅用于比较简单的剪切流运动及管流。

（4) 由于实际湍流极其复杂，数值模拟仍需要非常可观的计算时间和实验经费。

4 直接数值模拟 (DNS ）
直接数值模拟（DNS ）是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N — S 方程组,计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维流场中的时间演变。

4。

1 控制方程
用非定常的N - S 方程对湍流进行直接计算， 控制方程以张量形式给出：
21i i i j i j i j i u u u p u f v t x x x x ρ∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂∂
=0i j
u x ∂∂ 4.2 常用数值方法
由于最小尺度的涡在时间与空间上都变化很快，为能模拟湍流中的小尺度结构，具有非常高精度的数值方法是必不可少的.
4。

2。

1谱方法或伪谱方法
谱方法或伪谱方法是目前直接数值模拟用得最多的方法，其主要思路为，将所有未知函数在空间上用特征函数展开，成为以下形式：
()()()()123(,)mnp m n p m n p V x t a t x x x ψϕχ=∑∑∑ (3）
其中m ψ，n ϕ与p χ，都是已知的正交完备的特征函数族.在统计均匀性的空间方向或具有周
期性一般都采用Fourier 级数展开，该特征函数族精度与效率最高.除此之外，较多选用
Chebyshev 多项式展开，它实质上是在非均匀网格上的Fourier 展开。

此外，也有用Legendre ， Jacobi ， Hermite 或Laguerre 等函数展开，但它们没有可用的快速变换算法.若把该式代到N-S 方程组，一组()mnp a t 所满足的常微分方程组就能得到，可用通常的有限差分法来求解对时间的微分。

在用谱方法求解非线性项时，常用伪谱法来代替而直接求卷积。

伪谱法其实是配置法和谱方法相结合的一种方法，就是先把两量用Fourier 反变换回物理空间，然后在物理空间离散的配置点上去计算二者的乘积，再离散Fourier 变换回谱空间。

应用快速Fourier 变换（FFT)算法，伪谱法的计算速度比直接求两Fourier 级数卷积要快。

不过会存在“混淆误差”，就是在卷积计算时,会混进本应落在截断范围以外的高波数分量，引起数值误差.严重时可使整个计算不正确甚至不稳定，但在多数情形下并不严重，且有一些标准的办法可用来减少混淆误差,但这将使计算工作量增加。

4.2.2高阶有限差分法 高阶有限差分法的基本思想是利用离散点上函数值i f 的线性组合来逼近离散点上的导数值.设i F 为函数()j f x ∂∂的差分逼近式，则
j j j F f α=∑
式中系数j α 由差分逼近式的精度确定，将导数的逼近式代入控制流动的N — S 方程，就得到流动数值模拟的差分方程.差分离散方程必须满足相容性和稳定性.
4。

3 直接数值模拟的特点
（1)直接数值求解N —S 方程组，不需要任何湍流模型，因此不包含任何人为假设或经验常数。

(2）由于直接对N — S 方程模拟，故不存在封闭性问题，原则上可以求解所有湍流问题。

（3)能提供每一瞬时三维流场内任何物理量（如速度和压力）的时间和空间演变过程,其中包括许多迄今还无法用实验测量的量。

(4)采用数量巨大的计算网格和高精度流体力学计算方法，完全模拟湍流流场中从最大尺度
到最小尺度的流动结构，描写湍流中各种尺度的涡结构的时间演变,辅以计算机图形显示，可获得湍流结构的清晰与生动的流动显示。

DNS 的主要不足之处在于：要求用非常大的计算机内存容量与机时耗费。

据Kim ，Moin ＆Moser 研究,即使模拟Re 仅为3300 的槽流，所用的网点数N 就约达到了6
210 ，在向量计算机上进行了250 h 。

5 不同方法的比较
LES, DNS ，RANS 三种方法中DNS 的计算量最大，LES 的计算量介于另外两者之间，而RANS 的计算量最小.计算量的多少主要取决于网格的数量、流场的时间积分长度、和最小旋涡的时间积分长度，网格的数量是计算量最重要的因素。

雷诺时均方程法先将湍流中的物理量如速度、浓度等分成扰动量及平均量，再利用对控制方程作时间平均,同时采用湍流模型仿真湍流的效应，因此大大降低了计算量，但其结果受湍流模型的影响很大。

一般来说,DES 和LES 是最为精细的湍流模型，但是它们需要的网格数量大，计算量和内存需求都比较大,计算时间长,目前工程应用较少.
S —A 模型适用于翼型计算、壁面边界层流动，不适合射流等自由剪切流问题.
标准K-Epsilon 模型有较高的稳定性、经济性和计算精度，应用广泛，适用于高雷诺数湍流，不适合旋流等各相异性等较强的流动。

RNG K —Epsilon 模型可以计算低雷诺数湍流，其考虑到旋转效应,对强旋流计算精度有所提供.
Realizable K —Epsilon 模型较前两种模型的有点是可以保持雷诺应力与真实湍流一致,可以更加精确的模拟平面和圆形射流的扩散速度，同时在旋流计算、带方向压强梯度的边界层计算和分离流计算等问题中,计算结果更符合真实情况，同时在分离流计算和带二次流的复杂流动计算中也表现出色。

但是此模型在同时存在旋转和静止区的计算中，比如多重参考系、旋转滑移网格计算中,会产生非物理湍流粘性。

因此需要特别注意。

标准K-W 模型包含了低雷诺数影响、可压缩性影响和剪切流扩散，适用于尾迹流动、混合层、射流、以及受壁面限制的流动附着边界层湍流和自由剪切流计算。

SST K —W 模型综合了K-W 模型在近壁区计算的有点和K —Epsilon 模型在远场计算的优点,同时增加了横向耗散导数项，在湍流粘度定义中考虑了湍流剪切应力的输运过程，适用更广，可以用于带逆压梯度的流动计算、翼型计算、跨声速带激波计算等。

雷诺应力模型没有采用涡粘性各向同性假设，在理论上比前面的湍流模型要精确的多，直接求解雷诺应力分量（二维5个，三维7个）输运方程，适用于强旋流动,如龙卷风、旋流燃烧室计算等。