《微积分初步》应用题解题步骤
微积分解题
微积分解题摘要：1.微积分解题的基本步骤2.微积分解题的技巧与方法3.微积分解题的实践应用正文：一、微积分解题的基本步骤微积分作为一门重要的数学学科，在解决实际问题中发挥着重要作用。
微积分解题的基本步骤如下：1.确定问题：首先要对问题进行仔细阅读，理解问题的实际意义，明确需要解决的问题。
2.分析问题：分析问题是微积分解题的关键，需要对问题进行抽象，建立数学模型，确定需要运用的微积分知识。
3.建立微分方程：根据问题的实际情况，建立相应的微分方程，如一阶导数、二阶导数等。
4.求解微分方程：运用微积分的求解方法，如分离变量法、积分法等，求解微分方程。
5.检验解的合理性：将求得的解代入原问题，检验解的合理性，如符合实际情况，则得到问题的解。
二、微积分解题的技巧与方法在解决微积分问题时，除了遵循基本步骤外，还需要掌握一定的技巧与方法，如下：1.善于运用数学软件：如MATLAB、Mathematica 等，可以辅助求解微分方程，提高解题效率。
2.熟练掌握常见题型：多加练习，对常见题型的解题思路和方法了如指掌，有利于快速解决实际问题。
3.注意物理意义：在求解微分方程时，要注意其物理意义，如速度、加速度等，确保解的合理性。
4.建立解题思维：在解题过程中，要培养自己的解题思维，善于从问题的实际出发，灵活运用所学知识。
三、微积分解题的实践应用微积分在实际生活中的应用非常广泛，如物理、化学、生物、经济等领域。
通过解决实际问题，可以加深对微积分知识的理解，提高解题能力。
例如，在物理学中，运用微积分可以求解物体的位移、速度等；在经济学中，通过微积分可以研究成本、收益等。
这些实际问题的解决，都离不开微积分的运用。
物理竞赛微积分初步(求导积分)
1. 2. 3. 4.
b
a b
f ( x)dx f ( x)dx
b
a
a b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a b a
b
f ( x) g( x)dx
a b c a a
f ( x)dx g( x)dx
a b c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
例3 求由曲线 y=x2 和曲线 y=4-x2 所包围的面积。 解：先求出两曲线交点A , B 的 x 坐标为: x 2 x 1 2 2 由定积分的几何意义知有： A
y=4-x2
2
y y=x2
B
x
S
2
2
( 4 x )x dx 2
2 2 3 2
2
2 ( 2 x ) dx
解：令 u = e3x, 微分得：du =3 e3x dx ，有：
1 e )dx cosudu e cos( 3 1 1 3x sin u c sin( e )c 3 3
3x 3x
§3 定积分
设函数 y=f (x) 在闭区间[ a, b ] 上连续，将区间[ a, b ] 作 n 等分，各小区间的宽度为△x ，
例：y=sin(ax2+bx+c),
y=esin(2x+3)
二、函数的导数
相应地函数有增量 △y ，则比值
设函数 y=f (x) 在 x 处有一增量△x， y
y=f(x)
△y
△x
y f( x x ) f( x ) x x
x
x+ △x
x
应用微积分解决实际问题的方法和步骤分析
应用微积分解决实际问题的方法和步骤分析微积分是数学的一个分支，它研究连续变化的量和变化率。
通过应用微积分的方法和步骤，我们可以解决许多实际问题。
本文将详细介绍应用微积分解决实际问题的方法和步骤。
首先，解决实际问题的第一步是建立数学模型。
数学模型是对实际问题进行抽象和简化的数学描述。
在应用微积分的过程中，我们需要确定变量的含义，并建立函数来描述问题。
接下来，我们需要分析函数的性质。
这包括函数的定义域、值域、连续性、可导性等。
通过分析函数的性质，我们可以得到关于变量之间的关系和变化率的信息。
在第三步中，我们使用微积分的概念和方法来解决问题。
微积分的两个主要概念是导数和积分。
导数表示函数在某一点的变化率，而积分表示函数在一段区间内的累积变化量。
对于导数的应用，我们可以使用导数来求解函数的最值问题。
例如，通过求解函数的导数等于零的点，我们可以找到函数的极值点。
另外，导数还可以帮助我们确定函数的增减性和凸凹性。
对于积分的应用，我们可以使用积分来求解函数的面积、体积和平均值等问题。
例如，通过计算函数在一个区间上的积分，我们可以求得该区间内的曲线下的面积。
同时，积分还可以用于求解已知变化率的问题，如速度和加速度的关系等。
在解决实际问题时，我们还需注意使用微积分的一些常见技巧。
如利用函数的对称性和周期性，使用换元法进行积分运算，以及应用积分的求导逆运算——微分来简化计算。
此外，在应用微积分解决实际问题时，我们需要对问题进行合理的简化和近似处理。
这可以通过线性化、泰勒展开或离散化等方法来实现。
通过将实际问题转化为数学问题，并进行适当的近似，我们可以更简单地应用微积分来求解问题。
在解决实际问题时，还需要注意不同实际问题所需的微积分方法可能不同。
解决实际问题的关键在于理解问题背后的数学原理，并选择合适的微积分工具和方法。
最后，解决实际问题后我们需要对结果进行验证和解释。
这可以通过数据对比、图像分析和合理性判断等方法来实现。
微积分初步辅导8定积分与无穷积分
《微积分初步》辅导8----定积分与无穷积分一、学习重难点解析（一）关于定积分1. 定积分的概念 定积分⎰bax x f d )(是一个数值, 这个数值为=ba x F )()()(a Fb F -, 这里F (x )是被积函数f (x )的任意一个原函数. 即⎰bax x f d )(=ba x F a Fb F )()()(=-这个数值与积分区间[a ,b ]有关, 与被积函数和积分变量上、下限有关, 但与积分变量选取什么字母无关. 因此有⎰⎰-=abb ax x f x x f d )(d )(0)d )((d d =⎰b ax x f x定积分不同于不定积分. 不定积分⎰x x f d )(是f (x )的全体原函数, 即无穷多个函数, 而定积分⎰bax x f d )(是一个确定的数值.2. 定积分的计算由牛顿——莱布尼茨公式知, 定积分在计算上是完全依赖于不定积分的. 在定积分计算中也有换元积分法和分部积分法, 它们与不定积分中的换元积分法和分部积分法的区别在于：（1）在使用定积分的换元积分法时, 换元一定要换限, 积分变量必须与自己的积分上、下限相对应. 换元换限后, 对新的积分变量求得的原函数, 可直接代入新变量的上、下限求值, 而不必再还原到原来的变量在求值.（2）定积分的分部积分法所处理的函数类型与u , v d 的选择与不定积分完全相同只是在定积分中每一项都必须带积分上、下限.（二）关于无穷限积分无穷限积分的处理方法是将其转化为有限区间积分的极限, 计算时先求有限区间积分（即定积分）得到一个新变量的函数⎰=Φbax x f b d )()(在令+∞→b , 由)(lim b b Φ+∞→的存在与否, 确定⎰∞+ax x f d )(是否收敛. 若收敛则积分值等于极限值.二、典 型 例 题例1 判断下列等式是否正确. （1）21d ln d de 1=⎰x x x x 分析：根据定积分的定义进行判断.解（1）由定积分定义,)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d d e 1=⎰x x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=⎰x xxx . 例2 计算下列积分： （1）x x d sin 20⎰π分析：注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有⎩⎨⎧≤<-≤≤=πππ2sin 0sin sin x x x xx 利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解 (1)⎰⎰⎰-+=ππππ2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=πππx x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例3 计算下列积分：（1）x xxd ln e12⎰（2）x x d sin 203⎰π分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x xu d 1d =, 于是x x u d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.（2）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解（1）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 3313102e12=-===⎰⎰u u u x x x [方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(2) 因为x x d sin 203⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 20320222=-=-=⎰⎰πππx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（1）（2）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（2））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例4 计算下列积分：（1）⎰22d e x x x； （2）⎰e e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为⎰v u d ； 2．代公式,⎰⎰-=u v uv v u d d , 计算出x u u d d '= 3．计算积分⎰u v d . 在定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba ba u v uv v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中ba uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解(1) 设2e ,x v x u ='=, 则2e 2x v =, 由定积分分部积分公式有44e 4e 4e4e 4d e 2e2d e 20222202202=+-=-=-=⎰⎰x x x x x x x x（2）因为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=e1ln 1e1ln ln x x x x x , 利用积分区间的可加性得到⎰⎰⎰+-=e11e1e e1d ln d ln d ln x x x x x x其中第一个积分为⎰⎰-=1e 11e 11e 1d ln d ln x x x x x x x 1e2e 11e 1-=+-= 第二个积分为11e e d ln d ln e 1e1e1=+-=-=⎰⎰x x x x x ,最后结果为e221e 21d ln d ln d ln e 11e1e e1-=+-=+-=⎰⎰⎰x x x x x x . 例5 计算下列无穷限积分：（1）x x d )1(113⎰∞++； （2）⎰∞+-02d e x x ； （3）⎰∞+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分⎰+∞ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分⎰-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+∞→+∞→∞++-=+=+⎰⎰=)41()21(])11()1[(lim 2122-⨯-=+-+---+∞→b b 81=（2）]e 31[lim d elimd e30303bx b bxb xx x -+∞→-+∞→∞+--==⎰⎰31]e e[31[lim 03=--=-+∞→bb (3)+∞===+∞→+∞→∞+⎰⎰bb b b x x x x xx e e e)ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1说明此无穷积分发散.注意：正如中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d )1(11213-=+-=++∞-∞+⎰x x x （2）31]e 31[d e 0303=-=+∞-∞+-⎰xx x （3）+∞===∞+∞+∞+⎰⎰e x x xx x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。
微积分复习及解题技巧.docx
《微积分》复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量X的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母H0②偶次根式函数：被开方式20③对数函数式：真数式>0④反正（余）弦函数式：自变量W1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题Z1补充：求y=、巨的定义域。
（答案：-2<^<|）]ll-2x 2三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章极限与连续式（用罗彼塔法则）求极限主要根据:1、常见的极限：lim 占=（）（。
>0）X->COXlimlim/（x）= /（x o ） XT%初等函数在其定义域上都连续。
例:lim*TXT1兀3、求极限r ‘⑴ 1 lim —- = 1—a gO ）的思路：lim/W= ci （ci 工0常数）X —可考虑以下9种可能:00①彳型不定式（用罗彼塔法则）④5=00⑦汁limgU ） x->a②冷⑤牙<C 2（C 2^O 常数）③2=000@ —=000⑨丝型不定00X丿特别注意：对于f （X ）、g （X ）都是多项式的分式求极限吋，解法见 教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则典型例题：《综合练习》第二大题之3. 4；第三大题之1、3、5. 7、81砂［而+而+而+」（2-1畑+ 1）『1］更寸一3+3丐+」右一冇丿补充4：2型一匚 limf = iXT1 丄（此题用了 “罗彼塔法则”）补充1： 洛lim x-»lsin 2(x-l)广 + ax+补充厶 limX —>00 \2x^lim 12/? +1 丿lim XT1lnxx-1贝 ij a= ~2X 4- Px — \)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题:典型例题：《综合练习》第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主耍方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则:教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y z dx即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9补充：设\ + （arctgx）2,求dy.解：岛…右話十，丿 / X 2arctgx、右+K)dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题: 典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程: 典型例题：《综合练习》第二人题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题:典型例题：《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2第五章不定积分第六章定积分I理论内容复习：1、原函数：F f(x) = /(x)则称F (x)为f (x)的二±原函数。
微积分初步ppt课件
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
【微积分初步】-形考作业1-4答案
电大【微积分初步】 形考作业1-4答案作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2[+∞ 提示：对于)2ln(1-x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠-x ，也就是3≠x ； 对于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x ；所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2[+∞2．函数xx f -=51)(的定义域是 ． 答案：)5,(-∞ 提示：对于x-51，要求分母不能为0，即05≠-x ，也就是5≠x； 对于x -5，要求05≥-x ，即5≤x ；所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ． 答案：]2,1()1,2(--- 提示：对于)2ln(1+x ，要求分母不能为0，即0)2l n (≠+x ，也就是1-≠x ； 对于)2ln(+x ，要求02>+x ，即2->x ； 对于24x -，要求042≥-x ，即2≤x 且2-≥x ； 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(---4.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f． 答案：62+x提示：因为6)1(72)1(22+-=+-=-x x x x f ，所以6)(2+=x x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x，则=)0(f ． 答案：2 提示：因为当0=x是在0≤x 区间，应选择22+x 进行计算，即220)0(2=+=f6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f． 答案：12-x 提示：因为1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，所以1)(2-=x x f7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情况之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x → 存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。
微积分知识及答题技巧
定积分部分一、第一积分中值定理【定理】：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈（a,b ），使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
注意取g(x)=1即可以得到我们熟悉的积分中值定理。
【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。
二、一种含变量x 的积分上限函数的求导公式)()()()(])()([x f x g dt t f x g dt x g t f xax a+'='⎰⎰三、函数和原函数之间的关系1、周期函数的原函数不一定是周期函数 【举例】：y=cosx+1的原函数是y=sinx+x ，不是周期函数。
【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。
（证明略）。
2、奇函数的原函数组（即不定积分C 取任何值）都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有一个是奇函数。
四、几个重要的广义积分结论1、）0(10>=⎰+∞-p p dx e px 2、⎰+∞-+=022sin wp w wxdx e px（p>0；w>0) 2、22π=⎰∞+-dx ex < 1 4、()!1)ln 10n dx x nn -=⎰（五、周期函数的定积分技巧（可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题）设周期函数周期为T ，周期函数为f(x)有： 1、⎰⎰+=Ta a Tdx x f dx x f 0)()(（周期函数任意一个周期内的积分是不变的）2、⎰⎰=nTTdx x f n dx x f 0)()(（n 是正整数）3、设)(x f 是以周期T 为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(x)=⎰xadt t f )(也是以T为周期的周期函数的充要条件是：⎰=Tdx x f 00)(（即函数在一个周期长上的定积分为0）六、一个非常OP 的定积分变换等式（处理一些复杂问题时常用）定理：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线2)(b a +对称。
微积分初步单元辅导二导数微分及其应用
《微积分初步》单元辅导二(导数微分及其应用)微积分初步学习辅导——导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即我们把卫称为函数的平均变化率，把lim y称为变化率，若lim y存在则可导，否则不可二x=x导•导数是由极限定义的，故有左导数和右导数• f(x)在点X。
处可导必有函数f (x)在点X。
处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义dy二f (x)dx可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.⑵计算函数f(x)的微分dy，只要计算出函数的导数f(x)再乘上自变量的微分dx即可; 因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数y=f(x)在点x。
处的导数就是曲线y = f(x)在点(x。
，f(x。
))处切线的斜率。
于是，y二f(x)在点(x。
，y0)处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；(3)隐函数求导方法.对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意1— x解题的技巧.例如，y二，求了心.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导1 1数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为y -x：再求导数就应该用导数的加法法则了 .假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解 由复合函数求导法则知，复合函数y = f(u),u 二(x)的导数为在求导时将y = f ( “X))分解为y = f(u),u =护(x)(其中u 为中间变量)，然后分别对中间 变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量 应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于y = f (u),u = "X)分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数=sin 2，其分解为 y = u 2, u = sin v,v = x .于是分别求导为，y^2u,u^cosv ， 1 — — 1 - .相乘得至U y x = 2 s i n ・.x c o s x - 2 . x 2 , x 2、x 二si n u,u =x ，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求y u .隐函数的特点是变量y 与x 的函数关系隐藏在方程中，例如 y=1・xsiny ，其中的sin y 不但是y 的函数，还是x 的复合函数.所以对于sin y 求导数时应该用复合函数求导法则，先 对y 的函数sin y 求导得cosy ，再乘以y 对x 的导数y 〔由于y 对x 的函数关系不能直接写出 来，故而只能把y 对x 的导数写为y .一般地说，隐函数求导数分为下列两步：① 方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，求导后得到一个关于 y 的一次方程; ② 解方程，求出y 对x 的导数y .总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并 从中获得技巧.微积分初步学习辅导导数与微分部分典型例题例1求下列函数的导数或微分： (1) 设 y = x 3 3x log 3x-33，求 y . (2) 设 y = ^2，求 dyX xsi nx⑶设y ，求y (二).1 +cosx 3分析 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数， 求导或求微分时,1 1 lsir2. x .有一种错误的分解是V x需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则•对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本 公式；对于⑵，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到 ⑵ 中函数的特点，先将1 2函数进行整理，y J 二2 =x 3 -2x^'，贝U 可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘 Vx 2 以dx ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式•解(1) y =(x 33xlog 3x-3 3)(x 3) (3x ) (gx) 一(33)21 — 4dy =ydx =(—X 3 x 3)dx.3 3(sin x) (1 cosx) -sin x(1 cosx)2(1 cosx)cosx(1 cosx) -sin x(-sinx) cosx cos 2 x sin 2x(1 + cosx)2(1 + cosx)2= 11 cosx在运用导数的四则运算法则应注意：①在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式;③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使 用导数的除法法则.如例1中的⑵ 小题，将y 二x 二j 变形为y 『x-2二X? \x 2 v x 2 数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错 •④ 导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同， 运算也相对复杂得多，计算时要细心. 例2求下列函数的导数或微分：sinl(1) 设 y = e x ，求 dy .3x 23 3x 2 3x —2(2)因为y=—1=x 3 1In 3xl n3In 3 — xln 3 -2x 1所以 y =(x 3) _2(x 3) s x3x3，于是所以y(3)=1 cosx②把根式qx p写成幕次px q的形式，这样便于使用公式且减少出错; 2-2x _3后再求导兀1 22(2)设 y =1 n(x—、1 x2)，求 y(、3).(3)设 y =(邛)10，求 y .x +1分析采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.1解(1)设y =e u,u =sinv,v二一，利用复合函数求导法则，有x代回还原得在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)设y = In u,u = x - v,v = x2 T，利用复合函数求导法则，有代回还原得或着(3)设y = u10 ,u = △ ,v = x2 1，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，v代回还原得或着例3求下列方程所确定的隐函数的导数 y或微分dy :(1)x2 y2 xy 二 0，求 dy ；(2)e xy yl n x = cos2x，求 y .分析隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数yl 依隐函数求导数的步骤求导.解(1)［方法1］由导数得到微分.方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有即(x 2y)y - -(y 2x)整理方程，解出y，得dy = ydx「y 2x dxx +2y［方法2］方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x的函数.dy_x+2y(2)方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有于是 (xe^ In x)y - -2sin2x-'-ye xyx整理方程解出y •，得分析 如果函数y 二f （x ）可导，函数曲线在点X 。
多元函数微积分初步
多元函数微积分初步微积分是数学的一门重要学科，包括单变量微积分和多变量微积分。
而多元函数微积分是其中的重要分支，掌握这门学科将有助于我们理解许多自然现象和实际问题。
一、向量和函数我们先来回顾一下向量和函数的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
函数是一种映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
对于多元函数，一个变量可以对应多个取值。
对于$R^n$空间内的向量$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和向量$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，定义向量的加法为$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b _n)$$同时，定义向量的数乘为$$k\boldsymbol{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$其中$k$为一个实数。
这些定义也可以推广到更一般的向量空间中。
而对于多元函数$f:D \subseteq R^n \rightarrow R$，我们可以将其表示为$$z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$其中$D$表示定义域，$R$表示实数集合。
有时候也将向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$表示为$\boldsymbol{x} \in D$，$\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$表示为函数在向量$\boldsymbol{x}$处的取值。
同理，我们也可以将定义域和值域扩展到复数域。
二、偏导数和方向导数在单变量函数的微积分中，我们知道了导数的概念，通过求解导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，也就是函数变化的快慢。
同样，在多元函数的微积分中，我们也可以定义导数的概念。
但是，由于多元函数的变量数量增加，直接求导数并不容易，需要借助一些新的概念。
《微积分初步》期末复习典型例题
《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f （6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2e exxy +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim 329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）计算极限xx x 11lim 0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim11lim00+---=+-+---=--→→→x x x x x x x xx x x x21)11(1lim 0-=+--=→x x（5）计算极限xx x 4sin 11lim 0--→解：xx x 4sin 11lim0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim0+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x xx x xx x二、 导数与微分 （一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：xx f 1)(='，)(x f ''=21x-（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2答案：C（2）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '.解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x xx y -+=' x x tan 2321-=（5）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy x y y d 22d --=（6）设2e e cos y x y x =++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x yx'='++-2e e sin yx y yx 2e e sin --='于是得到x yx y yx d 2e e sin d --=三、导数应用 （一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞ （2）函数1)(2+=axx f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a 2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==xx xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x xy ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(xx x S -='令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元） 4.证明题（1）证明函数x x f 23)(-=，在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞，且02)(<-='x f ，所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.（2）证明函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的．证明：因为在（)0,∞-上，有0e 1)(>-='x x f ，所以函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
《微积分初步》应用题解题步骤
《微积分初步》应用题上镜率：2011年7月，2010年7月，2007年7月1、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x ，高为h因为2108x h =，所以有2108h x =表面积222210843244y x xh x x x x x=+=+=+ 24322y x x '=- 令0y '=得6x =（唯一驻点）由实际问题知，当底边长为6，高为210836=时，用料最省。
【分析，（1）其中()()2212243243243224322x x x x x x x x --'⎛⎫''+=+=-=- ⎪⎝⎭（2）243220y x x '=-=有24322x x = 两边同乘以2x 得到32432x =两边同除以2得到3343221662x === 所以解得6x =（3）应用结论：实际问题中一定存在最值，唯一的驻点是极大（小）值点，也一定是最大（小）值点。
（4）如果此题中的108换成其他数字如32，同理可做 】上镜率：2011年1月， 2009年1月2、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x ，高为h因为232x h =，所以有232h x =表面积22223212844y x xh x x x x x=+=+=+ 21282y x x '=- 令0y '=得4x =（唯一驻点）由实际问题知，当底边长为4，高为210826=时，用料最省。
上镜率：2011年1月， 2008年7月3、用钢板焊接一个容积为4m 3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，则有高24h x =表面积 22164y x xh x x =+=+所以2162y x x'=- 令0y '=得2x =（唯一驻点）有实际问题知，当底边长为2，高为1时表面积最小，费用最低此时最低费用为()21040160y ⨯+=（元）。
微积分解题
微积分解题（实用版）目录1.微积分解题的基本步骤2.微积分解题的技巧和方法3.微积分解题的实践案例正文一、微积分解题的基本步骤微积分是数学的一个重要分支，其主要解决的是函数的极限、连续、微分、积分等问题。
在解决微积分问题时，通常需要遵循以下基本步骤：1.确定问题：首先要明确题目所求，是求函数的极限、连续、微分还是积分。
2.分析问题：根据题目所给条件，分析问题，确定解题思路。
3.建立模型：将问题转化为数学模型，如建立微分方程、积分方程等。
4.求解模型：运用微积分的相关理论和方法，求解建立的数学模型。
5.检验结果：将求得的结果代入原问题，检验其正确性。
二、微积分解题的技巧和方法在解决微积分问题时，除了遵循基本步骤外，还需要掌握一些解题技巧和方法，如下：1.极限的求解技巧：如数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量、夹逼定理、单调有界定理等。
2.微分与积分的计算方法：如高阶导数的求解、隐函数微分法、参数方程微分法、分部积分法、换元积分法等。
3.利用性质和公式：如微积分的基本公式、泰勒公式、洛必达法则等，可以简化求解过程。
4.善于画图：对于一些复杂的微积分问题，画图可以帮助我们更好地理解问题，找到解题思路。
三、微积分解题的实践案例以求函数的定积分为例，介绍微积分解题的实践过程：问题：求函数 f(x)=x^2+3x-2 在区间 [0, 4] 上的定积分。
1.确定问题：求定积分。
2.分析问题：给定函数 f(x) 和积分区间 [0, 4]，需要求解定积分。
3.建立模型：根据定积分的定义，建立积分模型。
4.求解模型：运用积分方法，如分部积分法，求解模型。
5.检验结果：将求得的结果代入原问题，检验其正确性。
综上所述，解决微积分问题需要遵循基本步骤，同时掌握一定的解题技巧和方法。
微积分初步
体积的微分为线性主部，即
dV 4r 2 dr
2、微分的基本公式和运算法则
⑴微分的基本公式
d (a x ) a x ln adx(a 0, a 1); 1 d (loga x) dx(a 0, a 1); x ln a d (sin x) cos xdx; d (tgx) sec2 xdx; d (sec x) tgx sec xdx; d (arcsin x) 1
特别地，当 v c 时， (cu) cdu d
课堂练习
把适当的函数填入下列括号内，使等式成立： ⑴ d(
3x
) 3dx ;
⑵ d ( 1 cos ax ) sin axdx;
a
⑶ d ( 1 x 3 ) x2dx ;
3 ⑸ d ( 1 e 2 x ) e2 x dx ; 2
6 x cos x 1 x
三、高阶导数 如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 可以继续对 x 求 导，则把
( y) [ f ( x)]
称为对 x的二阶导数，记作
d2y f (x) ，y ， 2 dx d3y f (x) ，y， 3 dx
k 渐接近于切线 M 0T ， M N 接近于切线的斜率k 。
0
y 当 x 0 时 ，如果 x 的极限存在，则该极限值就 是切线的斜率k 。即
k lim
y ( x0 x) y ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
2、导数的概念
⑴函数 f (x) 在点 x0 处的导数
f (x )
dy y ， ， dx
或
df ( x ) dx
即
y lim
y f ( x x) f ( x) lim x 0 x x 0 x
微积分的基本解法
微积分的基本解法引言微积分是数学中的一门重要学科，用于研究变化与积累的关系。
它是现代科学和工程学的基石，对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将介绍微积分的基本解法。
一、导数的计算导数是微积分的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
计算导数的方法有以下几种：1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
数学教案：解决微积分问题的方法
数学教案：解决微积分问题的方法一、引言微积分是高中数学的重要组成部分，也是数学学科中的核心内容之一。
解决微积分问题的方法是数学教学中的重点之一。
本文将介绍解决微积分问题的方法，包括函数的极限、导数和积分。
二、函数的极限的求解方法函数的极限是微积分中的基本概念，能够帮助我们分析函数在某一点的性质。
下面是一些常见的求解函数极限的方法：1. 代入法：当函数的极限存在时，可以直接将极限点代入函数，求解函数值。
这种方法适用于简单的函数，特别是多项式函数。
2. 常用极限法则：通过运用常用的极限法则，可以简化极限的求解过程。
常用的极限法则包括函数的基本运算法则、三角函数的极限、指数函数和对数函数的极限等。
3. 利用无穷小量：无穷小量是微积分中重要的概念之一，利用无穷小量可以推导出函数的极限。
常见的无穷小量有零点极限法、夹逼定理等。
三、导数的求解方法导数是微积分中的另一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。
下面是一些常见的求解导数的方法：1. 基本导数法则：基本导数法则包括常数导数法则、幂函数求导法则、指数函数和对数函数的导数法则等。
这些法则可以帮助我们通过简单的运算求解导数。
2. 高阶导数：除了一阶导数外，还可以求解高阶导数。
高阶导数描述的是函数的变化率的变化率，通过求解高阶导数可以更全面地了解函数的性质。
3. 隐函数求导：有些函数的导数无法直接通过基本导数法则求解，需要利用隐函数求导法来计算。
隐函数求导法涉及到使用隐函数求导公式，构建方程组求解导数。
四、积分的求解方法积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的面积和曲线下的面积。
下面是一些常见的求解积分的方法：1. 不定积分：不定积分用于求解函数的原函数。
通过使用不定积分法则，可以简化积分的求解过程。
常用的不定积分法则包括基本积分法则、换元积分法则等。
2. 定积分：定积分用于求解曲线下的面积。
通过将曲线划分成若干小矩形，可以利用定积分公式求解曲线下的面积。
第六讲--微积分问题的求解
先画出两种情况的曲线
要放大原点附近的图形，可以把自变量的范围减小， 于是可列出以下的程序: x1= [-0.1:0.001:0.1]; subplot(1,2,1),plot(x1,x1.*sin(1./x1)), subplot(1,2,2),plot(x1,sin(1./x1)), e1=0.00001; x2=[0-e1, 0,0+e1]; g2 = x2.*sin(1./x2) k2 = sin(1./x2) 得出的图形如下：
1 例：计算 lim 1 x x
kx
>> syms x k; >> L=limit((1-1/x)^(k*x),x,inf) >>Lf=vpa(subs(L,k,sym('-1')),48)
多元函数极限
L lim f ( x , y )
xa yb
limit(limit(f,x,a),y,b)或者 limit(limit(f,y,b),x,a)
程序如下
无穷大处的邻域(续)
x1=linspace(-pi,pi,1001); plot(x1,exp(1./x1)./x1) grid on axis([-pi,pi,-2,10]) %得出图形， %再求x1=0邻域的y x1=[-eps,0,eps]; y= exp(1./x1)./x1 % 用符号数学工具箱判断极限 syms x,Y=limit(x*exp(x),x,inf) syms x,Y=limit(x*exp(x),x,-inf)
先绘图，程序如下：
ezplot(‘(1-cos(x))./x./sin(x)’) grid on 从图上可见，此函数在x0=±p处有间断点。在间断点左右， 函数f(x)分别趋向于±∞。
微分计算练习题的步骤
微分计算练习题的步骤
微积分是数学中非常基础和重要的一个概念，是很多科学领域
的基础。
微分作为微积分的一部分，是用来衡量函数变化率的工具。
在应用微分的时候，计算微分是非常基础、重要的步骤。
以下是微
分计算的一些基本步骤：
1. 确定函数。
在进行微分计算之前，首先需要确定被微分的函数。
这个函数
可能是一个简单的多项式，也可能是一个复杂的函数表达式。
无论
函数的形式如何，我们都需要非常清晰地确定它的表达式。
2. 计算导数。
确定了需要微分的函数之后，下一步需要进行的就是计算其导数。
在计算导数时，我们可以通过运用常见的求导规则，如常数法则、幂法则、求和法则、差法则等，来求得导数。
3. 检查导数的结果。
在计算完导数之后，我们需要对其结果进行检查。
通常情况下，我们可以通过绘制函数曲线的形式，观察导数是否符合预期的特征，如在函数的最大值、最小值或拐点处为零等。
4. 应用导数。
导数不仅可以用来衡量函数的变化率，还可以用来求解函数的
最值、拐点、极值等。
这些应用需要依据导数的特性，进行严格的
分析和推导。
以上是微分计算练习题的一些基本步骤。
除此之外，还有很多
更复杂的微分计算问题和技巧，需要有更加深入的微积分知识才能
解决。
希望这些基础的步骤能够为大家理解微分计算提供帮助。
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《微积分初步》应用题
上镜率：2011年7月，2010年7月，2007年7月
1、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：
设长方体底边边长为x ，高为h
因为2108x h =，所以有2
108h x =
表面积222210843244y x xh x x x x x
=+=+=+ 24322y x x '=- 令0y '=得6x =（唯一驻点）
由实际问题知，当底边长为6，高为210836
=时，用料最省。
【分析，（1）其中()()2212243243243224322x x x x x x x x --'⎛⎫''+=+=-=- ⎪⎝⎭
（2）243220y x x '=-=有2
4322x x = 两边同乘以2x 得到32432x =
两边同除以2得到3343221662
x === 所以解得6x =
（3）应用结论：实际问题中一定存在最值，唯一的驻点是极大（小）值点，也一定
是最大（小）值点。
（4）如果此题中的108换成其他数字如32，同理可做 】
上镜率：2011年1月， 2009年1月
2、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x ，高为h
因为232x h =，所以有2
32h x =
表面积22223212844y x xh x x x x x
=+=+=+ 21282y x x '=- 令0y '=得4x =（唯一驻点）
由实际问题知，当底边长为4，高为210826
=时，用料最省。
上镜率：2011年1月， 2008年7月
3、用钢板焊接一个容积为4m 3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：
设水箱的底边长为x ，则有高24h x =
表面积 22164y x xh x x =+=+
所以2162y x x
'=- 令0y '=得2x =（唯一驻点）
有实际问题知，当底边长为2，高为1时表面积最小，费用最低
此时最低费用为()21040160y ⨯+=（元）。
上镜率：2008年1月
4、设矩形周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：
设矩形一边为x ，则另一边旋转轴为1202602
x x -=- 圆柱体体积为()()2236060y x x x x ππ=-=-
所以()21203y x x π'=-
令0y '=得0x =（舍），40x =（唯一驻点）
由实际问题知，当矩形一边为40，一边为20，且短边为旋转轴时圆柱体体积最大。
上镜率：2007年1月
5、欲用围墙围成面积为216立方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设土地一边为x ，另一边为2
216x ， 用料及长度为216432323y x x x x
=+=+ 24323y x
'=- 令0y '=得12x =-（舍），12x =（唯一驻点）
由实际问题知，当土地一边为12，另一边为18时，用料最省。