《微积分初步》应用题解题步骤

《微积分初步》应用题

上镜率：2011年7月，2010年7月，2007年7月

1、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：

设长方体底边边长为x ，高为h

因为2108x h =，所以有2

108h x =

表面积222210843244y x xh x x x x x

=+=+=+ 24322y x x '=- 令0y '=得6x =（唯一驻点）

由实际问题知，当底边长为6，高为210836

=时，用料最省。 【分析，（1）其中()()2212243243243224322x x x x x x x x --'⎛⎫''+=+=-=- ⎪⎝⎭

（2）243220y x x '=-=有2

4322x x = 两边同乘以2x 得到32432x =

两边同除以2得到3343221662

x === 所以解得6x =

（3）应用结论：实际问题中一定存在最值，唯一的驻点是极大（小）值点，也一定

是最大（小）值点。

（4）如果此题中的108换成其他数字如32，同理可做 】

上镜率：2011年1月， 2009年1月

2、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边边长为x ，高为h

因为232x h =，所以有2

32h x =

表面积22223212844y x xh x x x x x

=+=+=+ 21282y x x '=- 令0y '=得4x =（唯一驻点）

由实际问题知，当底边长为4，高为210826

=时，用料最省。

上镜率：2011年1月， 2008年7月

3、用钢板焊接一个容积为4m 3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接 费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：

设水箱的底边长为x ，则有高24h x =

表面积 22164y x xh x x =+=+

所以2162y x x

'=- 令0y '=得2x =（唯一驻点）

有实际问题知，当底边长为2，高为1时表面积最小，费用最低

此时最低费用为()21040160y ⨯+=（元）。

上镜率：2008年1月

4、设矩形周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。

解：

设矩形一边为x ，则另一边旋转轴为1202602

x x -=- 圆柱体体积为()()2236060y x x x x ππ=-=-

所以()21203y x x π'=-

令0y '=得0x =（舍），40x =（唯一驻点）

由实际问题知，当矩形一边为40，一边为20，且短边为旋转轴时圆柱体体积最大。

上镜率：2007年1月

5、欲用围墙围成面积为216立方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？

解：设土地一边为x ，另一边为2

216x ， 用料及长度为216432323y x x x x

=+=+ 24323y x

'=- 令0y '=得12x =-（舍），12x =（唯一驻点）

由实际问题知，当土地一边为12，另一边为18时，用料最省