列一元二次方程解应用题的一般步骤(精)

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一元二次方程解法知识整理

知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解求出所列方程的解
验检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解

实际问题与一元二次方程-

不能修养性情。年华随时光飞逝，意志随岁月消失，最终年老志衰，大多不为社会所用，只能悲哀地守着穷困的陋室，此时后悔又怎么来得及呢！作者是冰心，原名谢婉莹，中国现代文学史上第一位著名女作家。这两作品是在受到了印度诗人泰戈尔的《飞鸟集》的影响下写成的。
知识点一传染繁殖问题包括三方面的内容：
4、有人说，秋天的落叶是枯槁的，没有任何价值。我却不以为然。“落红不是无情物，化作春泥更护花”。坠落在秋天的它，溶入泥土成为大树妈妈的养料，孕育着春的希望。我相信，在明年春天的嫩芽里，一定有秋叶淡淡的微笑。孔子说：“我十五岁时就有志于做学问，三十岁时有所成就，四十岁时内心不再感到迷惑，五十岁就明白上天的意旨，六十岁时能听取各种见解并加以容纳，七十岁时就能随心所欲，却不会逾越法度。” 比喻：比喻就是“打比方”。即抓住两种不同性质的事物的相似点，用一事物来喻另一事物。作用：比喻的作用主要是：化平淡为生
解：设平均一轮每个人传染x人，则：（1+x）2=121
解得：x1=10，x2=-12（不符合题意，舍去）令最初患病的人数为y人，依题意，得：
y（1+10）3=2662 解得：y=2 答：最初有2人患了该病。
知识点二竞赛、握手、赠送、合同问题
1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
第一步：审：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：设：找出能多方位、多角度、最好的表示关系的量设出未知数；
第三步：找：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第四步：列：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；
第五步：解：解这个方程，求出未知数的值；
遇和现实境况的观照与反思。 3、段意合并法

用一元二次方程解决问题

用一元二次方程解决问题【知识要点】1. 列方程解应用题的一般步骤：（1）审题。

了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。

（2）设未知数。

一般情况下求什么设什么为未知数。

（3）列方程。

根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。

（4）解方程。

灵活运用一元二次方程的四种解法。

（5）验根。

检验一元二次方程的根是否满足题意。

（6）答。

作答。

2. 一元二次方程应用题常见题类型：（1）数字问题。

（2）与面积有关的几何问题。

（3）平均变化率问题。

（4）经营问题。

（5）行程为题。

（6）工程问题。

【经典例题】1、平均变化率问题：平均变化率问题的公式A=a （1+x ）na 为变化前的基数，x 为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n 为变化次数，A 为变化后的量。

例1：某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程正确的是（）A 、1199)1(8992=-x ；B 、899)1(11992=+x ；C 、1199)1(8992=+x ；D 、899)1(11992=-x 类题练习：1.某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为（）A 、1600)1(4002=+x ；B 、16004004004002=++x x ； C 、[]1600)1()1(14002=++++x x ； D 、1600)21(400=++x x2.2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）22、数字问题：多位数问题在设时，通常设某数位上的数字.若一两位数，十位数字是a,个位数字是b,该两位数可表示为10a+b.不能写成ab 的形式。

一元二次方程实际应用题型

一、列一元二次方程解应用题的步骤(1)应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程．概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案．(2)一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：①审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系．（与一次方程思路相似）②设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)．③列：是指列方程，根据等量关系列出方程．④解：就是解所列方程，求出未知量的值．⑤验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去．⑥答：即写出答案，不要忘记单位名称．二、常见应用题类型（1）数字问题解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数可表示为100a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2，2n,2n＋2(n为整数) 等，其次解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”【例1】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．分析：本题等量关系比较明显：新的两位数×原来的两位数＝736，关键是如何表示出这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意．解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，由题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x－5x＋6＝0，解得x＝2，x＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23.当x＝3时，5－x＝2 符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32．【例2】三个连续奇数的和是129，求这三个数。

一元二次方程的应用总复习

2500 2500 （ 1 x） 2500 （ 1 x） 9100
开启
智慧
10.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
解 : 设这次到会的人数为 x, 根据题意 ,得
整理得 :
x 2 x 132 0.
习题探究
• 7.某化肥厂去年五月份生产化肥450t, 从六月份开始，产量因市场关系，逐月上升，到七月份达到了648t，求六、七月份平均增长率.
变式训练
• 8.某公司前年缴税40万元，今年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率为多少？
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意得，
一、面积问题
• 1.长方形面积= • 2.正方形面积=
长×宽边长×边长（上底+下底）×高÷2 边长×边长×边长
• 3.梯形面积=
• 4.正方体体积=
• 5.长方体体积=
长×宽×高
一、面积问题

几何与方程
1. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
一元二次方程的应用总复习
复习回顾
• 列一元二次方程解应用题的一般步骤： • 1.审：审清题意；已知什么，求什么，已知未知之间有什么关系
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位.
3.列：列代数式，列方程. 4.解：解所列方程 5.验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意. 6.答：答也必须是完整语句，注明单位.
解:设如果产量增加15.2%，那么应多种x棵桃树，根据题意得，（1000-2x)(100+x)=1000×100+1000×100×15.2%

实际问题与一元二次方程-九年级数学上册精讲与精练高分突破(人教版)

21.3 实际问题与一元二次方程1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．（2）设：设出未知数．（3）列：找出相等关系，列出方程．（4）解：解方程，求出未知数的值．（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．（6）答：写出答案．2．常见实际问题（1）传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．（2）平均增长（降低）率问题：①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为 ()1na x + ．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为 ()1na x - ．（3）几何图形面积问题：几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．（4）数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为 10a b + ；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为 10010a b c ++ ．（5）单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 ()112n n - 场；双循环问题中总的比赛场数为场()1n n -．（6）销售利润问题： =-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价；()=⨯+售价进价利润率；=-=⨯1总利润总售价总成本单个利润总销售．（7）存款利息问题：利息本金利率．=+本息和本金利息；=⨯题型一：传播问题1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝2252．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？题型二：增长率问题3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1004．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．题型三：数字问题5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为()A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=2256．一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为()A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4题型四：营销问题7．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？题型五：工程问题9．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）10．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖12m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．题型六：行程问题11．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长＝距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．题型七：图表信息问题13．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）4 7 705 5 40根据上表数据，求规定用水量a的值．14．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收a100元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7 140 2648 95 152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？题型八：动态几何题15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ 的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s16．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（）A．2s或235s B．1s或225s C．225s D．2s或225s17．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．一、单选题18．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（）.A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=57019．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人20．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．721．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝100022．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人23．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？一：选择题25．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A ．22500(1)9100x +＝ B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝26．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg 的单价销售，则每天可售出100kg ，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x 元/kg ，依题意可列方程为（） A ．()()2010021800x x +-= B ．()22010018000.5x x ⎛⎫⎪=⎭-⎝+ C ．20100218000.5x x -⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭D ．()1002201800x x ⎡⎤--=⎣⎦27．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（）A ．()0.6310.68x +=B ．()20.6310.68x += C ．()0.63120.68x +=D ．()20.63120.68x +=28．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=44229．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（） A ．560（1＋x ）2＝315 B ．560（1－x ）2＝315 C ．560（1－2x ）2＝315D ．560（1－x 2）＝31530．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（） A ．x(x+1)=1035B ．x(x-1)=1035C ．12x(x+1)=1035D ．12x(x-1)=103531．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）. A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%二、填空题32．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.33．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．34．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____．35．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.36．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________．37．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．38．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)三、解答题39．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？40．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加20%9a，求a的值．41．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价x(单位∶万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？42．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？43．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．44．已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P 以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．45．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．46．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？47．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2%a，每户物管费将会减少3%10a；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6%a，每户物管费将会减少1%4a．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少518%a，求a的值．48．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．1．C 【分析】此题可设1人平均感染x 人，则第一轮共感染(1)x +人，第二轮共感染(1)1(1)(1)x x x x x +++=++人，根据题意列方程即可．【详解】解：设1人平均感染x 人，依题意可列方程：2(1)225+=x ．故选：C ．2．（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，依题意，得：1+x +x （1+x ）＝256，解得：x 1＝15，x 2＝﹣17（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．（2）256×（1+15）＝4096（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．A 【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．4．（1）6万座；（2）70%.【分析】（1）2020年全省5G 基站的数量=目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据2020年底及2022年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）.答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为x ，由题意可得：()26117.34x +=，解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．C 【分析】最大数为x ，则我们只需要将最小数用x 表示出来即可列出方程．【详解】∵最大数为x ，∴最小数用x 表示为：x-16，∴列方程为：x (x ﹣16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 6．C 【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x ＋4，则这个两位数为10(x ＋4)＋x ，其个位数字与十位数字的平方和为x 2＋(x ＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程，【详解】依题意得十位数字为：x ＋4，则这个数为：10(x ＋4)＋x ，个位数字与十位数字的平方和为：x 2＋(x ＋4)2. ∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，∴x 2＋(x ＋4)2＝10(x ＋4)＋x －4.故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程；7．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x ）（20+2x ）=1200，整理，得x 2-30x +200=0，解得：x 1=10，x 2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x 2=20应舍去，∴x =10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．8．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240，化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．9．（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）甲队最多施工6个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”．（2）设甲队施工m 个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1350万元，列不等式求解．【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，根据题意，得()()x x 56x x 5+=++，即2x 7x 300--=，解得12x 10x 3==-，（不合题意，舍去）．∴x 515+=．。

一元二次方程列方程解应用题(含答案)

一元二次方程列方程解应用题列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知、未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系. 一、数字与方程1.两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.2.两个连续奇数的积等于20022-1,求这两个数.3.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.二、增长率与方程5.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?6.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?7.我国是世界上受沙漠化危害最严重的国家之一,沙化土地面积逐年增长.2000年初我国沙化土地面积约为261.5万元千米2，到2002年初沙化土地面积已居室近262万千米2.假设沙化土地面积每年的增长率相同,那么增长率大约是多少?8.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。

已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了120000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?三、几何与方程 9 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长.10 .一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,求两条直角边长度.11 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm 和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度..262)1(5.2612=+x ().2.115)1(52=+-+x x %.191)1(2-=-x .4.48)1(402=+x ().2461525215)220(=⨯-++x x .7)1(222=++x x .100)8(42=-x ().3102x x x +-=()[]()[].736510510=-++-x x x x ()().1200212122-=-+x x 15 15+2x20+2x12.如图,在一块长92m,宽60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.四、美满生活与方程13.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?14.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%)五、经济效益与方程15.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?16.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?17.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x 元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?().6621=-x x .1200)1220)(40(=⨯+-xx .400)10350)(21(=--x x ().%2.1511000100)121000)(100(+⨯⨯=⨯-+xx .461)8.01](50)8.01(500[=+-+x x ().885660)292(⨯=--x x。

(利用一元二次方程解决实际问题)

一元二次方程应用题的一般解题步骤解决问题有三个重要环节：1、完整地系统审清题意；2、把握住问题中的等量关系；3、正确地求解方程并检验解的合理性。

一、一元二次方程应用题问题的一般解题步骤1、审题：认真读题，明确哪些是已知数，它们之间的关系是怎样的。

2、设未知数：用字母表示未知数，这个未知数可能是一个直接未知数，也可能是一个间接未知数。

3、列方程：先确定一个等量关系，再用含所设未知数的字母代数式表示这个等量关系，得到一元二次方程。

3、解方程：选用合适的方法解这个一元二次方程。

4、检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意。

5、答：用总结性的语言写出题目最终答案。

常见类型1、传播问题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、循环问题1、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个人各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手得分总和，结果分别是2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛。

2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？4.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？3、平均率问题M=a(1±x)n n为增长或降低次数M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。

一元二次方程应用题归纳分类和经典例题

一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展.从列方程解应用题的方法来讲.列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的.由于一元一次方程未知数是一次.因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次.用算术方法就很困难了.正由于未知数是二次的.所以可以用一元二次方程解决有关面积问题.经过两次增长的平均增长率问题.数学问题中涉及积的一些问题.经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意.明确已知和未知.以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元.设元分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么.间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的.但由于对列方程有利.因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程.这是非常重要的步骤.列方程就是找出题目中的等量关系.再根据这个相等关系列出含有未知数的等式.即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案.应注意的是一元二次方程的解.有可能不符合题意.如线段的长度不能为负数.降低率不能大于100%等等．因此.解出方程的根后.一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍.翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长.且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率.则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意； (2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数.并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础.所谓审题.就是要善于理解题意.弄清题中的已知量和未知数.分清它们之间的数量关系.寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数.这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件.善于分析题中隐含的条件.挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根.为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符.并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题.决定下调药品的价格。

一元二次方程应用题讲解

一元二次方程应用题讲解前言一元二次方程是数学中的基础知识，也是应用广泛的数学概念之一。

本文将通过一系列应用题的讲解，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。

案例一：小明买苹果小明去超市买苹果，苹果的单价为x元，他买了a个苹果，总共花了b元。

请问每个苹果的单价是多少？解题思路：设苹果单价为x元，则小明买了a个苹果，总共花了b元，可得一元二次方程：`ax=b`。

我们需要解出x的值。

解题步骤：1.根据题意，建立方程：`ax=b`。

2.将方程转化为一般形式：`a x-b=0`。

3.由于方程是一元二次方程，可以通过求根公式求解，即：`x=(-b±√(b^2-4a c))/(2a)`。

这里的a=1，b=-b，c=0，代入求解。

4.化简得：`x=-(-b)/(2*1)`，进一步化简：`x=b/2`。

5.得出结论：每个苹果的单价为b/2元。

案例二：小明和小红的年龄小明比小红大3岁，小红的年龄是x岁，现在小红的年龄是小明的两倍。

请问小明和小红的年龄分别是多少？解题思路：设小红的年龄为x岁，则小明的年龄为x+3岁。

根据题意，小红的年龄是小明的两倍，即2(x+3)=x。

我们需要解出x的值，并计算出小明和小红的年龄。

解题步骤：1.根据题意，建立方程：2(x+3)=x。

2.展开方程得：2x+6=x。

3.移项化简得：x=-6。

4.则小明的年龄为：x+3=-6+3=-3岁；小红的年龄为：x=-6岁。

5.得出结论：小明的年龄为-3岁，小红的年龄为-6岁。

案例三：汽车行驶问题一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了t小时后，它与另一辆以每小时40公里的速度行驶的汽车相距d公里。

请问t的取值范围是多少？解题思路：设车辆行驶的时间为t小时，根据题意，我们需要根据已知条件建立一元二次方程。

解题步骤：1.根据题意，建立方程：60t-40t=d。

2.化简方程得：20t=d。

3.由于题目没有提供具体数值，我们无法得出准确的解。

在实际情况中，t的取值可以是大于等于0的任意实数。

一元二次方程应用题归纳分类与经典例题

一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审” 指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于 100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=( 十位数字 ) × 10＋个位数字三位数 =( 百位数字 ) × 100＋ ( 十位数字 ) × 10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的 2 倍，翻两番即表示为原量的 4 倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数 =基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的× (1 ＋增长率 ) 增长期数 =后来的说明： (1) 上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2) 如果是下降率，则上述关系式为：原来的× (1 －增长率 ) 下降期数 =后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2) 寻求问题中的等量关系 ( 依据几何图形的性质 ) ；(3) 设未知数，并依据等量关系列出方程； (4) 正确地求解方程并检验解的合理性； (5) 写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清1它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

解一元二次方程的步骤解分式方程的一般步骤

解一元二次方程的步骤-解分式方程的一般步骤初一列方程解应用题的一般步骤列方程解应用题的一般步骤审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系．设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题，等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。

第一类、行程问题基本的数量关系：路程＝速度×时间⑵速度＝路程÷时间⑶时间＝路程÷速度要特别注意：路程、速度、时间的对应关系常用的等量关系：1、甲、乙二人相向相遇问题⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程⑵二人所用的时间相等或有提前量2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量3、单人往返⑴各段路程和＝总路程⑵各段时间和＝总时间⑶匀速行驶时速度不变4、行船问题与飞机飞行问题⑴顺水速度＝静水速度＋水流速度⑵逆水速度＝静水速度－水流速度5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。

6、时钟问题：⑴将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。

常用数据：①时针的速度是°/分②分针的速度是6°/分③秒针的速度是6°/秒1. 一列火车通过隧道，从车头进入道口到车尾离开隧道共需45 秒，当整列火车在隧道里需32 秒，若车身长为180 米，隧道x 米，可列方程为_______________。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型1、数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-362、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题212n(n-3) 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：查验方程的解是不是正确，是不是符合题意；（7）答：作答。

二、典型题型一、数字问题例一、有两个持续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例二、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，若是把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后取得的两位数。

练习：一、两个持续的整数的积是156，求这两个数。

二、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-36二、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后抱病总人数例3、有一人得了流感，通过两轮传染后共有121人得了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人得了流感，通过两轮传染后共有196人得了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若是依照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、彼此问题（循环、握手、互赠礼物等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题212n(n-3) 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例五、一次会上，每两个参加会议的人都彼此握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例六、生物兴趣小组的同窗，将自己搜集的标本向本组其他同窗各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同窗，则按照题意列出的方程是（）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：一、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？二、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人彼此送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4、平均增加率问题：M=a(1±x)n ， n 为增加或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为平均增加率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价钱的平均增加率。

列一元二次方程解应用题教案

列一元二次方程解应用题教案列一元二次方程解应用题教案1一、目的要求1．使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3．在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。

从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。

关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13．3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程复习提问：1．什么是一次函数?什么是正比例函数?2．在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：y=2x?? y=2x-1?? y=2x+1新课讲解：1．我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的.条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

列一元二次方程解应用题的一般步骤

列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。

首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。

举例如下：一、数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。

等量关系：新的两位数×原来的两位数解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736解得：x1=2，x2=3即两位数为23或32二、几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。

例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。

通常用勾股定理列出方程，求解。

解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得n2+（n+2）2=（n+4）2解得：n=6∴三边长为6、8、10，面积为24。

三、增长率问题此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式a（1+x）n=b表示这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。

例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得2（1+x）+2（1+x）2=12解得：x1=1 x2=4（舍去）即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。

四、估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。

一元二次方程应用题的解题步骤

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得 1 2x (6 x) 8
四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0
A
R
P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
CQ
B
动态几何：
❖ 1、已知：如图3-9-3所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于 4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，△的面积能否等于7cm2?说明理由.
积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等
面
宽,应如何设计四周边衬的宽度?
27
积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的
问
矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
题
解:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
(27
依题意得
18x)(21
14x)
3
27
21
解方程得 x 6 3 3
学习目标
❖ 掌握一元二次方程应用题的解题步骤. ❖ 会从不同角度掌握各种类型应用题的解法. ❖ 能利用运动的观点解决应用问题.

一元二次方程应用题

一元二次方程的应用列方程解应用题的一般步骤(1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系．(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异．(3)列：列方程，一般找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，列代数式表示等量关系中的各个量，构成方程。

(4)解：求出所列方程的解 (5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意．(6)答：写出答案（一）增长率问题：平均增长率公式：b x a n =+)1(为平均增长率）为增长的次数，为终止量，为起始量，x n b a (降低率问题：b x a n =-)1(为平均降低率）为降低的次数，为终止量，为起始量，x n b a ( 例1.某电脑公司2011年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2013年经营总收入要达到2160万元，且计划从2011年到2013年，每年经营总收入的增长率相同，问2012年预计经营总收入为多少万元？2.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg ，求南瓜亩产量的增长率．3.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.4.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2O07年盈利2160万元，且从2005年到2007年每年盈利的增长率相同（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率不变，预计2008年盈利多少万元？5. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境总人数约为7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率。

初中数学知识点：列一元二次方程解应用题的一般步骤

初中数学知识点：列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
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