四讲一三章静态电磁场
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电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
新版第三章-静磁场-Static-magnetic-field课件.ppt
A
的环量才有物理意义，而在每点 精品课件
上的
A(
x)值没有直接的物理意义。
定
A
②矢势
A
可确定磁场
B
，但由
，这是因为对任意函数 。
B
并不能唯一地确
即由于A A的环和量A才对有应物于理( A同意一义个的B)决，定A的的A。这种任意性是
2、矢势微分方程
时）。
L
A dl L
( A2t
A1t )l
另一方面，由于回路面积趋于零，有
因此使得
L A dl B dS 0 S ( A2t A1t )l 0
由于 l 0 只有
精品课件
A2t A1t
(5)
另外，若取
A 0
，仿照第一章关于法向分量边值
精品课件
每项相乘后，再二次项展开得
亦即 故
lim
M
I 4
R02
ln
R
2
1 4 1 4
R02 R2 M2 R02 R2 M2
I ln R02 I ln R0 I ln R 4 R2 2 R 2 R0
A( p)
A(
j j ( )
c
c
j (
)
c
其中，稳恒电流条件要求：
j
0
从
j (
) 可看出，均匀导电体系内不会出
c
现电荷堆积，只有当导体在沿着电荷流动方向不均匀
精品课件
时，才有可能有电荷存在。因此，对于分块均匀的导
电磁场与波课件教学PPT-第三章 静态场及其边值问题的解共154页PPT资料
静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
第三章 静态场及其边值问题的解
5
电磁场与电磁波
静态（恒定）磁场问题
出发点 Maxwell方程组
H J B 0
条件
本构关系
H B
边界条件 en (H1 H2) J s en (B1 B2) 0
2
2
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体情况
静电平衡
介质
en E 1 E
导体内部的电场为零
1, 1 0
导体en表 D面的边S 界条件或
en E 0
常取无限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参
考点应是固定的。
第三章 静态场及其边值问题的解
20
电磁场与电磁波
例 均匀电场的电位分布。选择点O为电位参考点
例 求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位。 无限长直均匀线电荷产生的电位， 任选有限远处的某点为电位参考点，例如，ρ= a 点 例 点电荷（带电球）的电位。选择无限远处为电位参考点
0
介质2 2
E2 2
2
2
0
第三章 静态场及其边值问题的解
15
电磁场与电磁波
4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况： 2(r)q(rr)
Rrr
E ( r ) 4 qR R 3 4 q R 1 4 qR 1
第四讲一三章静态电磁场
1 2
s
E
导体表面
② 将上式应用于电位保持不变导体系： 导体系在改变过程中，电位保持不变，则导体 系电荷量将发生变化。外界（电源）对导体系 作功，其中一部分转变为静电场能，另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。
F l＝
iqi
1 2
iqi
电源对系统 静电场能
所做的总功 量改变量
| F W e 常量
第二个小电荷元自从无 穷远处移到r2点时，外 力克服电场力作功为：
r2
dW 2r2dV2E 1dLr2dV212
第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点 时，外力克服电场力作功为：
d W 3r 3 d V 31 3 r 3 d V 32 3
第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时，外力 克服电场力作功为：
rq 4πcL 0o r2s4P πe0rr3
5 静电场的能量和能量密度
静电场对置于其中的电荷有力的作用，并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。
根据能量守恒原理，静电场的能量等于电荷 体建立过程中，外力克服静电力做功的总和
第一个小电荷元自从无穷远处移 到r1，外界克服电场力做功为零
r1V1
r2V2
静电力作用下发生小的移 δl ,变
化后体系的静电能为We’， 静电 力作的虚功为：
δAFδl 该虚功等于电荷体系能量的减少
We WeWe
δl W e W e
F e ˆx W xee ˆy W yee ˆz W ze W e
① 将上式应用于电荷保持不变导体系： 结合导体系能量表达式，静电力为
将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为
W e 1 2 V rrd V 1 2 siisd s 1 2 iq i
静态电磁场I恒定电流的电场和磁场.pptx
5. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
1. 恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的定义
矢量磁位或称磁矢位
由 B 0
B A
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
3.利用矢量磁位A计算磁场
体电流分布:
A(r) 0 Jc (r' )dV '
4 V ' r r'
面电流分布:
A(r) 0 K (r' )dS '
4 S' r r'
线电流分布:
A(r) 0 I dl'
4 l' r r'
由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位,故与基于B的分析计算相比，相 对较为简单，尤其在二维磁场(平行平面或轴对称磁场)。
dV
'
毕奥-萨伐尔定律（矢量积分关系式）
第21页/共59页
3.3.4 毕奥-萨法尔定律（矢量磁位）
根据导体中电流分布的不同形态：
体电流密度矢量 Jc v 面电流密度矢量 K v 线电流密度矢量 I v
元电流密度矢量 dqv
JcdV KdS Idl dq
因此，面、线电流分布情况下的磁感应强度为：
Jc dS 0
S
J1n J2n
E dl 0
l
E1t E2t
对线性各向同性媒质， J1 1E1 J2 2E2 (2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件
tg1 1 tg2 2
1 2 1 90 o
2 0o
J2
n
例如，钢的电导率 1 = 5106 S/m，周围
2
土壤的电导率2 = 10-2 S/m，1 = 89， 可知，2 8。
sin2
e
第三章 静态电磁场剖析
代入
(r ) S (r) dS
S 4 0 | r r |
得
(
4 0 0 0 z2 2
S [ a2 z2 z ] 20
第三章 静态电磁场
【例2】 求偶极矩为 p = ez q l 的电偶极子引起的电场分布。 解：电偶极子由两个相距很近（l << r）的等值异号的点电 荷构成，电偶极子引起的电位就是此两个点电荷引起的电 位的叠加。
)
第三章 静态电磁场
【例3】 求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设
带电线的线电荷密度为 l 。
解：以带电直线为轴线建立圆柱坐标系。取距离轴线有限远
= 0 处为电位的零点。
该带电直线引起的电场为
E()
e
l 2 0
于是距带电线为处的电位为
0
0
(z) Edl
l
d l ln 0
2 0
位为 (r) E dl P
例如，点电荷 q 位于无限大介质中 r′处，其在场点 r 处引
起的电场为 则电位分布为
E
(r,
r)
q (r
4π |
r) r r|3
(r)
q
4π
(r r)dl
r
| r r|3
q
4π
r
dR R2
q
4π
R
4π
q |r
r|
第三章 静态电磁场
根据电位叠加原理，体积 V 中的电荷分布在场点 r 处
得
2 (r
)
1
4
V
(r )
|
r r r r |3 dV
因为
r r
|r
r |3
0
第三章 静态电磁场
第3章 静态电磁场分析01
1 ρ ( r ') R dτ ' 3 ∫ 4πε0 R
D(r ) = ε E ( r ) =
1 ρ ( r ') R dτ ' 3 ∫ 4π R
◇
关系式 D = ε E 称为电特性方程或介质本构关系
3.1.1
静电场的基本方程
1、基本方程
∫ D ⋅ dS = ∑q �
s
∇⋅ D = ρ
∫ E ⋅ dl = 0 �
{
}
第一项：
1 1 ϕ ∝ , D ∝ 2 ds ∝ r 2 r r
� � 1 ⇒ [ D ⋅ ϕ ] • ds ∝ r
� � � � 1 ∴ We = ∫ D (r ) • E ( r )dV = ∫ we dV v 2 v 1 � � 1 we = D • E = ε E 2 -------- 电场能量密度 2 2
ρs = 0
有
∂ϕ1 ⎧ ∂ϕ 2 ε = ε ⎪ 2 1 ∂n ⎨ ∂n ⎪ ⎩ϕ1 − ϕ 2 = 0
导体表面：电位的边界条件为
⎧ ∂ϕ = −ρsΒιβλιοθήκη ⎪ε ∂ n ⎨ ⎪ ⎩ϕ = 常 数
例 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外 空间的电位。 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 ∇ ϕ = 0
3.1 静电场分析 3.2 恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题
3.1
◇
静电场分析
静电场的源变量是电荷 q ( r )
◇ 第2章中已由库仑定律引入了电荷 q ( r )产生的电场强度 E =
q R 4πε 0 R3
◇ ◇
任意电荷分布产生的电场强度 E ( r ) = 定义任意电荷分布产生的电位移矢量
第三章静态电磁场与..
y
dx2
dx2
方程的解为：1x C1x D1;2 x C2x D2
有题设边界条件：
o
b
ax
x 0处，10 0;1 x a处，2a 0 2.
x b处，1b 2 b.
3
2 x
x
1x
x xb
s0 0
4
解得：C1
s0 b
0a
a,
D1 0
; C2
s0b 0a
,
D2
s0b . 0
1
x
s
意义：电荷量为0的点电荷的电位。
格林定理 泊松方程的积分公式
格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。
由散度定理 gAd Ñ AgndS
S
设 A
而 gA g 2 g
Agn gn n
得格林第一恒等式
同理，若设 A
格林第一恒等式表示为
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2
g
d
Ñ
S
n
dS
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
◇
定义格林函数
Gr,r ' 0 r,r '
无界空间中的解：G
r,
r
'
0
r,
r
'
4
1 r
r
'
格林函数的对称性：G r, r ' G r ', r
◇ 极化体电荷 p P ◇ 极化面电荷 p en P （en 为介质表面外法线方向的单位矢量）
静态电磁场静电场.pptx
通常有h >>a，此时b≈h，故
Cl
0 0 2h d
ln ln
aa
此外，对于h >>a的情况，也可以采用高斯定理计算。设均匀传输线单位长线电
荷密度为，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为
两导体间的电位差为
Ex 2 0 x 2 0 (d x)
U
d a a
E x dx
2
0
(ln
知
q0 + q1 + … + qk + … + qn = 0
选0号导体为电位参考点，即 0= 0，应用叠加原理，可得各个导
体电位与各个导体上电荷的关系为
第22页/共51页
1 11q1 12q2 1k qk `1n qn
k k1q1
k2q2
kkqk
knqn
n n1q1 n2q2 nk qk nn qn
d
q' R q d
q 1 R R
E p 4π 0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
第16页/共51页
同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷 的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算。
例2：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的 一端距球心为d。求导体球壳上总的感应电荷。
EP
E P
E P
2 0 1
e1
2 0 2
e2
y D
P(x,y) 1
o 导体
b
+
•
介质0
y D
2 e2
P(x,y) 1 e1
-
x
•
静态电磁场
-2 -3 7 7 7
1.46×10 3.54×10 4.10×10 10
-2
注：
随温度变化，常温下变化忽略不计
2.2.3 焦耳定律
一、焦耳热
带电粒子定向运动时不断与媒质中的分子或 离子碰撞并将能量传给它们，使它们热运动加 剧，媒质温度升高，这就是电流的热效应，这 种由电能转化而来的热能称为焦耳热。
正电荷
负电荷
正电荷
S 静电场是有散场
四、环路定律 •积分形式
静电场没有旋涡源，因此：
•微分形式
L
E r dl 0
E r 0
静电场是无旋场
静电场的场方程总结
ρ r E r ε0
QS S E r ds ε0
空气(1大气压)： 3 10 V/m
6
6 V/m 12 10 油：
纸：14 106 V/m
玻璃： 10 ~ 25106 V/m
2.1.5
静电场的能量
一、静电场具有能量的表现：
不受其他外力的静止带电体，会在电 场力作用下开始运动，其动能来自于电 场力对其做的功。电场力做功的能量就 来自静电场中蓄积的能量。
二、能量来源
•任何形式的静电荷系统，都要经过从没有电荷到某 个最终电荷分布的建立过程（或者称充电过程）。 在此过程中，外加电源必须克服电场力做功。 • 如果充电过程足够缓慢，就没有能量辐射损耗，外 力所做的功全部转化为静电场能量。 • 当电荷分布稳定之后，其电场能量就等于外力所做 的总功，并储存在整个静电场占据的空间中。
•介质分类： r 值处处相等：均匀电介质 r 值与 E 无关：线性电介质 r 为标量：各向同性电介质， D 与 E 总是同向
1.46×10 3.54×10 4.10×10 10
-2
注：
随温度变化，常温下变化忽略不计
2.2.3 焦耳定律
一、焦耳热
带电粒子定向运动时不断与媒质中的分子或 离子碰撞并将能量传给它们，使它们热运动加 剧，媒质温度升高，这就是电流的热效应，这 种由电能转化而来的热能称为焦耳热。
正电荷
负电荷
正电荷
S 静电场是有散场
四、环路定律 •积分形式
静电场没有旋涡源，因此：
•微分形式
L
E r dl 0
E r 0
静电场是无旋场
静电场的场方程总结
ρ r E r ε0
QS S E r ds ε0
空气(1大气压)： 3 10 V/m
6
6 V/m 12 10 油：
纸：14 106 V/m
玻璃： 10 ~ 25106 V/m
2.1.5
静电场的能量
一、静电场具有能量的表现：
不受其他外力的静止带电体，会在电 场力作用下开始运动，其动能来自于电 场力对其做的功。电场力做功的能量就 来自静电场中蓄积的能量。
二、能量来源
•任何形式的静电荷系统，都要经过从没有电荷到某 个最终电荷分布的建立过程（或者称充电过程）。 在此过程中，外加电源必须克服电场力做功。 • 如果充电过程足够缓慢，就没有能量辐射损耗，外 力所做的功全部转化为静电场能量。 • 当电荷分布稳定之后，其电场能量就等于外力所做 的总功，并储存在整个静电场占据的空间中。
•介质分类： r 值处处相等：均匀电介质 r 值与 E 无关：线性电介质 r 为标量：各向同性电介质， D 与 E 总是同向
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
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而 Ar的散度没有唯一确定。
为使 A 与 B 之间是唯一对应关系，对磁 矢势附加条件，才能够则唯一确定。
令磁矢势满足 Ar 0
Br Ar Ar 2 Ar J r 2 Ar J r
这是一个矢量Poisson方程，包含三个标量 Poisson方程，是求恒定电流磁场的基本方程
M12
12
I0
C2
4π
C1
dl1 R
dl 2
3、磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。
1
0
m
m2 r S
S
2
m
n
r
2
S
nˆ nˆ
(B2
H
B1)
2 H1
0
0
电位和标量磁位之间的比较
Er 0 Hr 0
E r
1
0
P
H r
1
0
m
Dr 0Er Pr Br 0Hr Mr
Er r H r mr
2r 1
0
p
2m
r
1
0
m
p Pr
m 0 Mr
J r ds Br
0
H
r
J
r
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
Br Ar
称矢量函数 Ar为磁矢势。但存在的问题是：
引入：Ar Ar r Br Ar Ar AArr (描述同一个)Br
产生这一问题的原因？
造成磁矢势不是唯一的原因是：
Ar旋度由 Br Ar确定
21
r
r
1
1 Байду номын сангаас
n S
2
2
n
S
－s
或
1
r
|S
2
r
| S
M
【例3-1】电偶极子由相距一
r1
小距离L的两个等值异号的
q
r2
点电荷所组成的电荷体系，
其方向由负电荷指向正电 荷，大小为：P qL 。求 电偶极子在远处的电场。
-q
r
q
4π 0
1 r1
1 r2
Er r
1
4π 0 r 3
eˆr
Ar dl2
C2
C2
4π
C1
dl1 R
dl2
比值：
12
I0
1 I0
Ar dl2
C2
C2
4π
C1
dl1 R
dl2
是一个与空间介质的磁导率、C1和C2的几何结构有 关的常量。这说明，电流环C1产生的磁场在以C2为 边界的任意曲面上的磁通量与C1上的电流强度之比 值与C1上的电流强度无关，该常量描述了载流线圈 上单位电流强度在空间某回路为边界的曲面上产生
附加场
+ +
+ + +
E
达到静电平衡状态 导体内部电场为零
电场中的导体： 导体内部电场为零，导体为等势体； 导体边界面上电场的切向分量为零； 电荷只分布在导体的表面
（ 0n常 数 s）S
sds
Q
0
导体所带电荷量 导体不带电
4 静电场的定解问题 均匀介质空间Ω中的静 电场为确定边界条件下 Poisson方程的解，即
② 将上式应用于电位保持不变导体系： 导体系在改变过程中，电位保持不变，则导体 系电荷量将发生变化。外界（电源）对导体系 作功，其中一部分转变为静电场能，另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。
F l＝
iqi
1 2
iqi
电源对系统 静电场能
所做的总功 量改变量
| F We 常量
【例】 平行板电容器宽长度为l，宽度为b， 间距为d 。电容器两板极之间的部分区域充 满了电介质。如果将平行板电容器接入电压 为V0 的直流电源，求电容器的储能；求介质 板在拉出时受到的作用力。
V
E r
r ε
S
n
引入电位函数r ，令 Er r 得到 r 满足的方程
2r r （Poisson方程）
如果 r 0 ，变为Lap lace方程 2r 0
问题：静电场与电位函数是不是一一对应 关系，这是否意味着由电位函数决 定的静电场是多值的？
2 边界条件
电位函数方程的求解，必需知道位函数 在区域边界上的状态，即边界条件。所 谓边界条件即电场在介质交界面两侧所 满足的方程。
2 边界条件
利用磁场在两介质边界上满足的条件
nˆ B2 B1 0 nˆ H 2 H1 J s
导出磁矢势的边界条件：
A2 r
nˆ A2 A1 0
| A2 A1 边界面 0
A1r
3 小电流环－磁偶极矩的磁场
由于电流分布的轴对称性，磁矢势以z为对 称轴，与 无关。
Ar 0 Idl 4π l r r'
将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为
We
1 2
r r dV
V
1
2
i sds
si
1
2
i qi
导体系相对于同一参考点的电位
导体系的电荷量
6 带电体系的静电作用力
虚功原理如下：设一定空间结构
的带电体系，静电能为 We 。假
想该电荷体系的空间位形结构在
＝ 1
2
i sids E i
si
si
1 2
si Eds
si
f ds
单位导体表面积受到的静电力是：
| f
1 2
s E
导体表面
|E 导体表面
为系统总电荷在导体表面处产生的电场
（含受力面元本身的电荷在内）
问题：根据库仑定律
f
| f s E 导体表面
按照虚功原理得到：
| f
1 2
s E
导体表面
2
能否作为能 量密度函数
利用 D 和Er r
We
1 2
V
r r dV
1 2
V
Dr r dV
1 2
V
Dr
Er
dV
r
S
Dr
dS
V
1 2
Dr
E
r
dV
能量密度函数
两者都可 作为静电 场能量计 算公式但 意义不同
静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过 电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。
2Pecos
eˆ
Pesin
r
qLcos 4π 0r 2
Pe r
4π 0r 3
5 静电场的能量和能量密度
静电场对置于其中的电荷有力的作用，并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。
根据能量守恒原理，静电场的能量等于电荷 体建立过程中，外力克服静电力做功的总和
第一个小电荷元自从无穷远处移 到r1，外界克服电场力做功为零
r1 V1
r2 V2
第二个小电荷元自从无 穷远处移到r2点时，外 力克服电场力作功为：
r2
dW2 r2 dV2E1 dL r2 dV212
第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点 时，外力克服电场力作功为：
dW3 r3 dV313 r3 dV323
第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时，外力 克服电场力作功为：
B2 0 H2，B1 H1
H 2t H2n
0
H1t H1n
0
H 2t H1t
0
0
H2n
H1n
0
H1→0
§3.5 电感与磁场的能量
1、自感与互感现象
线圈C上电流发生变化时,它所激发的 磁场也发生变化, 通过闭合曲线C所对 应的曲面的磁通量也发生变化。必将 在闭合线圈C上产生感应电动势。这种 由于闭合线圈C自身电流变化而激发的 电动势的现象称为自感现象。
互感现象
I1 C1
C2 I2
2、自感与互感系数
电流环C1在空间产生磁场，该磁场对以回路C2为 边界的曲面的磁通量（又称为磁通匝链数）为：
12
S
Br ds I0
S
4π
C1
dl1 R3
R
ds
＝
S
Ar ds
I0
C2
4π
C1
dl1 dl2 R
比值：
12
I0
1 I0
介质1
介质2
1 r
| S
2
r
| S
| | 1
n
S
2
n
S
s
| | m1r S m2r S
| | 1
m1
n
S
2
m2
n
S
【例】证明 的磁性介质为等磁位体
证：下标1代表磁性介质，2代表真空
由磁场的边界条件 nB2 B1 0 ，nH2 H1 0
得到： 0 H2n H1n ，H2t H1t
对于讨论介质中磁场的求解方程方便。
利用磁感应强度无散特性和磁场定义，得到：
Br 0Hr Mr 0
定义假想的磁荷密度为：m 0 Mr
得到磁场满足的方程
H r m
0
外加磁场
介质中磁标位满足的方 程及其边界条件是：
介质磁化的效果 用等效磁荷描述
2m r
| | | | m11rnmS1
r3
dV313
r3
dV323
r1
dV131
r2
dV232
dWn
1 2
为使 A 与 B 之间是唯一对应关系，对磁 矢势附加条件，才能够则唯一确定。
令磁矢势满足 Ar 0
Br Ar Ar 2 Ar J r 2 Ar J r
这是一个矢量Poisson方程，包含三个标量 Poisson方程，是求恒定电流磁场的基本方程
M12
12
I0
C2
4π
C1
dl1 R
dl 2
3、磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。
1
0
m
m2 r S
S
2
m
n
r
2
S
nˆ nˆ
(B2
H
B1)
2 H1
0
0
电位和标量磁位之间的比较
Er 0 Hr 0
E r
1
0
P
H r
1
0
m
Dr 0Er Pr Br 0Hr Mr
Er r H r mr
2r 1
0
p
2m
r
1
0
m
p Pr
m 0 Mr
J r ds Br
0
H
r
J
r
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
Br Ar
称矢量函数 Ar为磁矢势。但存在的问题是：
引入：Ar Ar r Br Ar Ar AArr (描述同一个)Br
产生这一问题的原因？
造成磁矢势不是唯一的原因是：
Ar旋度由 Br Ar确定
21
r
r
1
1 Байду номын сангаас
n S
2
2
n
S
－s
或
1
r
|S
2
r
| S
M
【例3-1】电偶极子由相距一
r1
小距离L的两个等值异号的
q
r2
点电荷所组成的电荷体系，
其方向由负电荷指向正电 荷，大小为：P qL 。求 电偶极子在远处的电场。
-q
r
q
4π 0
1 r1
1 r2
Er r
1
4π 0 r 3
eˆr
Ar dl2
C2
C2
4π
C1
dl1 R
dl2
比值：
12
I0
1 I0
Ar dl2
C2
C2
4π
C1
dl1 R
dl2
是一个与空间介质的磁导率、C1和C2的几何结构有 关的常量。这说明，电流环C1产生的磁场在以C2为 边界的任意曲面上的磁通量与C1上的电流强度之比 值与C1上的电流强度无关，该常量描述了载流线圈 上单位电流强度在空间某回路为边界的曲面上产生
附加场
+ +
+ + +
E
达到静电平衡状态 导体内部电场为零
电场中的导体： 导体内部电场为零，导体为等势体； 导体边界面上电场的切向分量为零； 电荷只分布在导体的表面
（ 0n常 数 s）S
sds
Q
0
导体所带电荷量 导体不带电
4 静电场的定解问题 均匀介质空间Ω中的静 电场为确定边界条件下 Poisson方程的解，即
② 将上式应用于电位保持不变导体系： 导体系在改变过程中，电位保持不变，则导体 系电荷量将发生变化。外界（电源）对导体系 作功，其中一部分转变为静电场能，另外一部 分为导体系空间结构变化静电力所作的功。
F l＝
iqi
1 2
iqi
电源对系统 静电场能
所做的总功 量改变量
| F We 常量
【例】 平行板电容器宽长度为l，宽度为b， 间距为d 。电容器两板极之间的部分区域充 满了电介质。如果将平行板电容器接入电压 为V0 的直流电源，求电容器的储能；求介质 板在拉出时受到的作用力。
V
E r
r ε
S
n
引入电位函数r ，令 Er r 得到 r 满足的方程
2r r （Poisson方程）
如果 r 0 ，变为Lap lace方程 2r 0
问题：静电场与电位函数是不是一一对应 关系，这是否意味着由电位函数决 定的静电场是多值的？
2 边界条件
电位函数方程的求解，必需知道位函数 在区域边界上的状态，即边界条件。所 谓边界条件即电场在介质交界面两侧所 满足的方程。
2 边界条件
利用磁场在两介质边界上满足的条件
nˆ B2 B1 0 nˆ H 2 H1 J s
导出磁矢势的边界条件：
A2 r
nˆ A2 A1 0
| A2 A1 边界面 0
A1r
3 小电流环－磁偶极矩的磁场
由于电流分布的轴对称性，磁矢势以z为对 称轴，与 无关。
Ar 0 Idl 4π l r r'
将静电场能量公式应用到导体系，由于导体 的电位为常数，从而得到导体系的能量为
We
1 2
r r dV
V
1
2
i sds
si
1
2
i qi
导体系相对于同一参考点的电位
导体系的电荷量
6 带电体系的静电作用力
虚功原理如下：设一定空间结构
的带电体系，静电能为 We 。假
想该电荷体系的空间位形结构在
＝ 1
2
i sids E i
si
si
1 2
si Eds
si
f ds
单位导体表面积受到的静电力是：
| f
1 2
s E
导体表面
|E 导体表面
为系统总电荷在导体表面处产生的电场
（含受力面元本身的电荷在内）
问题：根据库仑定律
f
| f s E 导体表面
按照虚功原理得到：
| f
1 2
s E
导体表面
2
能否作为能 量密度函数
利用 D 和Er r
We
1 2
V
r r dV
1 2
V
Dr r dV
1 2
V
Dr
Er
dV
r
S
Dr
dS
V
1 2
Dr
E
r
dV
能量密度函数
两者都可 作为静电 场能量计 算公式但 意义不同
静电场能量既可以通过电荷的分布计算，也可以通过 电场计算，但能量密度函数只能表示为电场的函数。
2Pecos
eˆ
Pesin
r
qLcos 4π 0r 2
Pe r
4π 0r 3
5 静电场的能量和能量密度
静电场对置于其中的电荷有力的作用，并对 电荷作功。这说明静电场具有能量。
根据能量守恒原理，静电场的能量等于电荷 体建立过程中，外力克服静电力做功的总和
第一个小电荷元自从无穷远处移 到r1，外界克服电场力做功为零
r1 V1
r2 V2
第二个小电荷元自从无 穷远处移到r2点时，外 力克服电场力作功为：
r2
dW2 r2 dV2E1 dL r2 dV212
第三个小电荷元自从无穷远处移到r3点 时，外力克服电场力作功为：
dW3 r3 dV313 r3 dV323
第n个小电荷元自从无穷远处移到rn点时，外力 克服电场力作功为：
B2 0 H2，B1 H1
H 2t H2n
0
H1t H1n
0
H 2t H1t
0
0
H2n
H1n
0
H1→0
§3.5 电感与磁场的能量
1、自感与互感现象
线圈C上电流发生变化时,它所激发的 磁场也发生变化, 通过闭合曲线C所对 应的曲面的磁通量也发生变化。必将 在闭合线圈C上产生感应电动势。这种 由于闭合线圈C自身电流变化而激发的 电动势的现象称为自感现象。
互感现象
I1 C1
C2 I2
2、自感与互感系数
电流环C1在空间产生磁场，该磁场对以回路C2为 边界的曲面的磁通量（又称为磁通匝链数）为：
12
S
Br ds I0
S
4π
C1
dl1 R3
R
ds
＝
S
Ar ds
I0
C2
4π
C1
dl1 dl2 R
比值：
12
I0
1 I0
介质1
介质2
1 r
| S
2
r
| S
| | 1
n
S
2
n
S
s
| | m1r S m2r S
| | 1
m1
n
S
2
m2
n
S
【例】证明 的磁性介质为等磁位体
证：下标1代表磁性介质，2代表真空
由磁场的边界条件 nB2 B1 0 ，nH2 H1 0
得到： 0 H2n H1n ，H2t H1t
对于讨论介质中磁场的求解方程方便。
利用磁感应强度无散特性和磁场定义，得到：
Br 0Hr Mr 0
定义假想的磁荷密度为：m 0 Mr
得到磁场满足的方程
H r m
0
外加磁场
介质中磁标位满足的方 程及其边界条件是：
介质磁化的效果 用等效磁荷描述
2m r
| | | | m11rnmS1
r3
dV313
r3
dV323
r1
dV131
r2
dV232
dWn
1 2