相关关系概念
简述相关关系的概念
简述相关关系的概念摘要：一、相关关系的定义二、相关关系的分类1.的正相关关系2.负相关关系3.零相关关系三、相关关系的应用四、如何测量相关关系1.皮尔逊相关系数2.斯皮尔曼相关系数3.判定系数五、相关关系与因果关系的区别六、实例分析正文：在我们日常生活中，经常遇到各种现象之间存在一定的关联性，这种关联性就是我们今天要讨论的相关关系。
相关关系是指两个或多个变量之间存在的某种规律性联系。
根据这种联系的方向和强度，我们可以将相关关系分为三类：正相关关系、负相关关系和零相关关系。
正相关关系指的是当一个变量增大时，另一个变量也随之增大；负相关关系则表示一个变量的增大导致另一个变量的减小；而零相关关系则是指两个变量之间不存在明显的规律性联系。
在实际应用中，相关关系被广泛应用于各个领域，如经济学、社会学、心理学等。
通过研究相关关系，我们可以更好地理解和解释现象之间的联系，为决策提供依据。
然而，相关关系与因果关系之间存在着明显的区别。
因果关系是指一个事件（因果因子）导致另一个事件（结果）的发生，而相关关系仅表示两个变量之间存在一定的联系，并不能确定其中一个变量是另一个变量的原因。
因此，在研究现象之间的关系时，我们需要谨慎判断，避免将相关关系误认为是因果关系。
在研究相关关系时，我们需要测量这种关系的大小和方向。
常用的测量方法有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数。
皮尔逊相关系数主要用于衡量两个变量之间的线性关系，斯皮尔曼相关系数用于衡量两个变量的单调关系，判定系数则用于衡量两个变量之间的拟合程度。
总之，相关关系是我们研究和分析现象之间联系的重要工具。
通过掌握相关关系的概念、分类和测量方法，我们可以更好地理解现实世界中的各种现象，为决策和预测提供有力支持。
相关关系和函数关系的例子(一)
相关关系和函数关系的例子(一)相关关系和函数关系在数学中，我们经常遇到相关关系和函数关系。
这两种关系在数学中都有重要的应用，下面我将分别列举相关关系和函数关系的一些例子，并对其进行详细的解释。
相关关系相关关系是指两个变量之间存在某种联系或者依赖。
这种联系可以是正相关、负相关或者无关。
例子1：身高和体重的相关关系我们发现身高和体重之间存在一定的联系。
一般来说，身高较高的人体重也较重，身高较矮的人体重也较轻。
这种相关关系是正相关的，即身高和体重之间的变化趋势是一致的。
例子2：学习时间和分数的相关关系在学习中，我们经常发现学习时间和考试分数之间存在一定的关系。
通常情况下，学习时间越多，考试分数也越高，而学习时间越少，考试分数也越低。
这种相关关系也是正相关的，即学习时间和分数之间的变化趋势是一致的。
函数关系函数关系是指一个变量的值完全取决于另一个变量的值。
在函数关系中，一个变量被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
例子1：身高和鞋码的函数关系我们发现身高和鞋码之间存在着函数关系。
一般来说，身高较高的人鞋码也较大，而身高较矮的人鞋码也较小。
在这个函数关系中，身高充当自变量，鞋码充当因变量。
例子2：体重和BMI的函数关系在健康领域，我们经常使用BMI（Body Mass Index，身体质量指数）来评估一个人的体重是否正常。
体重和BMI之间存在着函数关系，即体重的值决定了对应的BMI值。
在这个函数关系中，体重充当自变量，BMI充当因变量。
总结：相关关系和函数关系在数学中都有重要的应用。
相关关系描述了两个变量之间的联系或者依赖，而函数关系描述了一个变量的值如何取决于另一个变量的值。
通过理解和应用相关关系和函数关系，我们可以更好地分析和解决实际问题。
相关关系在数学中，相关关系描述了两个变量之间的联系或者依赖。
这种联系可以是正相关、负相关或者无关。
例子3：温度和冰激凌销量的相关关系在夏天，我们发现温度越高，冰激凌销量也越高。
第五章 相关关系
第五章相关分析第一节相关的意义一、相关的概念相关分析是分析事物之间相互联系的一种手段。
1、从性质角度考虑事物间的联系因果关系：一种现象是另一种现象的因，而另一种现象是这种现象的果。
努力学习是学习成绩好的因，学习成绩好是努力学习的果。
共变关系：表面看来有联系的两种事物都与第三种现象有关，这两种事物间的关系就是共变关系。
如春天出生的婴儿与春天栽种的小树，就其高度而言，表面上看来都在增长，好像有关，其实这二者都是受时间因素的影响，它们本身之间并没有直接的关系。
相关关系：两类现象在发展变化的方向及大小方面存在一定的关系。
如：学生入学成绩与进校一年后的学业成绩；各种成绩之间；中学成绩与大学成绩；智商与学业成绩；教育投资与教育带来的发展；自我价值感与学业成绩、经济条件；运动员的赛前焦虑与比赛成绩、临近比赛的时间；动机强度与工作效率等之间的关系都属于相关关系。
2、相关的种类（1）方向上——正相关、负相关和零相关正相关指一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量亦由大而小或由小而大的变化，即两列变量是同方向变化的，属“同增共减”的关系。
负相关指一列变量由大而小或由小而大的变化，另一列变量却反由小而大或由大而小的变化，即两列变量的变化方向是相反的，属“此增彼减”的关系。
零相关又称无相关，是一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量则或大或小的变化，即两列变量的变化看不出一定的趋势，甚至毫无关系。
（2）形状——直线相关和曲线相关直线相关指两列变量中的一列变量在增加时，另一列变量随之而增加；或一列变量在增加，另一列变量却相应地减少，形成一种直线关系。
两列变量的变化在坐标轴上绘制散点图时形成的是长轴或椭圆形图形。
曲线相关指两列相伴随变化的变量，未能形成直线关系。
两列变量的变化莫测在坐标轴上绘制散点图时形成的是成弯月状或曲线形图形。
（3）相关程度——完全相关、强相关、弱相关和无相关完全相关指两列变量的关系是一一对应、完全确定的关系。
相关关系和因果关系的区别例子
相关关系和因果关系的区别例子示例1:相关关系和因果关系是两种不同的关系类型，它们在我们的日常生活和研究中都扮演着重要的角色。
理解它们之间的区别可以帮助我们更好地分析和解释事件和现象。
相关关系是指两个或多个事件之间存在某种关联，即它们在某种程度上随着时间的推移而一起变化。
然而，这并不意味着其中一个事件是导致另一个事件发生的原因，而只是它们之间存在的关联性。
以下是相关关系的一些例子：1. 鸟类数量和树木数量的关系：如果一个地区的树木数量增加，鸟类数量也往往会增加。
这里存在相关关系，因为两者随着时间的推移呈现出一定的相似变化，但并不能断定是树木增加导致了鸟类数量增加，或者是鸟类数量增加导致了树木增加。
2. 雨水和伞的销售量之间的关系：当天气预报中预测有雨时，人们往往倾向于购买伞。
这里存在相关关系，但我们不能简单地得出结论说伞的销售量增加是因为下雨。
因果关系则更加明确，指的是一个事件或现象是另一个事件或现象发生的原因或影响。
下面是一些因果关系的例子：1. 吸烟和肺癌的关系：吸烟是导致大部分肺癌病例的主要原因。
人们通过大量的研究得出了这个因果关系，并且有很多科学证据来支持这一点。
2. 噪音和睡眠质量之间的关系：噪音污染可以导致人们的睡眠质量下降。
这里存在因果关系，因为噪音的存在被认为是人们睡眠质量下降的主要原因之一。
总结起来，相关关系指的是两个或多个事件之间的关联性，它们在某种程度上同时发生或随着时间的推移呈现相似的变化。
而因果关系则是描述一个事件是另一个事件发生的原因或影响。
理解这两种关系的区别有助于我们更准确地分析和解释事件和现象。
示例2:相关关系和因果关系是两种经常被提及的关系类型。
虽然它们在我们日常生活中经常出现，但很多人并不清楚它们之间的区别。
本文旨在通过提供一些例子来解释相关关系和因果关系之间的差异。
相关关系意味着两个或多个事件或变量之间存在某种连接或联系。
这意味着当一个事件或变量发生或改变时，另一个事件或变量也可能发生或改变。
统计学基础-相关与回归分析
三、一元线性回归分析
（二）一元线性回归分析
模型中的参数与直线趋势方程相同，通常用最小平方
法来求。最小平方法的数学出发点是：
2
（y y） 最小值
（y a bx）2 最小值
令G（a,b） （y a bx）2
根据高等数学中求极值的原理：
y na b x xy a x b x2
二、相关关系的测定方法 （二）定量分析
• 定量分析：在判定变量间存在相关关系的基础上计 算相关关系的度量指标。相关表与相关图无法对变量 间的相关关系进行精确的计量。因此，要引入定量分 析，从而进一步研究相关的密切程度。
• 相关系数：在直线相关条件下说明两个现象之间关 系密切程度的统计分析指标，通常用表示。
在实际问题中，如果根据原始资料计算相关系数， 可运用其简捷计算：
二、相关关系的测定方法 （二）定量分析
• 相关系数的分析：掌握相关系数的性质是进行相关 系数分析的前提，相关系数表示两个变量和之间线性
关系的密切程度，其值介于–1与1之间，即。
性质：①当r>0时， 表示两变量正相关；当r<0时， 表示两变量为负相关。
相关关系是现象之间确实存在的，但关系数值 不固定的相互依存关系。相分析则是研究一个变量 与另一个变量或另一组变量之间相关密切程度和相 关方向的一种统计分析方法。
一、相关关系的概念与种类 （二）相关关系的种类 图10-1 相关关系分类示意图
二、相关关系的测定方法 （一）定性分析
• 定性分析：依据研究者的理论知识、专业知 识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关 关系，以及有何种相关关系做出判断。
总体的多元线性回归方程为：
y a b1x1 b2 x2 bk xk 模型中，b1,b2,bk 为回归系数；表明在其他自变量 不变的情况下，自变量变动一个单位而引起因 变量y的平均变动量。
说明相关关系的含义和分类
说明相关关系的含义和分类
相关关系是指事物之间存在某种联系或依存关系。
这种联系可以是相互影响、相互依赖、相互制约等，通过研究相关关系可以帮助我们理解事物之间的相互作用和演化规律。
相关关系可以分为以下几类：
1. 因果关系：两个事物之间存在一种因果关系，即一个事物的变化导致另一个事物的变化。
例如，温度上升会导致冰雪融化。
2. 相互依赖关系：两个事物互相依赖或相互需要，一个事物的存在或发展依赖于另一个事物。
例如，植物依赖于阳光进行光合作用来生长。
3. 对立关系：两个事物之间存在一种对立或矛盾关系，一个事物的存在或发展与另一个事物的存在或发展相对立。
例如，正与负、上与下、黑与白等。
4. 同一关系：两个事物具有同样或相同的属性或特征，可以归为同一类别。
例如，猫和狗都属于哺乳动物。
5. 相似关系：两个事物具有某些相似之处，但并非完全相同。
例如，苹果和橙子都是水果，但形状、颜色和味道不同。
6. 递进关系：两个事物之间存在一种递进或连续的发展关系，一个事物是另一个事物的进一步发展。
例如，学习知识可以逐渐提高个人能力。
以上只是几种常见的相关关系，实际上存在更多类型的相关关系。
通过了解和分析相关关系，可以帮助人们更好地理解事物间的联系，并为问题解决、决策制定等提供有价值的参考。
相关关系的含义和特点
相关关系是指两个或多个变量之间存在的某种联系或依存关系，但这种关系并不是确定的因果关系。
在统计学中，相关关系通常用相关系数来衡量。
相关关系的特点如下：
1. 非因果关系：相关关系并不意味着一个变量的变化是另一个变量变化的原因。
例如，冰淇淋的销售量和溺水死亡率之间存在正相关关系，但这并不意味着吃冰淇淋会导致溺水死亡。
2. 方向性：相关关系可以是正向的，也可以是负向的。
正向相关表示当一个变量增加时，另一个变量也增加；负向相关表示当一个变量增加时，另一个变量减少。
3. 强度：相关关系的强度可以用相关系数来衡量，范围在-1到1之间。
相关系数为1表示完全正相关，相关系数为-1表示完全负相关，相关系数为0表示无相关性。
4. 非线性：相关关系可以是线性的，也可以是非线性的。
线性相关关系可以用直线或平面来表示，非线性相关关系则需要用曲线或其他更复杂的图形来表示。
5. 可变性：相关关系可能会随着时间、地点或其他因素的变化而变化。
例如，一个人的身高和体重之间的相关性可能会随着年龄的增长而发生变化。
两个变量的相关关系
两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.对相关关系的理解可以从下面三个角度把握：相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.。
相关关系与函数
相关关系与函数相关关系和函数是数学中常见的概念，用于描述事物之间的联系和规律。
相关关系是指两个或多个变量之间的关联程度，而函数则是一种特殊的相关关系，其中每一个独立的自变量对应一个唯一的因变量。
本文将介绍有关相关关系和函数的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。
相关关系相关关系是指两个或多个变量之间存在的关联。
通过分析变量之间的相关性，可以帮助我们了解它们之间的联系和规律。
在相关关系中，有两个重要的概念：正相关和负相关。
正相关意味着两个变量的变化趋势是一致的。
当一个变量增加时，另一个变量也会增加；当一个变量减少时，另一个变量也会减少。
例如，身高和体重之间的关系就是正相关的，一般来说，身高越高，体重也会相对增加。
负相关则表示两个变量的变化趋势恰好相反。
当一个变量增加时，另一个变量会减少；当一个变量减少时，另一个变量会增加。
例如，气温和穿衣数量之间的关系就是负相关的，气温越高，穿衣数量就会相对减少。
相关系数是用来衡量相关关系强度和方向的指标。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1，相关性越强。
当相关系数为1时，表示完全正相关；当相关系数为-1时，表示完全负相关；当相关系数接近0时，表示相关性较弱。
函数函数是一种特殊的相关关系，其中每一个自变量对应一个唯一的因变量。
在函数中，自变量通常表示输入值，而因变量表示输出值。
函数可以用数学表达式、图形或者文字来表示。
函数的定义域是指自变量可能取值的范围，值域是指因变量可能取值的范围。
函数通常表示为y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f表示函数。
例如，y = 2x + 3就是一个简单的线性函数，表示了自变量x和因变量y之间的线性关系。
函数具有以下性质：1. 函数有唯一性：对于同一个自变量，函数只能有一个唯一的因变量。
2. 反函数：如果一个函数可以通过交换自变量和因变量的位置得到一个新的函数，那么这两个函数互为反函数。
3. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
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第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
相关关系名词解释
相关关系名词解释相关关系是指两个或多个事物之间存在某种联系或相互影响的关系。
它们可以是因果关系、相互作用关系、依赖关系等。
通过了解相关关系，我们可以更好地理解事物之间的相互作用和影响，并且可以帮助我们进行决策和解决问题。
以下是几种常见的相关关系的解释：1. 因果关系：因果关系是指一个事物或事件的发生或存在引起另一个事物或事件发生或存在的关系。
在因果关系中，一个事物或事件是另一个事物或事件发生的原因。
例如，饥饿和食物摄入之间存在因果关系，饥饿是食物摄入的原因。
2. 相互作用关系：相互作用关系是指两个或多个事物之间通过相互影响而发生变化的关系。
在相互作用关系中，一个事物的变化会对其他事物产生影响，反之亦然。
例如，社交媒体平台上的用户之间存在相互作用关系，他们的行为会相互影响对方的行为。
3. 依赖关系：依赖关系是指一个事物或事件对另一个事物或事件的发生或存在有所依赖的关系。
在依赖关系中，一个事物或事件的存在或发生需要另一个事物或事件的支持或条件。
例如，植物的生长依赖于阳光、水和营养物质的提供。
4. 相关关系：相关关系是指两个或多个事物之间存在某种统计上的相关性，即它们在某种程度上同时变化的趋势。
在相关关系中，当一个事物发生变化时，另一个事物也会发生相应的变化。
例如，人们的学历水平和收入之间存在相关关系，一般来说，学历越高的人收入越高。
5. 利益相关关系：利益相关关系是指两个或多个个体、组织或利益集团之间存在的目标、利益或权益的关系。
在利益相关关系中，当一个个体或组织的目标、利益或权益受到影响时，其他个体或组织的目标、利益或权益也会受到影响。
例如，雇主和雇员之间存在利益相关关系，雇主希望提高利润，而雇员希望获得更好的薪酬和福利。
总之，相关关系是人们在研究和理解事物之间相互联系和相互影响时经常使用的概念。
通过了解相关关系，我们可以更好地分析和解决问题，进行有效的决策，并获得更好的结果。
相关关系公式推导
相关关系公式推导在我们学习数学和统计学的过程中，经常会遇到各种各样的关系，而相关关系就是其中非常重要的一种。
今天，咱们就来好好聊聊相关关系公式的推导。
我记得之前在课堂上，给学生们讲相关关系的时候，有个特别有趣的小插曲。
当时，我在黑板上写下了一堆复杂的公式和数字，下面的学生们一个个皱着眉头，满脸困惑。
突然，一个平时特别调皮的小男孩举起手说：“老师，这感觉就像一堆乱麻，理都理不清！”他的话一下子让整个教室充满了笑声，也让我意识到，得换个方式来讲。
那咱们先来说说啥是相关关系。
简单来讲，相关关系就是用来描述两个或多个变量之间相互关联的程度。
比如说，我们想知道一个人的身高和体重是不是有关系，学习时间和考试成绩有没有关联，这就是在研究相关关系。
那相关关系公式到底是怎么来的呢？咱们就拿最常见的简单线性相关关系来说。
假设我们有两个变量 X 和 Y ，它们的数据分别是（x1, y1），（x2, y2），（x3, y3）……（xn, yn）。
首先，我们得算出 X 和 Y 的均值，分别记为和。
接下来，我们要计算每个数据点与均值的偏差。
比如对于 X 中的 x1 ，它与均值的偏差就是 x1 - ，对于 Y 中的 y1 ，它与均值的偏差就是 y1 - 。
然后，我们把这些偏差乘起来再相加，得到：\[\sum_{i=1}^{n} (x_i - )(y_i - )\]这一步很关键哦，它反映了 X 和 Y 的协同变化情况。
如果 X 的偏差大的时候，Y 的偏差也大，那么乘起来就是正数；如果 X 的偏差大而 Y 的偏差小，乘起来就是负数。
接下来，为了让这个结果更有可比性，我们要除以 X 和 Y 的标准差的乘积。
X 的标准差是，Y 的标准差是，它们的乘积是。
这样，我们就得到了相关系数 r 的公式：\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - )(y_i - )}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - )^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - )^2}}\]这个公式算出来的 r 值在 -1 到 1 之间。
第五章 相关关系
(二)计算公式
1.等级差数法 等级差数法(N<30) 等级差数法
2
6ΣD 6Σ(RX − RY ) rR =1− = 1− 2 2 N(N −1) N(N −1)
RY为变量 的等级数， 为变量Y的等级数 的等级数，
2
公式中： 为变量X的等级数 的等级数， 公式中：RX为变量 的等级数， D为两变量的等级数之差，即D=RX-RY, 为两变量的等级数之差， 为两变量的等级数之差 N为样本的容量 为样本的容量. 为样本的容量
+ ∑ y2 - ∑ D2 rRC = 2 2 2⋅ ∑x ⋅∑y
∑x
2
N3 − N n3 − n 2 ∑x = − ∑ Cx , ∑ C x = ∑ 12 12 3 3 N −N n −n 2 ∑y = − ∑ CY , ∑ CY = ∑ 12 12
D = Rx - RY
N为成对的个数,n为相同的等级数 为成对的个数,n为相同的等级数 ,n (例5-4,5-5) 4,5-
二、肯德尔等级相关 ----肯德尔W（和谐）系数 肯德尔W 和谐） 肯德尔
二、相关系数 （一）概念 ——是两列变量间相关程度的数字表现形式，表 是两列变量间相关程度的数字表现形式， 是两列变量间相关程度的数字表现形式 示相关关系强度的指标。 示相关关系强度的指标。 一般样本的相关系数用r表示，总体的相关 样本的相关系数用 一般样本的相关系数用r表示，总体的相关 系数用ρ表示。 系数用ρ表示。
（二）性质
1.相关系数的取值： -1≤ r ≤+1 1.相关系数的取值： 相关系数的取值 相关系数的符号： 表示正相关， 表示负相关。 2. 相关系数的符号：“＋”表示正相关，“－”表示负相关。 r＝＋ 完全正相关； ＝－1完全负相关； ＝＋1 零相关。 3. r＝＋1完全正相关； r＝－1完全负相关； r＝0零相关。 0≤∣r∣≤1,绝对值的大小表示相关的强弱程度 越接近1 绝对值的大小表示相关的强弱程度。 4. 0≤∣r∣≤1,绝对值的大小表示相关的强弱程度。越接近1，表示 相关程度越密切。（需要足够的样本容量） 。（需要足够的样本容量 相关程度越密切。（需要足够的样本容量）
变量间的关系
第九章 双变量分析
知识点1 变量间的关系
学习导航
变量间的关系
相关关系的概念 相关关系的方向 相关关系的强度 相关关系的类型 因果关系的概念 因果关系的条件
1. 相关关系的概念
两变量之间的相关(correlation)关系指的是当 其中一个变量发生变化时（或取值不同时）， 另一个变量也随之发生变化（取值也不同）。
4.相关关系的类型
散点图
5. 因果关系的概念
两变量之间的因果关系，指的是当其中一个变量变化时 （取不同的值时）会引起或导致另一个变量也随之发生 变化（取值也不同）；但反过来，当后一变量变化时， 却不会引起前一变量的变化。在这种情况下，我们称变 化发生在前边，并且能引起另一变量发生变化的那个变 量为自变量（常用X表示）；而称变化发生在后边并且这 种变化是前边变量的变化所引起的那个变量为因变量（ 常用Y表示）。
2. 相关关系的方向
两个变量之间具有正的相关关系，指的是当 一个变量的取值增加时，另一个变量的取值 也随之增加，反之亦然。 两个变量之间具有负的相关关系，则指的是 当一个变量的取值增加时，另一个变量的取 值反而减少。 相关关系的方向仅适用于定序及定序以上层 次的变量。
3. 相关关系的强度
变量与变量之间相关关系的强度指的是它们之间相 关关系程度的强弱或大小。
6. 因果关系的三个条件
变量X和变量Y之间存在着不对称的相关关系。 变量X和变量Y在发生的顺序上有先后之别。 变量X和变量Y的关系不是同源于第三个变量的影响。
？
城市动物园动物的数量
城市的犯罪率
城市规模
பைடு நூலகம்
变量间相关程度的统计表示是相关系数，取值范围
在-1~+1之间。
相关关系的权威定义
相关关系的权威定义
《相关关系的权威定义》
嘿，咱今儿来唠唠相关关系哈。
啥是相关关系呢？咱就说有一次我去逛街，看到一家卖冰淇淋的店和一家卖帽子的店紧挨着。
每次我看到好多人去买冰淇淋的时候，就发现去那家帽子店逛的人好像也多了起来。
你说这奇不奇怪？就好像这买冰淇淋和逛帽子店之间有那么点说不清道不明的联系。
这就有点像相关关系呀，它们不是那种直接的因果关系，不是说因为买了冰淇淋所以就得去买帽子，不是这样的。
但就是会很神奇地发现，这两个事儿好像总有着那么一丝一缕的关联。
就好像有时候我发现自己心情好的时候，就特别想吃甜食，这心情好和想吃甜食之间，不也是一种相关关系嘛。
再回到那个冰淇淋店和帽子店，我就总琢磨，是不是因为吃了冰淇淋心情好，然后就更有兴致去逛旁边的帽子店了呢？或者是因为天气热，既想吃冰淇淋又想买顶帽子遮阳呢？哎呀，反正就是这种让人觉得挺有意思的联系。
所以呀，相关关系就是这样，不是那种板上钉钉的直接联系，但又确实存在着某种关联。
就像生活中好多事儿一样，你细细去观察，就能发现那些看似不相关的东西之间，说不定也有着奇妙的相关关系呢！嘿嘿，这就是我理解的相关关系啦。
相关关系知识点总结
相关关系知识点总结一、相关关系的基本概念1. 相关关系的定义相关关系是指两个或多个事物之间存在的一种联系或互动。
这种联系可以是因果关系，也可以是对比关系、类比关系等。
相关关系是一种客观存在的事物之间的联系，它反映了事物之间的相互作用和影响。
2. 相关关系的特点相关关系具有以下几个基本特点：（1）客观性：相关关系是客观存在的，它反映了事物之间的实际联系和影响。
（2）多种类型：相关关系包括因果关系、对比关系、类比关系等不同类型。
（3）动态性：相关关系是动态变化的，随着事物之间的相互作用和影响，相关关系也随之发生变化。
（4）多样性：相关关系具有多样性，不同的事物之间可以存在各种不同类型的相关关系。
二、相关关系的类型1. 因果关系因果关系是指一种事物对另一种事物产生影响或引起结果的关系。
在因果关系中，一个事物是另一个事物产生影响的原因，而另一个事物是受到影响的结果。
因果关系是自然界和社会生活中普遍存在的一种关系，它反映了事物之间的直接或间接的影响与作用。
2. 对比关系对比关系是指两个或多个事物之间的相互比较或对照的关系。
在对比关系中，事物之间的相同点和不同点得到突出，通过对比可以更清楚地了解事物的特点和本质。
对比关系在逻辑思维和认识世界中起着重要作用，它有助于我们更全面地认识和理解事物。
3. 类比关系类比关系是指在事物之间找出某些相似之点并加以比较的关系。
在类比关系中，事物之间的相似之处得到突出，通过类比可以为我们理解陌生的事物提供一种比较形象的手段。
类比关系在科学研究和知识推理中起着重要作用，它有助于我们从已有的知识和经验中去理解新的问题和现象。
4. 相互作用关系相互作用关系是指事物之间相互影响和相互作用的关系。
在相互作用关系中，事物之间的相互作用可以是直接的或间接的，它反映了事物之间的相互依存和相互影响。
相互作用关系在自然界和社会生活中普遍存在，它是事物之间发展和变化的重要动力。
5. 时空关系时空关系是指事物在时间和空间上的相互关系。
具有相关关系的两个变量的关系式
具有相关关系的两个变量的关系式具有相关关系的两个变量的关系式【引言】在数学和统计学中，很多研究都关注于两个变量之间的相关关系。
相关关系是指两个或多个变量之间的相互依赖程度。
了解变量之间的关系可以帮助我们理解事物的本质和变化规律，从而做出更准确的预测和决策。
本文将探讨具有相关关系的两个变量之间的关系式，旨在帮助读者了解相关性的概念以及如何建立和解读关系式。
【正文】一、相关关系的概念和度量相关关系是指两个变量之间的相互依赖程度。
在统计学中，常用的相关性度量方式包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等。
其中，皮尔逊相关系数是最常见且广泛应用的一种度量方法。
皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）是用于衡量两个连续变量之间线性关系的强度和方向的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，值越接近1或-1表示两个变量之间关系越强，值越接近0表示两个变量之间关系越弱。
当系数为正值时，表示两个变量之间正向线性关系；而当系数为负值时，表示两个变量之间负向线性关系。
二、建立具有相关关系的两个变量之间的关系式在研究中，我们可以通过实际观察或实验来获得变量之间的数据，并通过统计分析确定它们之间的关系。
下面以简单线性回归作为例子来介绍如何建立具有相关关系的两个变量之间的关系式。
简单线性回归是一种用于描述一个因变量和一个自变量之间关系的统计模型。
它的关系式可以表示为y = a + bx，其中y表示因变量，x 表示自变量，a和b分别表示截距和斜率。
通过最小二乘法可以估计出关系式中的参数。
具体建立关系式的步骤如下：1. 提出研究问题：确定自变量和因变量的关系，并给出观察或实验数据。
2. 绘制散点图：将观察或实验得到的数据绘制成散点图，以观察变量之间的整体趋势。
3. 计算相关系数：使用合适的方法计算出两个变量之间的相关系数，判断它们是否具有相关关系以及相关性强度。
4. 拟合线性回归模型：通过最小二乘法拟合出最符合数据的线性回归模型。
中级统计师辅导：相关关系的概念与种类
1.相关关系的概念 在现实世界中，任何事物或现象都不是孤⽴存在的，⽽是相互联系、相互制约、相互依存的。
当某些现象发⽣变化时，另⼀现象也会随之发⽣变化。
如商品价格的变化会刺激或抑制商品销售量的变化；劳动⼒素质的⾼低会影响企业的效益；直接材料、直接⼈⼯的价格变化会对产品销售成本有直接的影响；居民收⼊的⾼低会影响对该企业产品的需求量等等。
研究这些现象之间的依存关系，找出它们之间的变化规律，是对经搜集、整理过的统计数据进⾏数据分析，为客观、科学地统计提供依据。
现象间的依存关系⼤致可以分成两种类型：⼀类是函数关系，另⼀类是相关关系。
（1）函数关系。
函数是指现象之间有⼀种严格的确定性的依存关系。
表现为某⼀现象发⽣变化另⼀现象也随之发⽣变化，⽽且有确定的值与之相对应。
例如，银⾏的1年期存款利率为年息1.98％，存⼊的本⾦⽤x表⽰，到期本息⽤y表⽰，则y=x+1.98%x（不考虑利息税）；再如，某种股票的成交额Y与该股票的成交量X、成交价格P之间的关系可以⽤Y=PX来表⽰，这都是函数关系。
（2）相关关系。
相关关系是指客观现象之间确实存在的，但数量上不是严格对应的依存关系。
在这种关系中，对于某⼀现象的每⼀数值，可以有另⼀现象的若⼲数值与之相对应。
例如成本的⾼低与利润的多少有密切关系，但某⼀确定的成本与相对应的利润的数量关系却是不确定的。
这是因为影响利润的因素除了成本外，还有价格、供求平衡、消费嗜好等因素以及其他偶然因素的影响；再如，⽣育率与⼈均GDP的关系也属于典型的相关关系：⼈均GDP⾼的国家，⽣育率往往较低，但⼆者没有惟⼀确定的关系，这是因为除了经济因素外，⽣育⽔平还受教育⽔平、城市化⽔平以及不易测量的民族风俗、宗教和其他随机因素的共同影响。
具有相关关系的某些现象可表现为因果关系，即某⼀或若⼲现象的变化是引起另⼀现象变化的原因，它是可以控制、给定的值，将其称为⾃变量；另⼀个现象的变化是⾃变量变化的结果，它是不确定的值，将其称为因变量。
表示两个变量之间的直线相关关系
表示两个变量之间的直线相关关系
1、两个变量间的相关关系称为单相关。
单相关和复相关是指两个变量之间的相关关系。
如产品产量与单位产品成本之间的关系、原材料消耗量与生产费用总额之间的关系等。
2、变量之间的相关关系是一种非确定性的关系，如果所有样本的数据点都分布在一条直线附近，那么它们之间就是一种线性相关关系，否则不是线性相关关系。
3、如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线相关关系。
4、相关关系是客观现象存在的一种非确定的相互依存关系，即自变量的每一个取值，因变量由于受随机因素影响，与其所对应的数值是非确定性的。
相关分析中的自变量和因变量没有严格的区别，可以互换。
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2
104214
将以上数据代入公式11.1中，得：
r
8 4544 .6 36.4 880 8 207.54 (36.4)2 8 104214 (880)2
0.97
结果表明，企业的产量与生产费用之间存在高度的 正相关关系。
课堂练习
1、某企业生产的某种产品的产量与单位成本资料 如下表 月份
2 2
按相关系数计算公式：
r
n x ( x )
2 2
n y ( y )
2
2
8 3150 40 634 8 50282 634
8 212 40 0.94
2、已知 n 6,
2
x 21, y 426, x 79, y 30268, xy 1481
r
r
案例8.13 根据表8-4的资料，计算企业产量与生产 费用间的相关系数。
解： 我们将相关数据计算在如下表格中（表8-5）：
表8-5 企业生产费用与产量相关系数计算表
由表8-5可知，
x 36.4, y 880, n 8, x 207.54, xy 4544.6, y
0
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2
2
关于
r 值的说明：
(1) r 值在-1和1之间，即 r 1 。r 越大，表明 变量间相关关系越强。 r 1 ,说明两变量完全线 性相关，即函数关系。如果 r 0 ，说明两变量 间完全没有线性关系。
图8-12和图8-13表明x和y之间 呈直线的趋势，称变量 x , y 线性相关
图8-14
图8-15
图8-16
图8-14和图8-15 则表明x和y之间 呈曲线相关的趋 势。
如果x和y之间具有完 全相关的关系即函数 关系，那么图中的各 相关点均在一条直线 或曲线上(见图8-16)。
两个变量之间的线性相关关系，可通过计算相关 系数来判断其相关关系的密切程度。相关系数计 算公式为
1
2 3
产量X(千台)
3
4 5
单位成本y(元)
82
81 80
4
5
4
5
82
78
6
7 8
6
7 6
77
76 78
计算相关系数
解： 由已知条件可计算出：
x
n 8, x 40, y 634,
2 2
212, y 50282, xy 3150
n xy x y
2
试计算相关系效 解：
r
n x ( x )
2
n xy x y
2 2
n y ( y )
2
6 1481 21 426
6 79 212 6 30268 4262 0.909
3、判断相关关系的方法有哪些?
答：判断相关关系的方法有： (1)根据对客观现象的定性分析来进行判断； (2)利用相关表进行判断； (3)利用相关图进行判断。 4、两变量不相关时r值为___________；完全相 1或－1 ， 关时,r值为__________ 0 r 1 。 不完全相关时r值为____________
图8-10企业产量与生产费用散点图
所有散点大 体上散布在 一条直线的 周围，反映 了产量与生 产费用之间 呈直线型相 关关系
如果有大量的观测值，图中就会有更多的点，根据 这些点的分布情况，可大致判断变量之间的相关关 系。例如下面几个相关图：
图8-11
图8-12
图8-13
图8-11相关点在 任何一个方向上 都没有关联的趋 势，因此x和y之 间无相关关系
工人的熟练程度
劳动生产率
施肥量
亩产量
相关关系
相关关系是客观存在的非确定性的数量对应关系。 但其平均数在大量观察下趋向于一个确定的值。
对变量间的相关关系进行分析，称为相关分析。进 行相关分析时需要利用相关表，相关图和相关系数。
对两个变量作相关分析时，首先必须取得一系列 的成对资料，配对的观测值中每一变量都有它们 各自的基本计量单位。我们把具有相关关系的原 始数据平行排列起来的表称为相关表(如表8-4)。
表8-4 某企业产量与生产费用的关系
企业编号 1 2）
生产费用 （万元 ）
1.2
52
2.0
86
3.1
80
3.8
5.0
6.1
7.2
8.0
110 115 132 135 160
随着产量的增加，生产费用也在增加
我们将每一对值作为一个点,在直角坐标系中画出来， 称为散点(或相关点),就形成了相关图，也叫散点图， 横轴代表自变量，纵轴代表因变量。这样根据表810得到如下散点图：
(2)当 r 0 ，表明变量间正相关；r 变量间负相关。
0
表明
(3)密切程度的判断。相关系数一般的判断标准是： r 0.3 称为微弱相关， 0.3 r 0.5 称为低度相关， 0.8 r 1 称为高度相关. 0.5 r 0.8 称为显著相关，
(4)由于抽样误差及随机因素影响， 值有时会 偏离实际的变量间的相关程度。关于 值是否 判定准确，可参看有关书籍，本书不予介绍。
§8.3 回归分析
§8.3.1 函数关系与相关关系
经济变量之间的关系，大体上可分为函数 关系和相关关系两类。 函数关系是严格确定的数量依存关系， 即当一个变量取某个数值时．另一变量 有—个确定的值对应。函数关系一般可 用方程 y f ( x ) 来表示。 另一类关系是不确定的数量依存关系，当某 个变量取某个数值时，另一量并不表现为一 个确定的值。