因式分解详解

初中阶段因式分解的常用方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式),(c b a m cm bm am ++=++

其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

)

)((,)(2),

)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-

写出结果．

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-22

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-

=)())((y x a y x y x ++-+

=))((a y x y x +-+

例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132+-x x

分析： 1 -2 3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：101132+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x

（3）317102+-x x （4）101162++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：221288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++

=)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x

1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a

（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m

（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222

五、主元法.