不等式中的恒成立与基本不等式求最值问题(学案)
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不等式中的恒成立与基本不等式求最值问题（学案）
1 ＋5 1．函数 y＝log2x＋ ) A．－3 B．3 C．4 D．－4 (x>1)的最小值为( x－1 x y 2．已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2 ＋4 的最小值为( ) A．2 2 B．4 2 C．16 D．不存在 3．已知 x>1，y>1 且 lg x＋lg y＝4，则 lg xlg y 的最大值是( 1 ) A．4 B．2 C．1 D. 4 9 示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利 用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小？
a>0 即 2 ， 4a －4a2a＋3<0 解得 a>0. 当 a＝0 时，恒有 3>0，不等式也成立． 故 a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案 [0，＋∞) 2 3．已知不等式 x ＋px＋1>2x＋p. (1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立，求 x 的取值范围； (2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立，求 p 的取值范围． 2 解 (1)不等式化为：(x－1)p＋x －2x＋1>0， 2 令 f(p)＝(x－1)p＋x －2x＋1， 则 f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2， f－2>0， 所以－2≤p≤2，于是得： f2>0. x－1·－2＋x －2x＋1>0， 即 2 x－1·2＋x －2x＋1>0. x －4x＋3>0， 即 2 ∴x>3 或 x<－1. x －1>0. 故 x 的取值范围是 x>3 或 x<－1. 2 (2)不等式可化为(x－1)p>－x ＋2x－1， ∵2≤x≤4，∴x－1>0. 2 －x ＋2x－1 ∴p> ＝1－x. x－1 由于不等式当 2≤x≤4 时恒成立， 所以 p>(1－x)max. 而 2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1， 于是 p>－1.故 p 的取值范围是 p>－1.
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恒成立问题
1．若集合 A＝{x|ax －ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的值的集合是( )． A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 2 解析 若 a ＝ 0 时符合题意， a>0 时，相应二次方程中的 Δ ＝ a －4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得 {a|0≤a≤4}，故选 D. 答案 D 2 2．关于 x 的不等式 ax －2ax＋2a＋3>0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围为________． a>0 解析 当 a≠0 时，由题意得 ， Δ <0
2 2 2
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1 4 7 4．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝ ＋ 的最小值是( ) A. a b 2 5．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么( ) 2 A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1) C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) 1 2 1 2 7 9 6．若 xy 是正数，则x＋ ＋y＋ 的最小值是( ) A．3 B. C．4 D. 2y 2x 2 2 (x＋5)(x＋2) 7．设 x>－1，则函数 y＝ 的最小值是________． x＋1 x y 8．已知 x，y∈R＋，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的最大值为________． 3 4 9．若 logmn＝－1，则 3n＋m 的最小值是________． x 10．若对任意 x>0， 2 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围为________。 x ＋3x＋1
11．设 0<x<2，求函数 y＝ 3x(8－3x)的最大值． 1 2 12．设 x，y 都是正数，且 ＋ ＝3，求 2x＋y 的最小值． x y 1 4 13．已知两个正实数 x、y 满足 x+y=4,则使不等式 + ≥m 恒成立的实数 m 的取值范围是__________. x y 14．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为： 第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产 设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
8 1 10. ，＋∞11.4 12. 3 5 15．(1)每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大 (2)每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 1．B2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.9 8.3 9.2 3
13.(－∞,
9 ］14.10 年 4
1 ＋5 1．函数 y＝log2x＋ ) A．－3 B．3 C．4 D．－4 (x>1)的最小值为( x－1 x y 2．已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2 ＋4 的最小值为( ) A．2 2 B．4 2 C．16 D．不存在 3．已知 x>1，y>1 且 lg x＋lg y＝4，则 lg xlg y 的最大值是( 1 ) A．4 B．2 C．1 D. 4 9 示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利 用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小？
a>0 即 2 ， 4a －4a2a＋3<0 解得 a>0. 当 a＝0 时，恒有 3>0，不等式也成立． 故 a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案 [0，＋∞) 2 3．已知不等式 x ＋px＋1>2x＋p. (1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立，求 x 的取值范围； (2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立，求 p 的取值范围． 2 解 (1)不等式化为：(x－1)p＋x －2x＋1>0， 2 令 f(p)＝(x－1)p＋x －2x＋1， 则 f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2， f－2>0， 所以－2≤p≤2，于是得： f2>0. x－1·－2＋x －2x＋1>0， 即 2 x－1·2＋x －2x＋1>0. x －4x＋3>0， 即 2 ∴x>3 或 x<－1. x －1>0. 故 x 的取值范围是 x>3 或 x<－1. 2 (2)不等式可化为(x－1)p>－x ＋2x－1， ∵2≤x≤4，∴x－1>0. 2 －x ＋2x－1 ∴p> ＝1－x. x－1 由于不等式当 2≤x≤4 时恒成立， 所以 p>(1－x)max. 而 2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1， 于是 p>－1.故 p 的取值范围是 p>－1.
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恒成立问题
1．若集合 A＝{x|ax －ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的值的集合是( )． A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 2 解析 若 a ＝ 0 时符合题意， a>0 时，相应二次方程中的 Δ ＝ a －4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得 {a|0≤a≤4}，故选 D. 答案 D 2 2．关于 x 的不等式 ax －2ax＋2a＋3>0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围为________． a>0 解析 当 a≠0 时，由题意得 ， Δ <0
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1 4 7 4．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝ ＋ 的最小值是( ) A. a b 2 5．设 a>1，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么( ) 2 A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1) C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) 1 2 1 2 7 9 6．若 xy 是正数，则x＋ ＋y＋ 的最小值是( ) A．3 B. C．4 D. 2y 2x 2 2 (x＋5)(x＋2) 7．设 x>－1，则函数 y＝ 的最小值是________． x＋1 x y 8．已知 x，y∈R＋，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的最大值为________． 3 4 9．若 logmn＝－1，则 3n＋m 的最小值是________． x 10．若对任意 x>0， 2 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围为________。 x ＋3x＋1
11．设 0<x<2，求函数 y＝ 3x(8－3x)的最大值． 1 2 12．设 x，y 都是正数，且 ＋ ＝3，求 2x＋y 的最小值． x y 1 4 13．已知两个正实数 x、y 满足 x+y=4,则使不等式 + ≥m 恒成立的实数 m 的取值范围是__________. x y 14．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为： 第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，问这种生产 设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
8 1 10. ，＋∞11.4 12. 3 5 15．(1)每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大 (2)每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 1．B2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.9 8.3 9.2 3
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9 ］14.10 年 4