绝对值不等式的恒成立问题

绝对值不等式的恒成立问题

【例4】(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．

【解】(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|

＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞).

(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.

(1)求不等式f (x )≤6的解集．

(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．

解：(1)原不等式等价于

⎩⎨⎧ x >32

，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，

或 ⎩⎨⎧ －12

≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，

或 ⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.

解之得32

－1≤x ≤2}．

(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.

1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时

右边等号成立．

2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.