两直线的位置关系

答案：B
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2．直线 y＝2 与直线 x＋y－2＝0 的夹角是( π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4
)
解析：本题考查特殊情况(即一直线斜率为 0)下两直线的夹角 π 问题．如图所示，可知，两直线夹角为 . 4
答案：A
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3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
(2)l1 与 l2 的夹角： ①定义： l 1 到 l 2 的角与 l 2 到 l1 的角中不超过 90° 将 的角， 叫做 l1 与 l 2 的夹角，记为 θ2. k2－k 1 ②计算公式：tanθ2＝| |(1＋k 1k2≠0)． 1＋k 1k2
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(3)“l1到l2的角”与“l1与l2的夹角”的区别与联系： 概念区别与联 系
若 k2≠0，即 k1、k2 都存在， a ∵k1＝ ，k2＝1－a，l1⊥l2，∴k1·2＝－1. k b a 即 (1－a)＝－1.① b 又∵l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.② 由①、②联立，解得 a＝2，b＝2.
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(2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，∴直线 l1 的斜率存在， a ∴k1＝k2.即 ＝1－a.③ b 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2， 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数．即 ＝b.④ b
|3a－4× 0＋6| 解析：设 P(a,0)，则有 2 2 ＝6，解得 a＝－12，或 a 3 ＋－ 4 ＝8. ∴P 点坐标为(－12,0)或(8,0)．
答案：(－12,0)或(8,0)
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对应学生书P95 易错点一 记错公式导致解题失误 【自我诊断①】 已知两直线l1：ax－6y＋12＝0和l2：x－2y＋b＝0 相交于点P(1，m)，并且l1 到l2 的角为135°，则a＝__________，b＝
l1到l2的角
l1与l2的夹角
定义不同
“l1到l2的角”是把l1绕 “l1与l2的夹角”是指l1 着与l2的交点逆时针方 与l2所成的角中的锐角 向旋转到与l2重合时的 或直角，它不具有方向 角，它具有方向性 性 (0，π )
π (0， ] 2
范围不同 联系
当l1到l2的角为锐角或直角时，它们相等
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解析：(1)由已知可得l2的斜率必存在，∴k2＝1－a. 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0. 即4＝3a(与a＝1矛盾)． ∴此种情况不存在，即k2≠0.
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重合
k1＝k 2，且 b1 ＝b2
A1B2－A2B 1＝B 2C1 －B1C2＝A1C2－
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两条直线的夹角 (1)l1 到 l2 的角： ①定义：直线 l 1 与 l 2 相交，l 1 依逆时针方向旋转到与 l 2 重合 时所转的角，叫做 l 1 到 l2 的角，记为 θ1. k2－k 1 ②计算公式：tanθ1＝ (1＋k 1k 2≠0)． 1＋k 1k2
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对称问题
(1)点关于点的对称： 点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点P′的坐标为(2a－x0,2b－y0)，特 别地，点P(x0，y0)关于原点O(0,0)的对称点的坐标为P′(－x0，－y0)． (2)点关于直线的对称： 求点P(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)时，关 键是抓住两点：一是PQ⊥l；二是P、Q的中点在l上，即
2 答案：－ 3
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对应学生书P96 题型一 两条直线平行与垂直关系的应用
【例1】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，
求满足下列条件的a、b的值． (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
(2)与Ax＋By＋C＝0(A2 ＋B2≠0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝ 0. (3)过两直线A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)与A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋ B22≠0)的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但不
包含直线A2x＋B2y＋C2＝0.
且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
3x＋2y－1＝0， 解析：方法一：先解方程组 5x＋2y＋1＝0，
得 l1、l2 的交点(－1,2)， 3 5 再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率为－ ， 5 3 5 于是由直线的点斜式方程求出 l：y－2＝－ (x＋1)， 3 即 5x＋3y－1＝0.
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(2)∵A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件， ∴2sinθ＋sinθ＝0.
即sinθ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)．
∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.
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题型二
直线系方程的应用
【例2】 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，
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【预测1】 已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0和l2：2xsinθ＋y＋1＝0， 试求θ的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
解析：(1)方法一：当 sinθ＝0 时，l1 的斜率不存在，l2 的斜率 为零，l1 显然不平行于 l2. 1 当 sinθ≠0 时，k1＝－ ，k2＝－2sinθ， sinθ 1 2 欲使 l1∥l2，只要－ ＝－2sinθ，sinθ＝± . 2 sinθ π ∴θ＝kπ± (k∈Z)，此时两直线截距不相等． 4 π ∴当 θ＝kπ± (k∈Z)时，l1∥l2. 4
答案：18
9
5
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易错点二 考虑问题不全面导致产生误解 【自我诊断②】 若直线l1 ：2x＋my＋1＝0与直线l2 ：y＝3x－1平
行，则m＝__________.
2 －m＝3， 解析：l 1∥l2，则须满足 1 － ≠－1， m
2 的值是－ . 3
m＝－2， 3 得 所以 m m≠1.
高考一轮总Βιβλιοθήκη Baidu习
方程形式 条件 位置关系
斜截式 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
一般式 A1x＋B 1y＋C1＝0， A2x＋B 2y＋C2＝0
A1B2－A2B 1＝0， B2C1－B 1C2≠0，
平行
k1＝k 2，且 b1≠b2
或
A1B2－A2B 1＝0， A1C2－A 2C1≠0
)
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
解析：与直线x－2y＋3＝0垂直的直线斜率为－2，又直线过点(－ 1,3)，由点斜式可知所求直线方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0. 答案：A
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5．点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点 坐标为__________．
)
C．2x＋y－3＝0
x－2y＋1＝0， 解析：由 x＝1，
D．x＋2y－3＝0
得交点 A(1,1)，且可知所求直线斜
1 率为－ ，排除 B、C.又所求直线过点 A(1,1)，排除 A. 2
答案：D
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4．经过点(－1,3)且与直线x－2y＋3＝0垂直的直线方程为( A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
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对应学生书 P95 1 1．“m＝ ”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0 与直线(m－2)x＋(m 2 ＋2)y－3＝0 互相垂直”的( A．充要条件 C．必要不充分条件 ) B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝ 1 0，解得 m＝－2，或 m＝ . 2 1 所以 m＝ 是两直线垂直的充分不必要条件． 2
y＝kx－3， 得 2x－y－2＝0 y＝kx－3， 和 x＋y＋3＝0.
3k－2 3k－3 解得 xA＝ 和 xB ＝ . k－2 k＋1 P(3,0)是线段 AB 的中点， 3k－2 3k－3 由 xA＋xB＝6，得 ＋ ＝6，解得 k＝8. k－2 k＋1 故所求的直线 l 的方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
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【预测2】 过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和
l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．
解析：方法一：设直线 l 的方程为 y＝k(x－3)， 将此方程分别与 l1、l2 的方程联立，
第二节
两条直线的位置关系
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对应学生书P95
两条直线的位置关系 方程形式 条件 位置关系 斜截式 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 一般式 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
相交
垂直
k1≠k2 k1k2＝－1
A1B2－A2B1≠0 A1A2＋B1B2＝0
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点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式 (1)已知点 P0(x 0， 0)， y 那么点 P0 到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 |Ax0＋By0＋C| 为 d＝ . A2＋B 2 (2)两平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 的距离 |C1－C2| 为 d＝ 2 2. A ＋B
__________，m＝__________.
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a 1 解析：l 1，l2 的斜率分别为 ， . 6 2 1 a － 2 6 根据题意，得 ＝tan135° ，解得 a＝18. 1 a 1＋ × 2 6 又∵点 P(1，m)在 l1 上，∴18－6m＋12＝0，解得 m＝5. ∵点 P(1，m)在 l2 上，∴1－2× 5＋b＝0，解得 b＝9. ∴a＝18，b＝9，m＝5.
3＋5λ 5 1 其斜率－ ＝－ ，解得 λ＝ . 3 5 2＋2λ 代入直线系方程，即得 l 的方程为 5x＋3y－1＝0.
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规律方法：运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直 线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R
且m≠C)； (2) 与 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 垂 直 的 直 线 系 方 程 是 Bx － Ay ＋ m ＝ 0(m∈R)； (3)过直线l1 ：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2 ：A2x＋B2y＋C2 ＝0的交点的直
a＝2， 由③、④联立，解得 b＝－2，
a＝2， 或 3 b＝2.
2 ∴a、b 的值为 2、－2 或 、2. 3
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规律方法：当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到 斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于(1)若用
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可不用分类讨论．
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方法二：由 A1B2－A2B1＝0， 1 2 即 2sin θ－1＝0，得 sin θ＝ ，∴sinθ＝± . 2 2
2 2
由 B1C2－B2C1≠0， π 即 1＋sinθ≠0，即 sinθ≠－1，得 θ＝kπ± (k∈Z)． 4 π ∴当 θ＝kπ± (k∈Z)时，l1∥l2. 4
y′－y0 A x′－x0 ·－B＝－1， 解方程组 Ax0＋x′＋By0＋y′ ＋C＝0 2 2
x′，y′.
第7页
(其中 B≠0， 0)， x′≠x 求得
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有关直线系问题 (1)与Ax＋By＋C＝0(A2 ＋B2≠0)平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝
0(A2＋B2≠0且C1≠C)．
第26页
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方法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2 的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0. 方法三：∵l过l1、l2的交点， ∴l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得 (3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.