材料力学第04章杆件变形分析

实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一定 范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比， 与杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量，则可以 得到杆件变形的计算公式为
? l ? FNl EA
上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡 克定律（Hooke 's law ），适用于等截面常轴力拉压杆。在 比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的横 截面面积成反比，乘积EA称为拉压杆的抗拉压刚度 （tensile or compression rigidity ）。显然，对于给定 长度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚 度EA越大，杆的轴向变形就越小。
? l ? l1 ? l
Δl是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示整
个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的变
形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有尺
寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，即
轴向线应变（axial strain）为
? ? ?l
l
其中ε为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压 缩时为负。
（2）直径设计。
按照设计要求，总伸长Δl不得超过许用变形[Δl]，即要求
由此得
12Fl1 E?d 2
?
[? l]
d?
12 Fl1
E?[? l]
?
12 ? (4 ? 103 ) ? (100? 10?3 ) ? ? (200 ? 109 ) ? (0.10 ? 10?3 )
?
8.7 ? 10?3 m
?
第一节 杆件轴向拉压变形
当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变 化，杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形（axial deformation）；垂直于轴线方向的变形，称为横向变形 （lateral deformation）。
1．拉压杆的轴向变形与胡克定律
实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小， 杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横 截面的面积为A，原长为l，在轴向拉力F 作用下产生变形， 如图4-1所示， 变形后杆长为l1， 则杆在轴线方向的 伸长量为
Байду номын сангаас
FN1=2F
F N2=F
? ? l ? 2 FNili ? 8Fl1 ? 4Fl1 ? 12Fl1 i?1 Ei Ai E?d 2 E?d 2 E?d 2
例4-1 圆截面杆如图4-3所示，已知F =4kN， l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工 作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形 [Δl]=0.10mm。试确定杆的直径d。
8.7mm
可以取直径为 d ? 9mm
3．桁架的节点位移
桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现 以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。
例4-2 桁架是由1、2杆组成， 通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F =40kN作用。已 知杆1为钢杆，横截面面积 A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆， 横截面面积 A2=2.5 ×104mm 2，弹性模 量E2=10GPa，杆2的杆长为 1m。求节点A的位移。
对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉 压杆，如下图所示，其轴向变形为
? ? l ? n FN i li
i ? 1 E i Ai
对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向 变形量为
? ? l ? FN (x)dx
l EA(x)
将式
? l ?等F号Nl两边同除以杆长，即 EA
? l ? FN l EA
0 ? ? ? 0.5
例4-1 圆截面杆如图4-3所示，已知F =4kN， l1=l2=100mm ，弹性模量E=200GPa 。为保证杆件正常工 作，要求其总伸长不超过0.10mm ，即许用轴向变形 [Δ l]=0.10mm 。试确定杆的直径d。
【解】（1）变形分析。 AB段和BC段的轴力分别为 杆AC的总伸长为
得到
? ? ? 或 ? ? E?
E
上式为胡克定律的另一种表达式。
2．拉压杆的横向变形与泊松比
如图所示，设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用下，宽 度变为b1，横向变形量为Δb=b1-b，则横向应变为
??? ? b
b
显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则ε′ 为负值，即轴
向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时， 杆沿轴向缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与 横向的正应变的符号是相反的。
【解】（1）利用截面法，可以求得1、2两杆的轴力分别为
FN1 ? 80kN
（拉力）
FN2 ? 40 3kN （压力）
由胡克定律可以求得两杆的变形分别为
? l1
?
FN1l1 E1 A1
?
80 ? 103 ? (1/ cos30 o) 200 ? 109 ? 960 ? 10?6
第四章 杆件变形分析
中北大学理学院力学系
第一节 杆件轴向拉压变形 第二节 圆轴扭转变形 第三节 积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形 第四节 提高梁弯曲刚度的措施 总结与讨论
杆件在载荷作用下都将发生变形（deformation）。在 有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或 结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使 用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作； 而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠 板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结 构的设计中，无论是限制杆件的变形，还是利用杆件的变形， 都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向 拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。 研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题， 另一方面则是为了求解超静定问题。
通过实验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的轴向正应
变ε与横向正应变ε′成正比。用μ来表示横向正应变ε′与轴向
正应变ε之比的绝对值，有
? ? ?? 或 ??? ? ?? ?
式中，比例常数μ称为泊松比（Poisson radio ）。在比例极
限内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的 泊松比，大多数各向同性材料的泊松比