软件技术基础：第五章 二叉树和树
《二叉树的概念》课件
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
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代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
计算机二级考点归纳(树与二叉树)
•1、树的基本概念树(tree）是一种简单的非线性结构。
在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点。
每一个结点可以有多个后件，它们称为该结点的子结点。
没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中，一个结点所拥有的后件个数称为该结点的度。
叶子结点的度为 0。
在树中，所有结点中的最大的度称为树的度。
• 2、二叉树及其基本性质（1）二叉树的定义二叉树是一种很有用的非线性结构，具有以下两个特点：①非空二叉树只有一个根结点；②每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树和右子树。
由以上特点可以看出，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树（左子树或右子树）也均为二叉树，而树结构中的每一个结点的度可以是任意的。
另外，二叉树中的每个结点的子树被明显地分为左子树和右子树。
在二叉树中，一个结点可以只有左子树而没有右子树，也可以只有右子树而没有左子树。
当一个结点既没有左子树也没有右子树时，该结点即为叶子结点。
（2）二叉树的基本性质二叉树具有以下几个性质：性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1）个结点；性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。
性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为［log2n］+1，其中［log2n］表示取log2n的整数部分。
在二叉树的遍历中，无论是前序遍历，中序遍历还是后序遍历，二叉树的叶子结点的先后顺序都是不变的。
3、满二叉树与完全二叉树满二叉树是指这样的一种二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。
在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m－1个结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。
对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现：对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p+1。
数据结构树和二叉树知识点总结
数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。
2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。
因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。
5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。
6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。
最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆常用于排序和优先队列。
7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。
Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。
以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
B
C
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F
G
H
I
J
第 5 /209页
第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
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第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
第 24 /209页
第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
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第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
以下是关于二叉树的知识点总结。
1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。
每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。
二叉树可以为空。
2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。
中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。
后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。
3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。
它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。
它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。
4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。
最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。
在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。
二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。
5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。
判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。
5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结二叉树是数据结构中常见且重要的一种形式，它可以用于解决许多实际问题，并在算法和编程中扮演着重要的角色。
本文将对二叉树的基本概念、性质以及常见的应用进行总结。
一、基本概念和性质1. 二叉树的定义：二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
左子节点小于等于父节点，右子节点大于等于父节点。
2. 二叉树的特点：二叉树具有递归性质，即每个子节点都可以视为一棵二叉树。
同时，二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历等。
3. 二叉树的性质：a. 二叉树的第i层至多有2^(i-1)个节点；b. 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点；c. 对于任意一棵二叉树，若其叶节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0 = n2 + 1；d. 具有n个节点的完全二叉树的深度为(log2 n) + 1。
二、二叉树的应用1. 二叉搜索树：二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，它满足左子节点小于父节点，右子节点大于父节点的条件。
BST的特性使得查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，因此在数据库、图形处理等领域经常被使用。
2. 平衡二叉树：由于BST的特性，如果数据插入的顺序不合理，可能导致树的高度过高，使得操作效率降低。
为了解决这个问题，人们提出了平衡二叉树（AVL）的概念。
AVL树通过旋转操作保持树的平衡，使得左右子树的高度差不超过1，从而保证了操作的效率。
3. 红黑树：红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它在AVL树的基础上做了一些调整。
红黑树的特点是节点可以为红色或黑色，并且满足以下规则：根节点为黑色，叶节点为黑色且为空，红色节点的两个子节点都是黑色。
红黑树在C++标准库（STL）中的map和set等容器中得到了广泛应用。
4. 堆：堆是一种完全二叉树，它可以分为大顶堆和小顶堆。
大顶堆中，父节点的值大于或等于两个子节点的值，小顶堆则相反。
堆在排序算法中有广泛应用，如堆排序、优先队列等。
第5章 树和二叉树
B A
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
T1
T2
M
2015年10月20日
T3
树的其它表示方式
A D K L F C G E B H M J I
A
A B E K L F C G
B C D
嵌套集合
E
D H M
F
G
H
I
J
I J
K
L
M
凹入表示
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
广义表
2015年10月20日
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉树的链式存储
PARENT
lchild
data
rchild
DATA
lchild
data
parent rchild
LCHILD
RCHILD
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉链表
A A ^ B D lchild data rchild
B
C
E
G
F
二叉树的五种不同形态
2015年10月20日
练习
具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 5种/2种
2015年10月20日
二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 ④ …… //关于左子树和右子树的说明 //至少有20个 基本操作 P： }ADT BinaryTree
常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树
常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。
在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。
并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。
树的定义有很多种⽅式。
定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。
⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。
从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。
具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。
从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。
这个路径的长是路径上的边数，即k-1。
每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。
⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。
对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。
ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。
因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。
⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。
树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。
但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。
实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。
下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。
二叉树的基本概念
二叉树的基本概念一、引言二叉树是计算机科学中最基础的数据结构之一，它是由节点和边组成的树形结构，其中每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树被广泛应用于搜索、排序、编译器等领域。
本文将详细介绍二叉树的基本概念。
二、定义二叉树是一种特殊的树形结构，其中每个节点最多有两个子节点。
通常将左子节点称为左子树，右子节点称为右子树。
三、基本术语1. 根节点：二叉树的顶层节点称为根节点。
2. 叶子节点：没有任何子节点的节点称为叶子节点。
3. 父节点和子节点：一个父亲可以有多个儿子，但是一个儿子只能有一个父亲。
4. 兄弟：具有相同父亲的两个或多个儿子称为兄弟。
5. 深度：从根到某个节点所经过的边数称为该节点的深度。
6. 高度：从某个节点到其所有后代中深度最大者加一（即包括该结点）称为该结点所在的二叉树的高度。
四、分类1. 满二叉树：一棵深度为k且有2^k-1个节点的二叉树称为满二叉树。
2. 完全二叉树：对于一棵深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时，称之为完全二叉树。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树也称为AVL树，是一种自平衡的排序二叉搜索树。
它具有以下性质：左右子树高度差不超过1，并且左右子树也是平衡二叉树。
五、遍历遍历是指按照某种顺序访问每个节点。
常见的遍历方式有三种：1. 前序遍历（Pre-order）：先访问当前节点，再依次遍历左子树和右子树。
2. 中序遍历（In-order）：先依次遍历左子树，再访问当前节点，最后遍历右子树。
3. 后序遍历（Post-order）：先依次遍历左子树和右子树，最后访问当前节点。
六、应用1. 搜索算法：在搜索算法中，二叉树被广泛应用于二分查找。
2. 排序算法：在排序算法中，二叉树被广泛应用于堆排序和快速排序。
3. 编译器：在编译器中，二叉树被广泛应用于语法分析和代码生成。
七、总结本文介绍了二叉树的基本概念、术语、分类、遍历以及应用。
树、二叉树、满二叉树、完全二叉树概念分清
树、⼆叉树、满⼆叉树、完全⼆叉树概念分清⾃由树⾃由树是⼀个连通的，⽆回路的⽆向图。
令G=(V，E)为⼀个⽆向图。
下⾯的表述是等价的。
1) G是⾃由树。
2) G中任意两个顶点由唯⼀⼀条简单路径得到。
3) G是连通的，但从E中去掉任何边后得到的图都是⾮连通的。
4) G是⽆回路的，且|E|=|V|-1。
5) G是连通的，且|E|=|V|-1。
6) G是⽆回路的，但添加任何边到E中得到的图包含回路。
⼆叉树在计算机科学中，⼆叉树是每个节点最多有两个⼦树的树结构。
通常⼦树被称作“左⼦树”（left subtree）和“右⼦树”（right subtree）。
⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。
⼆叉树的第i层⾄多有2^(i-1)个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2^k-1个结点；（等⽐数列1+2+4+…+2^(k-1) = 2^k-1）。
对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
树和⼆叉树的三个主要差别：1) 树的结点个数⾄少为1，⽽⼆叉树的结点个数可以为0；2) 树中结点的最⼤度数没有限制，⽽⼆叉树结点的最⼤度数为2；3) 树的结点⽆左、右之分，⽽⼆叉树的结点有左、右之分。
满⼆叉树⼀棵深度为k，且有2^k-1个节点的树是满⼆叉树。
另⼀种定义：除了叶结点外每⼀个结点都有左右⼦叶且叶⼦结点都处在最底层的⼆叉树。
这两种定义是等价的。
从树的外形来看，满⼆叉树是严格三⾓形的，⼤家记住下⾯的图，它就是满⼆叉树的标准形态：所有内部节点都有两个⼦节点，最底⼀层是叶⼦节点。
性质：1) 如果⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，且深度与最⼤层数相同，即k=h;2) 它的叶⼦数是： 2^(h-1)3) 第k层的结点数是： 2^(k-1)4) 总结点数是： 2^k-1 (2的k次⽅减⼀)5) 总节点数⼀定是奇数。
6) 树⾼：h=log2(n+1)。
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树和二叉树教案1
教学过程一、导入树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。
在日常生活同学们经常见到树。
树有一个树根。
有许多树枝，在树枝上长有很多树叶。
就象我们今天要讲的树，是一种层次结构。
二、新授(一)树1．树的定义树（tree）是由n (n≥0) 个结点组成的有限集合。
它是树型结构的简称，是一种重要的非线性数据结构，应用广泛。
如：磁盘上的文件目录结构、家族成员关系、单位的组织机构、书的内容组织、算术表达式等。
任何一棵非空树是一个二元组：Tree = （root，F）其中：root被称为根结点，F被称为子树森林2．基本术语森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合有向树：有确定的根，树根和子树根之间为有向关系（自上到下，自左到右）有序树：树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换无序树：树中结点的各子树从左到右是没有次序的子女：结点的子树的根是该结点的孩子双亲：孩子结点的根结点兄弟：具有同一双亲的结点堂兄弟：双亲在同一层的结点祖先：从根到该结点所经历分支上的所有结点子孙：以某结点为根的子树中的任一结点学生活动：请同学门总结树形与线形的异同(二) 二叉树1.二叉树的定义二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
2．二叉树的五种基本形态二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
3．二叉树不是树的特例（1）二叉树与无序树不同二叉树中，每个结点最多只能有两棵子树，并且有左右之分。
二叉树并非是树的特殊情形，它们是两种不同的数据结构。
（2）二叉树与度数为2的有序树不同在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但是若该结点只有一个孩子，就无须区分其左右次序。
而在二叉树中，即使是一个孩子也有左右之分。
4、满二叉树和完全二叉树是二叉树的两种特殊情形。
a、满二叉树一棵深度为k且有2k-1个结点的二又树称为满二叉树。
第五章二叉树-.ppt
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7
图5.9 满二叉树
则称这样的二叉树为完全二叉树，图5.10（b）、 (c）是2棵非完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的 特例。
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(a)完全二叉树
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(b)非完全二叉树
图5.10 完全二叉树
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( c)非完全二叉树
完全二叉树的特点是：
（1)所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。
n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。
设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数 为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以
有：N＝n0＋n1＋n2
(5-1)
再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都
有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，
则有：N＝B＋1。
由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所有有： B＝n1+2*n2 N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 （5－2)
5.1 树的定义和基本术语
定义：树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，T为 空时称为空树，否则它满足如下两个条件：
（1）有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
(2)其余的结点可分为m(m>=0)个互
不相交的子集T1,T2,T3…Tm，其中每 个子集又是一棵树，并称其为子树
(Subtree)。
第五章 二叉树
树型结构是一类重要的非线性结构。树型结 构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构， 它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界 国是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可 用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛 的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序 的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信 息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行 过程。等等。
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A B CX E FGH I J
A BD CE F
A DB F CE
树的存储结构
一. 多重链表结构
1. 定长结点的多重链表结构
链结点的构造 data child1 child2
……
T
A
A B CX E FGH I J
childn
B
C ^^
X^
E^^^ F^^^ G^^^ H^^^ I ^^^ J ^^^
5.1 树的基本概念
例1
校长
一二三 系系系
…
机 械
…
教 务
科 研
总 务
工
…
处处处厂
学
院
院. . …
教. . 务. . 处系系
例2:文件系统
(根目录) \
f1 f2 f3 … fn d1 d2 … dm …
f11 f12 … f1k d11 d12 …
……
例3
cn
…
edu
则
n0=n2+1
证明:
设该二叉树有n1个度为1的结点,结点总数为n,有
n=n0+n1+n2
--------(1)
设二叉树的分支数目为B,有
B=n-1
--------(2)
这些分支来自度于为1的结点与度度为2结点,即
B=n1+2n2
--------(3)
联列关系(1),(2)与(3),可得到
证毕.
n0=n2+1
则其孩子结点(若存在)为第i+1层.
A
第1 层
B
CX
第2 层
E F G H I J 第3 层
6. 树的深度: 树中结点所处的最大层次数. 7. 树林(森林): m0 棵不相交的树组成的树的集合. 8. 树的有序性: 若树中结点的子树的相对位置不能
随意改变, 则称该树为有序树，否 则称该树为无序树。
2. 不定长结点的多重链表结构
A
链结点的构造 data d
child1
……
B CX
E FGH I J
childd
T A3
B3
C1
X2
E0 F0 G0 H0 I 0
J0
A
1 不定长的结点存贮法不便于操作。
2 定长结点存贮法浪费空间。
假设树有n个结点，树的度为k，那 么，共有nk个链域，使用了 n-1个 链域，浪费的链域数为 nk – n +1,
B CX E FGH I J
浪费的比例= (nk – n +1 ) / nk 1，
当k时
结论：度为2的树最节省存贮空间。
5.2 二叉树
一. 二叉树的定义
二叉树是n0个结点的有限集合。 它或者是空集（n=0），称该二叉树为空 或者由一个根结点以及两棵不相交的、 称为 这个根的左子树与右子树的二叉树。
若一棵二叉树中只有最下 面两层的结点的度可以小于2, 并且最下面一层的结点(叶结 点)都依次排列在该层从左至 右的位置上。这样的二叉树为 完全二叉树.
二叉树的操作
InitBiTree(T):构造一 棵空的二叉树
DestroyBiTree(T)： 删除一棵二叉树
CreateBiTree(T):生 成一棵二叉树
… tsinghua
buaa
…
pku
… au me
ee
一. 树的定义
树是由n(n>=0) 个结点组成的有限集 合,它满足以下两个条件:
1、有且只有一个特定的称为根的结点； 2、其余结点可分成m>0个不相交的子 集T1, T2, … ,Tm,其中每一个子集Ti又为一 棵树，分别称之为根的子树。
3 n=0，称之为空树。
1.一棵非空二叉树的第i 层最多有2i–1个结点(i1)。
证明(采用归纳法) (1).当i=1时,结论显然正确.非空二叉树的第1层最多 只能有一个结点,即树的根结点.
Байду номын сангаас
(2).假设对于第j层(1ji–1)结论也正确,即第j层最 多有2j-1个结点.
(3).有定义可知, 二叉树中每个结点最多只能有两个 孩子结点。若第i–1层的每个结点都有两棵非空子 树,则第i层的结点数目达到最大. 而第i–1层最多 有2i–2个结点已由假设证明,于是,应有
A( B( E, F, G ), C( H ), X( I, J ) )
4. 树形表示法
A
B
CX
E FGH I J
三. 树的基本术语
1. 结点的度：该结点拥有的子树的数目。
2. 树的度： 树中结点度的最大值。
3. 叶结点：度为0 的结点. 4. 分支结点: 度非0 的结点. 5. 层次的定根义结: 点为第一层,若某结点在第i 层,
A
A
B CX E FGH I J
B EG
X IJ
二叉树的基本形态：
(空) 根
根根
根
左 子 树
右 子 树
左 子 树
右 子 树
二. 两种特殊形态的二叉树
1. 满二叉树
若一棵二叉树中的结点, 或者为叶结点， 或者具有两 棵非空子树,并且叶结点都集 中在二叉树的最下面一层.这 样的二叉树为满二叉树.
2.完全二叉树
算法与数据结构
第一章 绪 论 第二章 线 性 表 第三章 栈和队列 第四章 串和数组 第五章 二叉树和树 第六章 图和广义表 第七章 排 序 第八章 查 找 第九章 文 件
第五章 树与二叉树
5.1 树和森林的基本概念 5.2 二叉树 5.3 二叉树与树、森林之间的转换 5.4 二叉树的遍历 5.5 二叉线索树 5.6 树的应用
证毕.
22i–2 = 2i–1
2. 深度为h 的非空二叉树最多有2h -1个结点.
证明: 由性质1可知,若深度为h的二叉树的每一层的结点数
目都达到各自所在层的最大值,则二叉树的结点总数一定 达到最大。即有
20+21+22+…+2i-1+ …+2h-1 = 2h-1
证毕.
3. 若非空二叉树有n0个叶结点,有n2个度为2的结点,
EmptyBiTree(T): 判 断二叉树T是否空
BiTreeDepth(T):求二 叉树的深度
Parent(T, E):在树T 中求E的双亲
LeftChild(T,E):在树T 中求E的左孩子
RightChild(T,E):在树 T中求E的右孩子
Traverse(T):遍历树T
三. 二叉树的性质
A
B
C
X
E F GH I
J
A的第1棵子树
A的第3棵子树
A的第2棵子树
树(逻辑上)的特点
1. 有且仅有一个结点没有前驱结点,该结点为树的根结点。
2. 除了根结点外,每个结点有且仅有一个直接前驱结点。 3. 包括根结点在内，每个结点可以有多个后继结点。
二. 树的逻辑表示方法
1. 文氏图表示法 2. 凹入表示法 3. 嵌套括号表示法(广义表表示法)
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度h=log2n+1.
证明: (略)
5. 若对具有n个结点的完全二叉树按照层次从上到下,每层从 左到右的顺序进行编号, 则编号为i 的结点具有以下性质: