高中数学学业水平考试模拟试题一

高中数学学业水平考试模拟试题一1.直线210x y -+=在y 轴上的截距为（ ） A.12B.1-C.2D.1 2.设集合2{|4},{1,2,3}A x x B =<=，则A B ⋂=（ ）A.{1,2,3}B.{1,2}C.{1}D.{2}3.函数()f x = ） A. (,2)(2,)-∞⋃+∞ B. (2,)+∞ C. [2,)+∞ D.(,2)-∞4.等差数列{}n a 中，若536,2a a ==，则公差为（ ）A. 2B. 1C. -2D. -15.以(2，0)为圆心，经过原点的圆方程为（ ）A.(x+2)2+y 2=4B. (x －2)2+y 2=4C. (x+2)2+y 2=2D. (x －2)2+y 2=26. 已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z ＝4x ＋y 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 2D. 07.设关于x 的不等式(ax －1)(x +1)<0(a ∈R )的解集为{x |－1<x <1}，则a 的值是（ ）A.－2B.－1C.0D.18.已知函数()sin()24x f x π=+，则()2f π=（ ） A.1- B.1C.2-D.2 9.设a R ∈，则“2a >”是“112a <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10. 已知两直线l ，m 和平面α，则( )A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥αB ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mC ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ⊥αD ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m11. 已知为数列的前项和，且，，则（ ）A ．4B ．C ．5D ．612. 已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，则b =（ ）2 B.2 C. 2 D.3213. 将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单位，得到的函数的图像的一个对称中心为( ) A ．（π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0） D ．（π2，0） 14. 函数（）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．15. 在△ABC 中,c b a ,,为角C B A ,,的对边,若Cc B b A a sin cos cos ==,则ABC ∆是( ) A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形16. 已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 17. 已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )A 22B 51C 31+D 2+118.已知函数2()2(0)f x x x x =+>，11()(),()(()),*n n f x f x f x f f x n N +==∈，则5()f x 在上的最大值是（ ）A.1021-B.3221- C.1031- D.3231- 19. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积为 2cm ，体积为 3cmcos tan y x x 22x ()21f x x =-+()g x kx =()()f x g x =k 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,+∞20. 已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，当实数______m =时，12l l ．21.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11(2)(2)a b ++的最小值为_____________22.如图，已知棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -，M 是正方形''BB C C 的中心，P 是''A C D ∆内（包括边界）的动点，满足PM PD =，则点P 的轨迹长度为_________23. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ∈N *． （1）求a 2，a 3，a 4的值（2）求数列{a n }的通项公式.24．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值.25. 已知函数()b kx x x f +++=21，其中b k ,为实数且0≠k （Ⅰ）当0>k 时，根据定义证明()x f 在()2,-∞-单调递增；（Ⅱ）求集合=k M {b | 函数)(x f 由三个不同的零点}.高中数学学业水平考试模拟试题一参考答案1-18．ACBA BBDB ADCD DCCB DD19-22．64322+; 160,7,16,143- 23.（本题10分）解：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，n ∈N *，得 a 2＝13S 1＝13a 1＝13，a 3＝13S 2＝13(a 1＋a 2)＝49，a 4＝13S 3＝13(a 1＋a 2＋a 3)＝1627， 由a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)，得a n ＋1＝43a n (n ≥2)， 又a 2＝13，所以a n ＝13×⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2)， ∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，13×⎝⎛⎭⎫43n －2 n ≥2. 24.（本题10分）解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±29－n 23. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.25.（本题11分）解：（1）证明：当(,2)x ∈-∞-时，b kx x x f ++-=＋21)(． 任取12,(,2)x x ∈-∞-，设21x x >．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-b kx x b kx x x f x f 2211212121)()(12121()(2)(2)x x k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦．由所设得021<-x x ，0)2)(2(121>++x x ，又0>k ， ∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．∴()f x 在)2,(--∞单调递增．（2）函数)(x f 有三个不同零点，即方程021=+b kx x ＋＋有三个不同的实根． 方程化为：⎩⎨⎧=++++->0)12()2( 22b x k b kx x 与⎩⎨⎧=-+++-<0)12()2( 22b x k b kx x ． 记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++，2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-．○1当0>k 时，)(),(x v x u 开口均向上． 由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点． 为满足)(x f 有三个零点，)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>- 2220)12(4)2( 0)2(2k k b b k k b u k k b 22-<⇔．○2当0<k 时，)(),(x v x u 开口均向下． 由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点．为满足)(x f 有三个零点， )(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<- 2220)12(4)2( 0)2(2k k b b k k b v k k b --<⇔22．综合○1、○2可得{|2k M b b k =<-．。