第三章：中子慢化与慢化方程

A 1 A 1
2
1 E ' (1 ) (1 ) cos c E 2
d c 2 dE E (1 ) sin c
' E 1 讨论： (1 ) (1 ) cos c E 2
A 1 A 1
2
应选轻核作慢化剂
L系与C系散射角的关系
v1 cos 1 VCM vc cos c
或
VCM vc cos c 1 A cos c v1 cos 1 A 1 v v1 1
A cosc 1 A 2 A cosc 1
2
3.11
A 1 A 1
'
(2-25)
式中u和u’分别为碰撞前后的对数能降。根据E’min=E式， 一次碰撞后的最大对数能降增量 为
umax ln
1

(2-26)
能量为E0的中子与慢化剂核n次碰撞，能量依次降为
E1,E2,„„En，则：
E0 E0 E1 En 1 En E1 E2 En


在反应堆物理中习惯把中子通量密度按能量的分布
Φ (E)称为中子能谱。

我们把反应堆内的中子能量分为高能、中能和低能
三个区。 高能区的中子能谱可以用裂变譜来近似表示； 低能区的热中子的可以用麦克斯韦谱近似表示; 中间能区的中子能谱是怎样的？

通过研究中子慢化，可以得到中间能区的中子能谱。
裂变譜
l t s td
对于热中子反应堆，中子平均寿命主要由扩散时间决定；
对于压水堆，中子的平均寿期 l≈10-4s；
对于快中子反应堆，中子的平均寿期 l≈10-7s； 上面的计算基于无限介质，没有考虑泄露的影响；
对于具有实际大小的反应堆系统，计算时应考虑泄露的影响， 对中子平均寿命进行修正，所得寿命将比不计泄露时的短。
' mvc MVc' 0
vc

A v1 A 1
1 Vc v1 A 1
vc vc

Vc Vc
在C系内，碰撞后，中子和靶核的速度在数值上不变， 仅改变了运动方向。碰撞后，散射中子沿着与它原来运 动方向成角度的方向飞去。θ c角叫做C 系内的散射角。
右图给出了碰撞后L系中的Baidu Nhomakorabea子 速度 vl’ 、C系中的中子速度 vc’ 及质心速度VCM的矢量关系。由余弦 定律可得：
n
neutron
M
nucleus
§3.1
中子的弹性散射过程
运动的中子与静止的核碰撞。
碰撞前、后，其动量和动能守恒，并可用经典力学的方法来 处理。
实验室坐标系（L系）
两个参照系 质心(C系)
A
VCM
质心速度
1 (m vl MVl ) (m M )
B
中子碰前速度：
vc v1 V CM
E0 E0 En1 E1 ln ln ln ln En E1 E2 En En 1 ln En n
中子与慢化剂核发生一次弹性碰
撞，其能量的减少量是一个随机 变量；故其勒增量也是一个随机
变量，但勒增量的平均值是确定
的。
平均对数能降
平均（碰撞）对数能降：每次碰撞中子能量的自然对数的 平均变化值。
第三章：中子慢化与慢化能谱
一、中子能谱概念
1. 引言
堆内核燃料的裂变不断产生快中子，快中子 经与慢化剂核的碰撞散射，逐步慢化为热中子。 因此堆内中子有着不同的能量。欲知堆内各种能 量的中子各占多少份额，就需了解堆内中子按能 量分布的规律。
2.中子能谱（Neutron spectrum）
中子数按能量的分布 n(E) 称为中子能谱。
c

0
1 cos c f ( c )d c cos c sin c d c 0 ? 2 0
在C系内散射是各向同性的。 若用 0 表示L系内的平均散射角余弦，则
0 cosl cosl f (l )dl
0

(2-32)
由于中子在L系内的散射角l与它在C系内的散射角c之间存在 对应关系，因此有

快中子反应堆的中子能谱要比热中子反应堆硬得多。
快堆和热堆能谱
思考：为何需要知道中子能谱φ（E）？

知道了中子能谱， 就可以计算平均截
R
E2
面。因为计算平均
截面时必须用中子 能谱作为权重函数。

E1
( E ) ( E ) dE
E2 E1

( E ) dE
E2

E1
( E ) ( E ) dE
V c V CM
A A 1 v1
靶核碰前速度：
1 A 1 v1
中子与核的总动量
P
c
m vc M V c
mM mM 0 v v 1 1 mM mM
若用v’和V’分别表示碰撞以后中子与靶核的速度， 则根据碰撞前后动能与动量守恒，有
1 '2 1 1 2 1 '2 mv c MV c mv c MV c2 2 2 2 2
f (l )dl f (c )dc
(2-33)
(2-16)和(2-19)式，可得
A cosc 1 1 2 0 sin c dc 2 0 2 3A A 2 A cosc 1
尽管在C系内散射是各向同性的，在L系内散射是各向异 性的，并且平均散射角余弦大于零，表明L系内中子散射后 沿它原来运动方向运动的概率较大。 L系平均散射角余弦随靶核质量数减小而增大，故靶核质 量越小，散射各向异性越严重。 当A→时，散射趋向于各向同性。

因为中子散射后的能量与散射角一一对应，故能量分布函数 与散射角分布函数一一对应：
f ( E E' )dE' f (c )dc
散射函数
一个中子被散射到立体角元内的概率为：
d c 1 f ( c ) d c 4 4
2 (r sin )rd sind 2 4r 2
某介质的宏观散射截面与中子平均对数能降的乘积。
慢化剂的慢化能力与其热中子宏观吸收截面的比。
元素 H D Be C
A 1 2 9 12
0 0.111 0.640 0.716
1.000 0.726 0.207 0.158
把裂变中子慢化至1eV平均 所需的碰撞次数 15 20 70 92
O
U

2
0
sin c d c d
1 sin c d 2
E' 1 (1 ) (1 ) cos c E 2
E dE ' (1 ) sin c d c 2
习惯上

E
E
E 1 f ( E E )dE dE 1 E (1 ) E
§3.2 无限均匀介质内中子的慢化能谱
各类反应反应率 精确描述 不仅与介质的慢化能力和吸收性等特性有关， 严格讲它还是空间坐标r 的函数，并与反应堆的泄 漏大小有关 简化模型 无限均匀介质内（无泄漏，无空间变化）的中 子慢化能谱来近似地表示 中子的慢化能谱
无泄漏，无空间变化
两个重要的物理量
含能量变化在 内的总反应率
显然，中子散射后能量落在E到αE之间。
可计算中子遭受一次弹性碰撞的平均最终能量为：
2.1.3 对数能降（勒，Lethargy）
为了计算方便，在反应堆物理分析中，常用一种无量纲量， 叫做“对数能降”来作为能量变量，用μ（勒，Lethargy）表
示，定义为
或
E0 u ln E
(2-23)
E E0e

E
0
s (r , E ) f (r;E E ) (r , E )dE
由大于E的能量E’慢化到定能量E的总中子数：
q(r, E ) dE s (r, E) f (r;E E ) (r , E)dE
E 0
Maxwell 譜
(E)
2 n ( kT )
3 2
2 Ee m

E kT
3. 热堆与快堆的能谱

在快中子反应堆中，没有慢化剂，中子通过与燃料及
结构材料的非弹性散射，得到一定程度的慢化。例如，
10MeV的中子与U238发生非弹性散射，平均要损失 8.68MeV的能量。

在热中子反应堆里，有专门的慢化剂。快中子主要通 过与慢化剂的弹性散射，逐渐慢化成热中子。
16
238
0.779
0.983
0.120
0.0083
121
1700
1.6 弹性慢化时间和中子扩散时间
ts td
弹性慢化时间
经过n次碰撞，到达热区
中子扩散时间
快中子慢化成热中子后，将在介质内扩散一段时间。
无限介质内热中子在其被俘获以前所度过的平均时间，称为扩 散时间，也叫做热中子平均寿命td。


在反应堆中，中子通过与介质原子核的碰撞，其空 间位置和能量在不断地变化。即中子的扩散和慢化
是同时进行的。

现在我们首先研究中子慢化过程，暂时不考虑中子 空间位置的变化，集中精力研究其能量的变化。
慢化(moderation)： 在无明显俘获的情况下，由散射引起中子能量降 低的过程。 几个基本假设： 1 2 3 与中子相比，慢化剂核静止； 核不被束缚在固体、液体或气体分子中； 中子与核每次碰撞都导致能量的降低。
v1 VCM vc 2vc VCM cos c
2
2
2
VCM
vl2 ( A2 2 A cos c 1) v ( A 1) 2
'2 l
1 (m vl MVl ) (m M ) A ' vc v1 A 1 1 Vc' v1 A 1
E ' vl'2 A2 2 A cosc 1 2 E vl ( A 1) 2
2
L系散射角余弦与散射前后能量关系
1 E E cos 1 ( A 1) ( A 1) 2 E E
E' 1 (1 ) (1 ) cos c E 2
2.1.2. 弹性散射过程中能量的分布

前已述，散射后中子能量损失与散射角θ 有关。
u
(2-24)
E0为选定的参考能量，一般取E0=2MeV（裂变中子平均能 量），或取10MeV（假定裂变中子能量上限为10MeV）
当E=E0时，μ=0。
随着中子能量的减少，中子的对数能降μ增加。在一次碰撞 后对数能降的增加量u为
E0 E0 E u u u ln ' ln ln ' E E E
t(E)
( E )
v

1 a ( E )v
1
v
a ( E)v a 0 ( E0 )v0
t(E)
1 a 0 v0
1
v
吸收介质中子的平均寿期与中子能量无关。
慢化时间：10-4-10-6;
扩散时间：10-2 -10-4
在反应堆动力学计算中需要用到快中子自裂变产生到慢化 成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均 寿命，用 l 表示。显然
1
ln 1
A 1 2 ( ) A 1
( A 1) 2 A 1 1 ln( ) 2A A 1
平均碰撞次数
Nc ln E1 ln E2 ln E1 E2


中子与核发生弹性散射后，其运动方向将发生改变。若散射角 为，那么cos就叫作散射角余弦。由(2-19)式可以求出在C系内每 次碰撞的平均散射角余弦为
当散射角为0时，能量损失最小，
当散射角为π 时，能量损失最大。

下面推导弹性散射后中子能量分布的更易于使用的形式。
1 E ' [(1 ) (1 ) cos c ] E 2

实验表明：中子能量小于E<10/A2/3MeV（10 Mev）时，其与核
发生的弹性散射在质心系中基本上是各向同性的。 即散射中子朝各个角度散射的概率相同，按立体角的分布 是球对称的，也就是在C系内，碰撞后中子在任一立体角内出 现的概率是均等的。
每秒在r处的单位体积、单位能量间隔内所发生的中子与核 相互作用的总次数 .
对于无吸收介质
a 0
F (r , E ) s ( r , E )
在r处每秒每单位体积内慢化到能量E以下的中子数。 在r处每秒每立方米内能量为E’的中子慢化到E以下的中子数为
散射函数：能量为E’散 射后能量变为E的概率