数理逻辑试题

1、 用L ，请给出以下函数的程序N -N （N 是正整数）。已知变量21,x x ，计算

⎩⎨⎧<≥--=2

121212121,0,),(x x x x x x x x x x f .（25分）

解：广义程序语言程序如下： 注释

If x1!=0 go to A 优先考虑x1是否为0的情况(核心思想)

z1=z1+1

If z1!=0 go to E 若x1为0则直接跳到E 停机

A:If x2!=0 go to C 再判断x2是否为0的情况

B:x1<-x1-1 x2为0的话，直接利用循环赋将x1的值给y

y<-y+1

if x1!=0 go to B

z2=z2+1

if z2!=0 go to E

C: x1<-x1-1 x2不为0则按题意进行判断

x2<-x2-1

if x1!=0 go to D 若x1先减为0，则跳到E 停机

z3=z3+1

if z3!=0 go to E

D: if x2!=0 go to C 若x1还未减到0，但x2已经减到0的话，跳到B 进行循环 z4=z4+1 将x1的值赋值给y

if z4!=0 go to B

E:y<-y

约定：引用的中间变量z1,z2,z3,z4的初始值为0.输出变量为y,初始值为0.

2、 证明L p 的公式的长度不能是2,3或6，但其他的长度都是可能的。（25分）

证明：由公式的形成规则可知L p 的公式必须满足原子公式，⌝A ，（A*B ）中的一种表达式，其中A,B 均为公式，若A,B 为原子公式，则上述三种表达式的公式长度分别为1，4，5。

而公式中每使用一次联结符号，就会额外增加一对左右括号。假设原来的公式长度为x

若使用一次联结符号⌝：则新的公式长度为x+3.

若使用一次联结符号*：则新的公式长度为x+4

假设以原子公式为基础来进行公式的形成，则任何公式的长度均可以表示为：1+3*n1+4*n2，其中n1，n2是分别使用联结符号⌝，*的次数，均属于自然数。

由此可以看出当公式长度为2.3.6时，n1，n2无法同时取得自然数，即不能表示。

其他的长度均可以表示。例如：当n1=2，n2=0时，公式长度为7，当n1=1，n2=1时，公式长度为8，当n1=0，n2=2时，公式长度为9，若以7，8，9为长度基础便可以循环递增表示之后所有公式的长度。

3、 证明：A A)┣(B )(→→→→B B A 。（25分）

证明：

1.

A A ┣A,

B ,)(⌝⌝→→→B B A （由∈得） 2.

B A ┣⌝→⌝→A B （由定理2.6.6（1）得） 3.

B B B A ⌝→⌝⌝→→→A A ┣A,B ,)((由2 + 得) 4.

B A ┣A,B ,)(⌝⌝→→→B B A (由1，3 →-得) 5.

B A →⌝A ┣（由定理2.6.5（6）得） 6.

B A A A,B ,)(→⌝→→→┣B B A (由1，5 Tr （推演的传递性质）得) 7.

B )B A (A ┣A,B ,)(→→⌝→→→B B A （由∈得） 8.

B A A,B ,)( ┣⌝→→→B B A (由6，7 →-得) 9. A A B ,)(┣→→→B B A (由4，8 →⌝得)

10. A A)┣(B )(→→→→B B A (由9 →+ 得)

证毕

4、 说明问题类“任给一个正整数x ，x 是否为偶数”是可判定的，请给出算法（即用广义程序语言给出

判定程序）。（25分）

提示：相当于计算函数⎩⎨⎧=是偶数，是奇数

，x x x f 01)(.

解：广义程序语言程序如下： 注释

A:x<-x-1 由于x 为正整数可以首先不进行为0的判断

if x!=0 go to B 进行奇数次减1后判断是否为0

z1=z1+1

y<-y+1 按题意将y 的值赋值为1，再停机

if z1!=0 go to C

B: x<-x-1

if x!=0 go to A 进行偶数次减1后判断是否为0

z2=z2+1

if z2!=0 go to C 按题意直接停机

C:y<-y

约定：引用的中间变量z1,z2的初始值为0.输出变量为y,初始值为0.

附加题：说明任给一个谓词逻辑的语句A，A的可满足性在什么意义下是不可判定的？在什么意义下是半可判定的？为什么？（25分）

注：满分一百分，最后一道题为选做题，若做了此题，可以将此题的得分与前4道题分值累加，但上限仍然只有100分。