二级结论在解析几何中的作用

大学数学

二级结论在解析几何中的作用

一 椭圆、双曲线的“垂径定理”

1.（14浙江理）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b

y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________.

2. 已知点错误!未找到引用源。是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点，过原点的直线交椭

圆于点错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。垂直于错误!未找到引用源。轴，直线

错误!未找到引用源。交椭圆于点错误!未找到引用源。，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率__________.

3. 设动直线错误!未找到引用源。与椭圆错误!未找到引用源。交于不同的两点错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。交于不同的两点错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。则符合条件的直线共有______条.

4.已知某椭圆的焦点是错误!未找到引用源。过点错误!未找到引用源。并垂直于错误!未找到引用源。轴的直线与椭圆的一个交点为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。.椭圆上不同的两点错误!未找到引用源。满足条件：错误!未找到引用源。成等差数列. （1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标；

（3）设弦错误!未找到引用源。的垂直平分线的方程为错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的取值范围.

5.（16四川）已知椭圆错误!未找到引用源。：22221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点与短轴的

两个端点是正三角形的三个顶点，点错误!未找到引用源。在椭圆错误!未找到引用源。上. (Ⅰ)求椭圆错误!未找到引用源。的方程；

(Ⅱ)设不过原点错误!未找到引用源。且斜率为错误!未找到引用源。的直线错误!未找到引用源。与椭圆错误!未找到引用源。交于不同的两点错误!未找到引用源。，线段错误!未找到引用源。的中点为错误!未找到引用源。，直线错误!未找到引用源。与椭圆错误!未找到引用源。交于错误!未找到引用源。，证明：错误!未找到引用源。

二 圆锥曲线的共圆问题

6. （11全国）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F

大学数学

且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．

7. 已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为错误!未找到引用源。，直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴的交点为错误!未找到引用源。，与C 的交点为Q ，且|QF|=|PQ|． （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

二 抛物线的性质

8. （14四川）已知F 为抛物线2

y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，

2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）

A 、2

B 、3

C 172

D 109.（15新课标）在直角坐标系错误!未找到引用源。中，曲线C ：y =2

4

x 与直线y kx a =+(a

＞0)交与M ,N 两点，

（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 9. （14山东）已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10. 点错误!未找到引用源。到点错误!未找到引用源。及直线错误!未找到引用源。的距离都相等，且这样的点只有一个，求错误!未找到引用源。值. 三 椭圆、双曲线的性质

11. 已知两点1(1,0)F -及2(1,0)F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭O

1F 2F

x

y l

M N

大学数学

圆C 上，且1||PF 、12||F F 、2||PF 构成等差数列. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图，动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥.求四边形12F MNF 面积S 的最大值.

12.已知双曲线错误!未找到引用源。的左焦点为错误!未找到引用源。，左准线与错误!未找到引用源。轴交于点错误!未找到引用源。，过点错误!未找到引用源。的直线错误!未找到引用源。与双曲线交于错误!未找到引用源。两点，且满足错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。的值为错误!未找到引用源。

13.双曲线错误!未找到引用源。的左右顶点分别为错误!未找到引用源。点错误!未找到引用源。是第一象限内双曲线上的点，若直线错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。的倾斜角分为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。，那么错误!未找到引用源。

14. （10北京）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1

3

-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.

四 中线长定理

15. 设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22

22x y 1a b

-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上

存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣

,则该双曲线的渐近线方程为错误!未找到引用源。

16. 双曲线2

2

24b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________.