高中数学同步测试卷
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（）A．B．C．D．02.高一（1）班有60名学生，其中女生有24人，现任选1人，则选中男生的概率是（）A．B．C．D．13.任意说出星期一到星期日中的两天（不重复），其中恰有一天是星期六的概率是（）A．B．C．D．4.某银行储蓄卡上的密码是一种4位数字号码，每位上的数字可在0，1，2，…，9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，若按下密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是（）A．B．C．D．5.小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有1分、2分币各两枚，5分币3枚，则她取出的币值正好是七分的概率是（）A．B．C．D．二、填空题1.连续3次抛掷一枚硬币，则正、反面交替出现的概率是．2.在坐标平面内，点在x轴上方的概率是．（其中）3.先后抛掷3枚均匀的1分、2分、5分硬币．（1）一共可能出现种不同结果；（2）出现“2枚正面，1枚反面”的结果有种；（3）出现“2枚正面，1枚反面”的概率是．三、解答题1.在箱子里装有10张卡片，分别写有1到10的10个数字，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数y．求：（1）是10的倍数的概率；（2）是3的倍数的概率．2.已知集合，在平面直角坐标系中，点的，且，计算（1）点不在x轴上的概率；（2）点正好在第二象限的概率．3.某学校成立三个社团，共60人参加，A社团有39人，B社团有33人，C社团有32人，同时只参加A、B社团的有10人，同时只参加A、C社团的有11人，三个社团都参加的有8人．随机选取一个成员．（1）他至少参加两个社团的概率为多少？（2）他参加不超过两个社团的概率为多少？4.从一副扑克牌（没有大小王）的52张牌中任取两张，求：（1）两张是不同花色牌的概率；（2）至少有一张是红心的概率．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（）A．B．C．D．0【答案】 A【解析】将1枚硬币抛2次，总的结果数为4，其中恰好出现1次正面的情况有2种正反，反正，所以恰好出现1次正面的概率是，故选A。
2023-2024学年山东省高中数学人教B版 必修二统计与概率同步测试-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省高中数学人教B 版 必修二统计与概率同步测试(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1616.3216.3415.961. 矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 （ ）A. B. C. D.2. 甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，， 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A. B. C. D.6306156005703. 某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ）A. B. C. D. 1个2个3个4个4. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有（ ）①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A. B. C. D.5. 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（ ）A.B.C.D.6805854671596. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ）05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48A. B. C. D. 100万元10万元7.5万元 6.25万元7. 一商场在某日促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售为（）A. B. C. D. 0.800.750.600.488. 周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，点是正方形两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点对称的概率为（）A. B. C. D.1210.右图实线是函数y=f （x ）（0≤x≤2a ）的图象，它关于点A （a ，a ）对称．如果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（ ）A. B. C. D.11. 容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间（10，50]上的频率为（ ）0.50.70.250.05A. B. C. D. 2436464712. 从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A. B. C. D. 13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.14. 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层随机抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 ．15. 利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为 ．(保留两位小数)16. 设随机变量ξ只可能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P （ξ≥9）= ；P （6＜ξ≤14）= ．17. 某风景区对 ， 两个旅游景点一周内的日游客数量（单位：千人）进行了一次调查，统计数据如下茎叶图所示.(1) 以各组平均数为依据，试比较哪个景点更加吸引游客；(2) 若 ， 两个旅游景点的门票价格分别为20元/人和30元/人，以各景点平均日游客数量估计每日游客数量，预计该风景区在这两景点一个月（30天）的门票收入.18. 某科研课题组通过一款手机 软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（周）人数100120130180220150603010(1) 在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：(2) 根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）.(3) 根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？19. 顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有8个红球、4个黑球的甲箱和装有6个红球、6个黑球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖.（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X的分布列和数学期望.20. 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3) 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．21. 随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别频数1202603402502010(1) 求所得样本平均数（精确到元）；(2) 根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X服从正态分布，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；(3) 已知样本数据中旅游费用支出在范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为，求的分布列.附：若，，， .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)。
2023-2024学年全国全部人教B版(2019)高中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1. 如图正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（ ）A.平面B.C.三棱锥体积为定值D.与面积相等2. 已知长方体中，，，分别是线段，的中点，若是在平面上的射影，点在线段上，，则 A.B.C.D.3. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，＝，＝，侧棱＝，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（ ）ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF =1EF //ABCDAC ⊥BEA −BEF △BEF △AEF ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2BC =2A =2A 1EF A 1D 1CC 1E ′E BDD 1B 1F ′BB 1F //BC F ′||=E ′F ′()215−−−√15215−−−√10430−−−√15430−−−√10ABCD AB //CD AB 3CD 1AA 14A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCDB.C. D.4. 在棱长为的正方体中，为线段的中点，在平面中取一个点，连接，，则 的最小值为( )A.B.C.D.5. 直三棱柱的底面是以为直角的等腰直角三角形，且＝＝，在面对角线上存在一点使到和到的距离之和最小，则这个最小值是（ ）A.B. C. D.6. 如图，已知棱长为的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点．满足＝，则点的轨迹长度是（ ）A.B.C.D.32ABCD −A 1B 1C 1D 1E AB 1ABCD F EF FC 1|EF|+|F |C 122–√23–√14−−√33–√ABC −A 1B 1C 1C AC CC 11BC 1P P B 1P A 21+4ABCD −A'B'C'D'M BB'C'C P △A'C'D PM PD P 11−−√214−−√211−−√14−−√7. 已知长方体中，底面的长，宽，高，点，分别是，的中点，点在上底面中，点在上，若，则长度的最小值是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8. 已知正四棱柱的底面边长为，侧棱＝，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A.若＝，则满足条件的点有且只有一个B.若，则点的轨迹是一段圆弧C.若平面，则长的最小值为D.若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为9. 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面可能是（ ）A.平行四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AB =4BC =4A =3A 1M N BC C 1D 1P A 1B 1C 1D 1Q N A 1PM =13−−√PQ −25–√325–√−2655–√355–√ABCD −A 1B 1C 1D 12AA 11P A 1B 1C 1D 1PD 3P PD =3–√P PD //ACB 1DP 2PD //ACB 1PD =3–√BDP ABCD −A 1B 1C 1D 19π4ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2E BC F A 1D 1A E FA.平面B.C.平面D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11. 如图，正方体 的棱长为，，分别为线段，上的点，且，，则平面截该正方体的面所得的线段的长度为________．12. 在如图所示的正方体中，，分别是棱和上的点，若，，则________.13. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，且，．则平面 截该正方体的面所得的线段的长度为________．BD //CB 1D 1A ⊥BDC 1A ⊥C 1CB 1D 1AD CB 160∘ABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35FC =2BF EFC 1ABB 1A 1ABCD −A 1B 1C 1D 1M N AA 1AB M ⊥MN C 1=M A 1AA 125=AN AMABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35FC =2BF EFC 1ADD 1A 114. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的序号是________．①②平面平面③的最大值为④的最小值为．15. 长方体中，，，，点是中点，点，，则长度最小值为________．1ABCD −A 1B 1C 1D 1P B A 1D ⊥PC 1D 1P ⊥D 1A 1APA 1∠APD 190∘AP +PD 12+2–√−−−−−−√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =1BC =2A =3A 1M BC P ∈AC 1Q ∈MD |PQ |参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】D【考点】棱柱的结构特征空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在中，由，得平面；在中，由平面，得；在中，由，，得三棱锥体积为定值；在中，与底都是，但高不相等，故面积不相等．【解答】解：在中：∵正方体的棱长为，线段上有两个动点、，∴，平面，平面，∴平面，故正确；在中：如图，正方体中，，，，∴平面．又平面，∴，故正确；在中：∵，∴，设，则平面，，∴三棱锥体积，∴三棱锥体积为定值，故正确；在中：，，∴与面积不相等，故错误．故选：．2.【答案】DA EF //BD EF //ABCDB AC ⊥BD B 1D 1AC ⊥BE C EF =1=1S △BEF A −BEF D △BEF △AEF EF A ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF //BD BD ⊂ABCD EF ⊂ABCD EF //ABCD A B AC ⊥BD AC ⊥BB 1BD ∩B =B B 1AC ⊥B D B 1D 1BE ⊂B D B 1D 1AC ⊥BE B C EF =1=×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112AC ∩BD =O AO ⊥BEF AO ==124+4−−−−√2–√A −BEF V =××AO =×1×=13S △BEF 132–√2–√3A −BEF C D =×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112=××1=S △AEF 123–√3–√2△BEF △AEF D D此题暂无解析【解答】解：过点作，垂足为，取的中点，连接，如图所示，则.故选.3.【答案】B【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】CE E ⊥E ′B 1D 1E ′BB 1F ′FF ′=E ′F ′+B 1E ′2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−√=(−+B 1D 1D 1E ′)2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(−×+(5–√15–√12)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(+(95–√10)212)2−−−−−−−−−−−−√=430−−−√10D此题暂无解析【解答】解：将正方体补成如图所示长方体，点关于平面的对称点为，连接交平面于一点.即为所求点，使得最小，其最小值为.连接，，由题意可得，，所以，，所以是直角三角形，，所以.即的最小值为.故选.5.【答案】D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算ACBCD −A 1B 1C 1D 1C 1ABCD C 2EC 2ABCD F F ||+||EF −→−FC 1−→−|E |C 2AC 2B 1C 2||=4A 1A 2|A |=||=2B 1A 2C 22–√|A |=2C 23–√=2B 1C 25–√△AB 1C 2∠A =B 1C 290∘|E |==C 2|A +(|A |C 2|212B 1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√|EF|+|F |C 114−−√C此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】棱柱的结构特征【解析】满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，根据是内（包括边界）的动点，可得点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点，利用余弦定理，求出即可．【解答】满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，∵是内（包括边界）的动点，∴点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点时，＝，，满足＝∴＝，＝∴．7.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】取的中点，则为直角三角形，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，【解答】取的中点，则为直角三角形，∵，∴，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4ST PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4SD 32–√SM ==3+242−−−−−√2–√SD SM SD 32–√TD 22–√ST ==18+8−2×3×2×2–√2–√12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√B 1C 1O △POM P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12B 1C 1O △POM PM =13−−√OP =2P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12又的面积．∴，∴长度的最小值是．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8.【答案】A,B,D【考点】棱柱的结构特征【解析】由题意画出图形，求出与上底面点的最大值判断；由，求得为定值判断；找出满足平面的的轨迹，求出长的最小值判断；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断．【解答】如图∵正四棱柱的底面边长为，∴，又侧棱＝，∴，则与重合时＝，此时点唯一，故正确；∵，＝，则，即点的轨迹是一段圆弧，故正确；连接，，可得平面平面，则当为中点时，有最小值为，故错误；由知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故正确．9.【答案】A,B,C【考点】棱柱的结构特征【解析】无【解答】△NO A 1S =×N ×d =612A 1d =65–√5PQ −265–√5D A PD =3–√PD 1B PD //ACB 1P DP C D ABCD −A 1B 1C 1D 12=2B 1D 12–√AA 11D ==3B 1(2+2–√)212−−−−−−−−−−√P B 1PD 3P A PD =∈(1,3)3–√DD 11P =D 12–√P B DA 1DC 1D //A 1C 1ACB 1P A 1C 1DP =(+2–√)212−−−−−−−−−√3–√C C BDP BDD 1B 1BDP ABCD −A 1B 1C 1D 1=12++222212−−−−−−−−−−√329π4D即与重合时，取 的中点，截面为矩形；当时，截面为平行四边形；当时，截面为五边形；当，即与重合时，截面为等腰梯形．故选．10.【答案】A,B,C【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系棱柱的结构特征【解析】由，得到平面；由，，得到；异面直线与角为；由，，得到平面．【解答】解：连接，,如图：在选项中，∵，平面，平面，∴平面，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，∵为正方体，∴，∵，∴平面，∴，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，∵为正方体，∴，∵，∴平面，∵，∴，同理，，∵，∴平面，故正确；在选项中，∵，∴是异面直线与所成角，∵是正方形，∴，∴异面直线与角为，故错误．故选．三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）F A 1B 1C 1AEGA 10<F ≤1A 1AEGF 1<F <2A 1AEGHF F =2A 1F D 1AEGF ABC BD //B 1D 1BD //CB 1D 1AC ⊥BD C ⊥BD C 1A ⊥BD C 1AD CB 145∘A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1AC A 1C 1A BD //B 1D 1BD ⊂CB 1D 1⊂B 1D 1CB 1D 1BD //CB 1D 1A B ABCD AC ⊥BD ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥BD C 1AC ∩C =C C 1BD ⊥ACC 1A 1A ⊥BD C 1B C A 1B 1C 1D 1⊥A 1C 1B 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥C 1B 1D 1∩C =A 1C 1C 1C 1⊥B 1D 1A C A 1C 1A ⊂平面A C C 1A 1C 1A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1∩C =B 1D 1B 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1C D AD //BC ∠BCB 1AD CB 1BCC 1B 1∠BC =B 145∘AD CB 145∘D ABC11.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】【解答】解：连接交的延长线于点，连接交于点，设平面与棱的交点为，连接，，则五边形即为平面截该正方体所得的截面，平面截该正方体的面所得的线段为．设直线与直线的交点为，在线段上取一点，使,易证得四边形为平行四边形，，，，由，得，所以，则，由，得，所以，于是得.故答案为：.12.【答案】61−−√5F C 1B B 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1G GC 1GH EF GH C 1EFC 1EFC 1ABB 1A 1EH GH AD J AD K DK =2AK JK G D 1K =GJ D 1=F ==C 1C +C F 2C 21−−−−−−−−−−√13−−√AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595BC//B 1C 1==BI IB 1BF B 1C 113=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3EH ==A +A E 2H 2−−−−−−−−−−√61−−√561−−√525【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：因为在正方体中，平面，平面，平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以，所以.因为，，，所以，，所以，所以.故答案为：.13.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接交的延长线于点，连接交于点，设平面 与棱的交点为，连接，，⊥C 1B 1A B A 1B 1MN ⊂A B A 1B 1⊂C 1B 1A B A 1B 1⊥MN C 1B 1M ⊥MN C 1∩M =C 1B 1C 1C 1MN ⊥M C 1B 1M ⊂B 1M C 1B 1M ⊥MN B 1∠AMN +∠M =A 1B 190∘=M A 1AA 125A =A 1A 1B 1∠M +∠M =A 1B 1A 1B 190∘=M A 1B A 125∠M =∠AMN A 1B 1△M ∽△ANM A 1B 1==AN AM M A 1B A 12525213−−√3F C 1BB 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1G GC 1GH则五边形，即为平面截该正方体所得的截面，平面截该正方体的面，所得的线段为线段，由，得，，由，得，.由，得，所以，所以，由，得，所以， ．由平面平面，平面平面，平面平面，得，又，所以，所以，所以，所以．所以．故答案为：．14.【答案】①②④【考点】棱柱的结构特征【解析】对于①，利用线面垂直的判定定理可证面，而平面，故可判断①正确；对于②，平面，而平面，就是平面，故平面平面，EF GH C 1EFC 1EFC 1ADD 1A 1GH BE =AB 35AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595FC =2BF BF =1FC =2BC//B 1C 1=BI IB 1BF B 1C 1=13=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3H =2A 1ABCD//A 1B 1C 1D 1EF ∩C 1ABCD =EF EF ∩C 1=G A 1B 1C 1D 1C 1EF//GC 1AB//D 1C 1∠FEB =∠GC 1D 1==G D 1D 1C 1BF BE 59G =D 153G =A 143GH ==+A 1H 2A 1G 2−−−−−−−−−−−√213−−√3213−−√3D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1⊥D 1A 1AB A 1B 1AB A 1B 1AP A 1P ⊥D 1A 1AP A 1从而可判定②正确；对于③，当时，为钝角，故可判断③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，通过解三角形可求得，可判断④正确．【解答】解：对于①，∵平面，平面，∴，又，，∴面，平面，∴，故①正确对于②，∵平面即为平面，平面 即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，故②正确；对于③，在中，由余弦定理可知，当时，为钝角，故③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理解三角形得，故④正确．故答案为：①②④．15.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，利用向量法，求出当为和的公垂线时的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．【解答】解：以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，∵，，，∴，，，，，则，0<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√⊥A 1D 1DC D 1C 1D ⊂C 1DC D 1C 1⊥D A 1D 1C 1B ⊥D A 1C 1∩B =A 1D 1A 1A 1D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1D ⊥P C 1D 1P D 1A 1BC D 1A 1AP A 1AB A 1B 1⊥D 1A 1AB A 1B 1BC ⊥D 1A 1AB A 1B 1P ⊥D 1A 1AP A 1△AP D 10<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1△AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√23–√3A AB AD AA 1x y z P Q PQ AC 1MD PQ A AB AD AA 1x y z AB =1BC =2A =3A 1A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,2,0)(1,2,3)C 1M(1,1,0)D(0,2,0)=(1,2,3)AC 1−→−=(1,−1,0)DM −→−λ=(λ,2λ,3λ)−→−−→−设，则点的坐标为，，设，点的坐标为，，则，由且得：，解得：，此时．故答案为：．=λ=(λ,2λ,3λ)AP −→−AC 1−→−P (λ,2λ,3λ)λ∈[0,1]=μ=(μ,−μ,0)DQ −→−DM −→−Q (μ,2−μ,0)μ∈[0,1]=(u −λ,2−μ−2λ,−3λ)PQ −→−⊥PQ −→−AC 1−→−⊥PQ −→−DM −→−{u −λ+2(2−μ−2λ)+3(−3λ)=0u −λ−(2−μ−2λ)=0 λ=29μ=89P ==Q min (λ−μ+(2λ−2+μ+9)2)2λ2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√23–√323–√3。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S2.集合A={1，2，3，4}，B ⊊A ，且1∈A∩B ，4∉A∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83.已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{1}D ．以上均不对4.设A={x|2x 2﹣px+q=0}，B={x|6x 2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={}，则A ∪B 等于（ ）A ．{ ，，﹣4}B ．{，﹣4}C ．{，}D ．{ }5.若A={1，3，x}，B={x 2，1}，A ∪B={1，3，x}，则这样的x 的不同值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.集合P={（x ，y ）|x+y=0}，Q={（x ，y ）|x ﹣y=2}，则P∩Q=2.若{3，4，m 2﹣3m ﹣1}∩{2m ，﹣3}={﹣3}，则m= ．3.某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班干32%到40%之间，设M 是两门都学的人数的最大值，m 是两门都学的人数的最小值，则M ﹣m= ．三、解答题1.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数．2.集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S【答案】D【解析】根据集合的定义和补集运算法则，集集合子集的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断； 解：A 、∁U （∁U P ）=p ，∵{P}，∴p ∈{P}，故A 错误；B 、集合M 中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B ，故B 错误；C 、∵∁R Q 为无理数集，而Q 为有理数集，故C 错误；D 、∵N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，∴N 的所有子集构成集合S ，∴N ∈S ，故D 正确；故选D ．点评：此题主要考查集合的定义及其元素与集合的关系，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．2.集合A={1，2，3，4}，B ⊊A ，且1∈A∩B ，4∉A∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】利用已知条件确定B 中的元素，以及确定B 中可能的元素，即可推出集合B 的个数．解：集合A={1，2，3，4}，B ⊊A 且1∈A∩B ，4∉A∩B ，所以B={1}；B={1，2}；B={1，3}；B={1，2，3}．则满足上述条件的集合B 的个数是4．故选C ．点评：本题考查元素与集合关系的判断，考查计算能力．3.已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{1}D ．以上均不对【答案】C【解析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N ．解；集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}=[1，+∞），N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}=（﹣∞，1]， ∴M∩N={1}故选C ．点评：此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．4.设A={x|2x 2﹣px+q=0}，B={x|6x 2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={}，则A ∪B 等于（ ）A ．{ ，，﹣4}B ．{，﹣4}C ．{，}D ．{ }【答案】A【解析】根据A∩B="{" }，得到 ∈A ，B ；即 是方程2x 2﹣ppx+q=0，6x 2+（p+2）x+5+q=0的根，代入即可求得p ，q 的值，从而求得集合A ，集合B ，进而求得A ∪B ．解：∵A∩B="{" }∴∈A ，∴2（ ）2﹣p （ ）+q=0…①又 ∈B∴6（ ）2+（p+2）+5+q=0…②解①②得p=﹣7，q=﹣4；∴A="{" ，﹣4}；B="{" ，}∴A ∪B={﹣4，，}．故选A ．点评：此题是中档题．考查集合的交集的定义和一元二次方程的解法，体现了方程的思想和转化的思想，同时考查了运算能力．5.若A={1，3，x}，B={x2，1}，A∪B={1，3，x}，则这样的x的不同值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据题意得到x2可能等于3或x，所以求出x解的个数即为所求的x个数．解：因为A∪B={1，3，x}，所以x2=3或x∴x=±，0，1（舍去）共3个，所以x有3个．故选C点评：本小题主要考查并集及其运算、方程的解法等基础知识，解答时必须注意集合中元素的互异性．属于基础题．二、填空题1.集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q=【答案】{（1，﹣1）}．【解析】根据题意，P∩Q即由集合P={（x，y）|x+y=0}与Q={（x，y）|x﹣y=2}表示的直线的交点，可得，解之即可得出答案．解：由集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，∴，解得，∴P∩Q={（1，﹣1）}，故答案为：{（1，﹣1）}．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．2.若{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，则m= ．【答案】1【解析】由题意可得 m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2，经检验 m=1满足条件．解：∵{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，∴m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2．当m="2" 时，2m=4，{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3，4}，故不满足条件，舍去．当 m=1，{3，4，m2﹣3m﹣1}={3，4，﹣3}，{2m，﹣3}={2，﹣3}，满足条件．故答案为 1．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，注意检验 m的值是否满足条件，这是解题的易错点，属于中档题．3.某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班干32%到40%之间，设M是两门都学的人数的最大值，m是两门都学的人数的最小值，则M ﹣m= ．【答案】9【解析】根据两门都学的人数的最大值就是有尽可能多的人学习，两门都学的人数的最小值则是尽可能少，求得M和m，从而得出答案即可．解：两门都学的人数的最大值就是有尽可能多的人学习，两门都学的人数的最小值则是尽可能少：故最大：M=（90%+40%﹣100%）×50=15人最小：（80%+32%﹣100%）×50=6人则M﹣m=15﹣6=9．故答案为：9．点评：本小题主要考查交、并、补集的混合运算等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想．属于基础题．三、解答题1.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数．【答案】172【解析】由于有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，则这三个组共有75+68+61人，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，根据容斥原理可知，听讲座的共有68+75+61﹣（17+12+9）+6人．解：68+75+61﹣（17+12+9）+6=204﹣38+6，=172（人）．答：听讲座的人数172人．故答案为：172点评：A 类和B 类和C 类元素个数总和=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素个数﹣既是A 类又是B 类的元素个数﹣既是A 类又是C 类的元素个数﹣既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数．2.集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】考虑集合A 1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A 相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法．解：当A 1=φ时，A 2=A ，此时只有1种分拆；当A 1为单元素集时，A 2=∁A A 1或A ，此时A 1有三种情况，故拆法为6种；当A 1为双元素集时，如A 1={a ，b}，A 2={c}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，此时A 1有三种情况，故拆法为12种； 当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．。
2023-2024学年山东省高中数学人教B版 必修一等式与不等式同步测试-5-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省高中数学人教B 版 必修一等式与不等式同步测试(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 不等式对于一切 恒成立，那么的取值范围（ ）A. B. C. D.2. 已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.19183. 已知函数 ，若正实数 ， 满，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 4. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（ ）A. B. C. D.5. 已知a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.6. 若a ＞0，b ＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是( )①ab≤1； ②+≤； ③a 2+b 2≥2； ④①②③④①③④③④②③④≥2A. B. C. D. 或 或7. 已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 98548. 若正数满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 9. 设x 是实数，且满足等式 ， 则实数等于（ ）（以下各式中）A. B. C. D.-12010. 已知 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 11. 已知 ，则函数 的图象的是（ ）A. B. C. D.12. 若对任意，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D.13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围为 .14. ， 则的取值范围为 ．15. 已知x ，y 为正数，且x+y=20，则m=lgx+lgy 的最大值为 ．16. 已知 ， ，则 的最小值是 .17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．(1) 求椭圆的方程；(2) 当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．18. 已知函数 .(1) 当时，求不等式的解集(2) 若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.19. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1) 求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）(2) 当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.20. 某企业用180万元购买一套设备，该设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了设备的正常运行，企业需要对设备进行维护，已知年的总维护费用与使用年数满足函数关系式，且第二年需要维护费用20万元．(1) 求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；(2) 试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？21. 已知函数的解析式为 .(1) 求；(2) 画出这个函数的图象,并写出函数的值域；(3) 若 ,有两个不相等的实数根，求的取值范围.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)第 11 页 共 11 页。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设任意角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），角α+θ的终边与单位圆的交点为P 2（y ，﹣x ），则下列说法中正确的是（ ） A ．sin （α+θ）=sinα B ．sin （α+θ）=﹣cosα C ．cos （α+θ）=﹣cosα D ．cos （α+θ）=﹣sinα2.已知角α的终边与单位圆相交于点P （sin ，cos），则sinα=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．3.如图，以Ox 为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A ，B 点，则的值等于（ ）A ．sin （α+β）B ．sin （α﹣β）C ．cos （α+β）D ．cos （α﹣β）二、填空题1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角α的终边与单位圆交于B 点，且点B 的纵坐标为．若将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点，则点A 的坐标为 ．2.（1）若sin （3π+θ）=，求+的值；（2）已知0＜x ＜，利用单位圆证明：sinx ＜x ＜tanx ．三、解答题1.如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为，三角形AOB 为直角三角形．（1）求sin ∠COA ，cos ∠COA 的值； （2）求cos ∠COB 的值． 2.已知，用单位圆求证下面的不等式：（1）sinx ＜x ＜tanx ； （2）．3.已知点A （2，0），B （0，2），点C （x ，y ）在单位圆上． （1）若|+|=（O 为坐标原点），求与的夹角； （2）若⊥，求点C 的坐标．4.如图，已知A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为，点B 在第二象限，且△AOB 为正三角形．（Ⅰ）求sin ∠COA ； （Ⅱ）求△BOC 的面积．5.如图，以Ox 为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（，）．（1）求sin2α的值； （2）若β﹣α=，求cos （α+β）的值．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.设任意角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），角α+θ的终边与单位圆的交点为P 2（y ，﹣x ），则下列说法中正确的是（ ）A ．sin （α+θ）=sinαB ．sin （α+θ）=﹣cosαC ．cos （α+θ）=﹣cosαD ．cos （α+θ）=﹣sinα【答案】B【解析】根据三角函数的定义和题意，分别求出角α、α+θ的正弦值和余弦值，再对比答案项即可． 解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ）， ∴由三角函数的定义得，sinα=y ，cosα=x ， 同理sin （α+θ）=﹣x ，cos （α+θ）=y ， 则sin （α+θ）=﹣cosα，cos （α+θ）=sinα， 故选：B ．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.已知角α的终边与单位圆相交于点P （sin ，cos），则sinα=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．【答案】D【解析】利用单位圆的性质求解． 解：∵角α的终边与单位圆相交于点P （sin ，cos），∴sinα=cos =cos （2）=cos=．故选：D ．点评：本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．3.如图，以Ox 为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A ，B 点，则的值等于（ ）A ．sin （α+β）B ．sin （α﹣β）C ．cos （α+β）D ．cos （α﹣β）【答案】D【解析】直接求出A ，B 的坐标，利用向量是数量积求解即可． 解：由题意可知A （cosα，sinα），B （cosβ，sinβ）， 所以=cosαcosβ+sinαsinβ=cos （α﹣β）． 故选D ．点评：本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两角差的余弦函数公式的推导过程，考查计算能力．二、填空题1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角α的终边与单位圆交于B 点，且点B 的纵坐标为．若将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点，则点A 的坐标为 ．【答案】（）．【解析】首先求出点B 的坐标，将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点，利用两角和与差的三角函数即可求出点A 的坐标．解：在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的终边与单位圆交于B 点， 且点B 的纵坐标为， ∴sinα=，cosα=将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点， 点A 的坐标A （cos （），sin （）），即A （﹣sinα，cosα），∴A （）故答案为：（）．点评：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（1）若sin （3π+θ）=，求+的值；（2）已知0＜x ＜，利用单位圆证明：sinx ＜x ＜tanx ．【答案】（1）32，（2）见解析【解析】（1）利用诱导公式、平方关系对条件和所求的式子化简后，代入值求解； （2）由S △OPA ＜S 扇形OPA ＜S △OAE ，分别表示出3个面积，可推得，所以sinx ＜x ＜tanx ，据此判断即可．解：（1）由sin （3π+θ）=，可得sinθ=﹣， ∴======32，（2）∵S △OPA ＜S 扇形OPA ＜S △OAE ，，，， ∴，∴sinx ＜x ＜tanx ．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，三角函数线，以及单位圆的性质的运用，属于基础题．三、解答题1.如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为，三角形AOB 为直角三角形．（1）求sin ∠COA ，cos ∠COA 的值； （2）求cos ∠COB 的值． 【答案】（1），．（2）﹣【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义，先找出x ，y ，r ，代入公式计算． （2）利用∠AOB=90°，cos ∠COB=cos （∠COA+90°）=﹣sin ∠COA=﹣． 解：（1）∵A 点的坐标为，根据三角函数定义可知，，r=1；（3分） ∴，．（6分） （2）∵三角形AOB 为直角三角形， ∴∠AOB=90°， 又由（1）知sin ∠COA=，cos ∠COA=；∴cos ∠COB=cos （∠COA+90°）=﹣sin ∠COA=﹣．（12分） 点评：本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式cos （+θ）=﹣sinθ 的应用．2.已知，用单位圆求证下面的不等式：（1）sinx ＜x ＜tanx ； （2）．【答案】见解析【解析】（1）利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx ＜x ＜tanx ； （2）利用（1）的结论，采用放缩法，求出=推出结果．证明：（1）如图，在单位圆中，有sinx=MA ，cosx=OM ， tanx=NT ，连接AN ，则S △OAN ＜S 扇形OAN ＜S △ONT ， 设的长为l ，则，∴，即MA ＜x ＜NT ，又sinx=MA ，cosx=OM ，tanx=NT ， ∴sinx ＜x ＜tanx ； （2）∵均为小于的正数，由（1）中的sinx ＜x 得，，将以上2010道式相乘得=，即．点评：本题考查单位圆的应用，不等式的证明的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．3.已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．（1）若|+|=（O为坐标原点），求与的夹角；（2）若⊥，求点C的坐标．【答案】（1）30°或150°（2）点C的坐标为（，）或（）．【解析】（1）由已知得，从而cos＜＞===y=，由此能求出与的夹角．（2）=（x﹣2，y），=（x，y﹣2），由得，由此能求出点C的坐标．解：（1），，．且x2+y2=1，=（2+x，y），由||=，得（2+x）2+y2=7，由，联立解得，x=，y=．（2分）cos＜＞===y=，（4分）所以与的夹角为30°或150°．（6分）（2）=（x﹣2，y），=（x，y﹣2），由得，=0，由，解得或，（10分）所以点C的坐标为（，）或（）．（12分）点评：本题考查两向量的夹角的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的合理运用．4.如图，已知A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，点B在第二象限，且△AOB为正三角形．（Ⅰ）求sin∠COA；（Ⅱ）求△BOC的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆的交点坐标时，这个点的纵标就是角的正弦值．（Ⅱ）根据第一问所求的角的正弦值和三角形是一个等边三角形，利用两个角的和的正弦公式摸到的这个角的正弦值，根据正弦定理做出三角形的面积．解：（Ⅰ）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆的交点是，∴sin∠COA=，（Ⅱ）∵∠BOC=∠BOA+∠AOC，∴sin∠BOC==∴三角形的面积是点评：本题考查单位圆和三角函数的定义，是一个基础题，这种题目解题的关键是正确使用单位圆，注意数字的运算不要出错．5.如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（，）．（1）求sin2α的值；（2）若β﹣α=，求cos（α+β）的值．【答案】（1）（2）﹣【解析】（1）由三角函数的定义，得出cosα、sinα，从而求出sin2α的值；（2）由β﹣α=，求出sinβ，cosβ的值，从而求出cos（α+β）的值．解：（1）由三角函数的定义得，cosα=，sinα=；∴sin2α=2sinαcosα=2××=；（2）∵β﹣α=，∴sinβ=sin（+α）=．cosβ=cos（+α）=﹣sinα=﹣，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×（﹣）﹣×=﹣．点评：本题考查了三角函数的求值与应用问题，解题时应根据三角函数的定义以及三角恒等公式进行计算，是基础题．。
高一数学同步试题及答案
高一数学同步试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2C. y = 5x - 4D. y = 72. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 0，则下列等式正确的是（）A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ca = 0C. a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + caD. ab + bc + ca = 13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点是（）A. 1B. 3C. 1或3D. 无实数解4. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -1B. 0C. 1D. 55. 一个等差数列的前三项依次为2，5，8，那么第10项是（）A. 20B. 23C. 26D. 296. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标是（）A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)7. 函数y = log_2(x)的定义域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)8. 已知等比数列{a_n}的公比q > 0，且a_1a_5 = 16，a_3 = 4，则a_4是（）A. 2B. 4C. 8D. 169. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 3]上是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减10. 抛物线y = x^2 - 4x + 5的顶点坐标是（）A. (2, 1)B. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(a) = 2，则a的值为______。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台2.在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是3.下列说法正确的是A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形4.如图所示，该直观图表示的平面图形为（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．正三角形5.下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3D．46.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为A．B．C．D．7.哪个实例不是中心投影A．工程图纸B．小孔成像C．相片D．人的视觉8.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°9.下列几种关于投影的说法不正确的是A．平行投影的投影线是互相平行的B．中心投影的投影线是互相垂直的影C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上D．平行的直线在中心投影中不平行10.说出下列三视图表示的几何体是A．正六棱柱B．正六棱锥C．正六棱台D．正六边形二、填空题1.平行投影与中心投影之间的区别是_____________；2.直观图（如右图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD为_ ____，面积为______cm2．3.等腰梯形ABCD,上底边CD="1," 腰AD=CB= , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图A′B′C′D′的面积为________．4.如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是米．三、解答题1.（12分）用斜二测画法作出边长为3cm、高4cm的矩形的直观图．2.（12分）画出下列空间几何体的三视图．①②3.（12分）说出下列三视图所表示的几何体：正视图侧视图俯视图4.（12分）将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．5.（14分）画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm．6.（14分）根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台【答案】C【解析】在理解三视图意义的基础上，选C。
新课标高中数学同步测试题含答案
新课标高二数学期末同步测试题说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．)11)((b a b a ++≥4B ．33b a +≥22abC ．222++b a ≥b a 22+D ．b a -≥b a -2．△ABC 中，BC=1，B A ∠=∠2，则AC 的长度的取值范围为 （ ）A ．(1,21) B ．（23,1）C ．[1,21] D ．[23,1] 3．下列四个结论中正确的个数有（ ）①y = sin|x |的图象关于原点对称;②y = sin(|x |+2)的图象是把y = sin|x |的图象向左平移2个单位而得; ③y = sin(x +2)的图象是把y = sin x 的图象向左平移2个单位而得;④y = sin(|x |+2)的图象是由y = sin(x +2)( x ≥0)的图象及y = －sin(x －2) ( x <0)的图象 组成的.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知sin θ－cos θ=21, 则sin 3θ－ cos 3θ的值为 （ ）A ．167 B ．－1611 C ．1611D ．－1675．平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(－1, 3), 若点C 满足OC =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为（ ）A ．3x +2y －11=0B ．(x －1)2+(y －2)2=5C ．2x －y=0D ．x +2y －5=06．已知钝角三角形的三边分别是a,a+1,a+2，其最大内角不超过120°，则a 的取值范围是（ ）A ．23≥a B ．30<<aC ．323<<a D ．323<≤a 7．已知f(x )=b x +1为x 的一次函数, b 为不等于1的常数, 且g (n)=⎩⎨⎧≥-=)1()]1([)0(1n n g f n ,设a n = g (n)－ g (n －1) (n ∈N ※), 则数列｛a n ｝是（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列8．定义()3nn N *∈为完全立方数，删去正整数数列1,2,3……中的所有完全立方数，得到一个新数列，这个数列的第2005项是（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20209．已知θ为第二象限角，且2cos2sin θθ<，那么2cos2sinθθ+的取值范围是 （ ）A ．（－1，0）B ．)2,1(C ．（－1，1）D ．)1,2(--10．若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k π，x －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．10cos 310sin 1-的值为 ． 12．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0, 且a 1, a 3, a 9成等比数列, 则1042931a a a a a a ++++的值是 ．13．已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b , 则b a -2的最大值是 ． 14．已知α、β是实数, 给出四个论断:①|α+β|=|α|+|β|; ②|α－β|≤|α+β|; ③|α|>22,|β|>22; ④|α+β|>5. 以其中的两个论断作为条件, 其余论断作为结论, 写出正确的一个 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数y＝ax＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是()A．1，2a＋1B．2a＋1，1C．1＋a，1D．1，1＋a2.函数y＝－x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为()A．0B．－4C．－1D．以上都不对3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为()A．42，12B．42，－C．12，－D．无最大值，－4.函数y＝在[2，3]上的最小值为()A．2B．C．D．－5.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为()A．0B．C．2D．36.当x∈(0，5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()A．[f(0)，f(5)]B．[f(0)，f()]C．[f()，f(5)]D．[c，f(5)]7.函数y＝的最大值是()A．1B．2C．3D．48.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为()A．5B．8C．20D．无法确定9.设c<0，f(x)是区间[a ，b]上的减函数，下列命题中正确的是( ) A ．f(x)在区间[a ，b]上有最小值f(a) B ．f(x)＋c 在[a ，b]上有最小值f(a)＋c C ．f(x)－c 在[a ，b]上有最小值f(a)－c D ．cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)10.设函数f(x)的定义域为R ，有下列四个命题：(1)若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤M ，则M 是函数f(x)的最大值(2)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，且x≠x 0，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (3)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (4)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 这些命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311.函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值12.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)的值域为( ) A ．[2，＋∞) B ．[3，11) C ．[2，11)D ．[2，3)二、填空题1.函数f(x)＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________.2.若函数f(x)＝则f(x)的最大值为________，最小值为________.3.函数y ＝的值域是________.4.若函数f(x)满足f(x ＋1)＝x(x ＋3)，x ∈R ，则f(x)的最小值为________.5.函数y ＝的值域是________.6.函数y ＝的单调增区间是________，最小值________.三、解答题1.求函数y ＝x 2－12x ＋20当自变量x 在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x 值， (1)x ∈R ； (2)x ∈[1，8]； (3)x ∈[－1，1].2.求函数y ＝|x ＋1|＋的最小值.3.求函数y ＝(－4≤x≤－2)的最大值和最小值.全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.函数y ＝ax ＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，2a ＋1 B ．2a ＋1，1 C ．1＋a ，1 D ．1，1＋a【答案】A【解析】函数y＝ax＋1(a<0)在区间[0，2]上单调递减,所以最大值、最小值分别是a0＋1=1,2a+1,选A.2.函数y＝－x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为()A．0B．－4C．－1D．以上都不对【答案】B【解析】因为对称轴为x="1" ，所以x=3时取最小值-9+6-1=-4，选B.3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为()A．42，12B．42，－C．12，－D．无最大值，－【答案】D【解析】因为对称轴为x=，所以x=时取最小值－，由于为开区间，端点值取不到，无最大值，选D.4.函数y＝在[2，3]上的最小值为()A．2B．C．D．－【答案】B【解析】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，选B.5.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为()A．0B．C．2D．3【答案】B【解析】y＝x－在[1，2]上单调递增，所以当x=2时，取最大值为，选B.6.当x∈(0，5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()A．[f(0)，f(5)]B．[f(0)，f()]C．[f()，f(5)]D．[c，f(5)]【答案】C【解析】因为对称轴为x=,所以当x=时，取最小值f()；当x=时，取最大值f()；所以值域为[f()，f(5)]，选C.点睛：图象法求二次函数最值：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值7.函数y ＝的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】当x≤0时，2x ＋3≤3；当0<x≤1时，3<x ＋3≤4；当x>1时，－x ＋5<4. 综上可知，当x ＝1时，y 有最大值4.选D. 点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．8.若函数y ＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k 的值为( )A ．5B ．8C ．20D ．无法确定【答案】C 【解析】∴或∴k ＝20.选C.点睛：利用函数的单调性求解函数最值的步骤 (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．9.设c<0，f(x)是区间[a ，b]上的减函数，下列命题中正确的是( ) A ．f(x)在区间[a ，b]上有最小值f(a) B ．f(x)＋c 在[a ，b]上有最小值f(a)＋c C ．f(x)－c 在[a ，b]上有最小值f(a)－c D ．cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)【答案】D【解析】因为f(x)是区间[a ，b]上的减函数，所以f(x)在区间[a ，b]上有最大值f(a)，f(x)＋c 在[a ，b]上有最大值f(a)＋c ，f(x)－c 在[a ，b]上有最大值f(a)－c ，cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)，所以选D.10.设函数f(x)的定义域为R ，有下列四个命题：(1)若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤M ，则M 是函数f(x)的最大值(2)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，且x≠x 0，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (3)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (4)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 这些命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤M ，则M 是函数f(x)的上确界，不一定是最大值，所以(2)，(4)是正确的.选C.11.函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C【解析】因为y＝|x－3|－|x＋1|，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．12.函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)的值域为()A．[2，＋∞)B．[3，11)C．[2，11)D．[2，3)【答案】C【解析】因为对称轴x=2，所以当x=2时，取最小值2，当x=5时，取最大值11，即值域为[2，11)，选C.二、填空题1.函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________.【答案】±2【解析】f(x)是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f(－)＝＋1＝0，解得b＝±2.2.若函数f(x)＝则f(x)的最大值为________，最小值为________.【答案】 10 6【解析】时，；时，，因此最大值为10，最小值为6点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3.函数y＝的值域是________.【答案】[0，]【解析】y＝4.若函数f(x)满足f(x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则f(x)的最小值为________.【答案】－【解析】由f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得f(x)＝x2＋x－2＝(x＋)2－，所以f(x)的最小值是－.5.函数y＝的值域是________.【答案】(0，2]【解析】观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x＝0时，y的最大值为2，即0<y≤2，故函数y的值域为(0，2].6.函数y＝的单调增区间是________，最小值________.【答案】 [0，1)和[2，＋∞)－3【解析】作出函数图像，如图所示.由图像知，函数单调递增区间是[0，1)和[2，＋∞)，最小值是－3.点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.三、解答题1.求函数y ＝x 2－12x ＋20当自变量x 在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x 值， (1)x ∈R ； (2)x ∈[1，8]； (3)x ∈[－1，1]. 【答案】（1）6（2）1（3）-1【解析】（1）根据对称轴以及开口方向，得函数只有最小值，无最大值（2））根据对称轴与定义区间位置关系得最值取法（3）根据对称轴与定义区间位置关系得函数单调递减，确定最值取法 试题解析：(1)y ＝(x －6)2－16，显然对称轴x ＝6，故y min ＝－16，无最大值. (2)当x ＝6时，y min ＝－16.当x ＝1时，y max ＝9. (3)当x ＝1时，y min ＝9.当x ＝－1时，y max ＝33.2.求函数y ＝|x ＋1|＋的最小值.【答案】3【解析】 根据绝对值定义将函数化为分段函数，结合图像得最小值 试题解析： 将原函数y ＝|x ＋1|＋化为 y ＝由函数的图像知y 的最小值为3.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3.求函数y ＝(－4≤x≤－2)的最大值和最小值.【答案】y max ＝2，y min ＝.【解析】 分离得y ＝，再根据函数单调性确定最值试题解析：方法一：设－4≤x 1<x 2≤－2，∵f(x 1)－f(x 2)＝，∵x 1＋1<0，x 2＋1<0，x 1－x 2<0，∴<0，∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)＝在[－4，－2]上单调递增.∴y max ＝f(－2)＝2，y min ＝f(－4)＝. 方法二：y ＝＝1－.画图可得最值.。
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版(2019)同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：73 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1. 已知，则( )A.B.C.D.2. 在中，，，分别是角，，的对边，设，则的值为（参考公式：）（ ）A.B.C.D.3. 若，则( )A.B.C.=3sin α+cos αsin α−cos αsin(2α−)=π472–√1045352–√10△ABC a b c A B C a +c =2b tan ⋅tan A 2C 2sin A +sin C =2sin cos A +C 2A −C 22123133sin +2sin =cos(−φ)75∘15∘13−−√75∘tan φ=2332−233D. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法错误的是( )A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则，若，则都成立D.在中，5. 若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为( )A.B.C.D.6. 对任意的实数、，下列等式恒成立的是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7. 下列各式的值计算正确的是（ ）A.B.C.D.8. 下列命题中，正确的是( )−32△ABC A B C a b c △ABC a :b :c =sin A :sin B :sin C△ABC sin 2A =sin 2B a =b△ABC sin A >sin B A >B A >B sin A >sin B △ABC =a sin A b +c sin B +sin C x =a f(x)=sin x g(x)=cos x M N |MN |12–√3–√2αβ2sin α⋅cos β=sin(α+β)+sin(α−β)2cos α⋅sin β=sin(α+β)+cos(α−β)cos α+cos β=2sin⋅sin α+β2α−β2cos α−cos β=2cos ⋅cos α+β2α−β2sin cos =030∘0∘−+π=−1sin 2π6cos 276(tan −tan )−tan ⋅tan =13–√55∘25∘55∘25∘=1−cos 60∘2−−−−−−−−−√12α=−mA.若角在第二象限，且，，则B.无论为何角，都有C.总存在一个角，使得D.总存在一个角，使得卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9. 在中，，分别为，，的对边，若，则为________三角形． 10. 根据及，若，且，，计算________．11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12. 临沂泰盛广场最大的亮点建设在楼顶的空中摩天轮，距地最高米相当于层楼高，城市繁华尽收眼底，百万点阵聚合而成的电子屏幕与城市灯光交相辉映；该摩天轮直径约米，摩天轮的圆周上均安装了个透明座舱，每个座舱最多乘坐人，整个摩天轮可同时共余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟．小明自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？若小明在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰城市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果．13. 在 中，，，分别为角，，的对边，且有 .求角；若的内切圆面积为，当 的值最小时，求 的面积.14. 在中，若．αsin α=m cos α=n tan α=−m nαα+α=1sin 2cos 2αsin α+cos α=1αsin α=cos α=12△ABC a b c ∠A ∠B ∠C cos B +cos C =sin B +sin C△ABC sin α+sin β=2sin cos α+β2α−β2cos α−cos β=−2sin sin α+β2α−β2sin θ+sin μ=(cos μ−cos θ)3–√3θ∈(0,π)μ∈(0,π)θ−μ=△ABC A B C a b c +=14tan A 3tan B 3c b 120408036828030(1)5(2)100△ABC a b c A B C A+cos 2cos A cos(C −B)=sin B sin C (1)A (2)△ABC π⋅AB →AC →△ABC △ABC sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B ∠C（1）求的度数；（2）在中，若角所对的边，试求内切圆半径的取值范围．15. 已知函数，，且的最大值为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边、、，若，且，试判断的形状．∠C △ABC C c =1r f(x)=sin(2x +)+sin(2x −)+cos 2x −m π3π33–√x ∈R f(x)1m f(x)△ABC A B C a b c f(B)=−13–√a =b +c 3–√△ABC参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的和差化积公式运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴.∴.故选.2.【答案】D【考点】三角函数的和差化积公式==3sin α+cos αsin α−cos αtan α+1tan α−1tan α=2sin(2α−)=sin 2αcos −cos 2αsin π4π4π4=(sin 2α−cos 2α)2–√2=()2–√22sin αcos α−α+αcos 2sin 2α+αsin 2cos 2=()=2–√22tan α−1+αtan 2α+1tan 272–√10A【解析】利用正弦定理将条件进行化简，结合三角函数的和差化积公式以及二倍角公式进行化简即可．【解答】解：∵，∴由正弦定理得，即，在三角形中，∴，即，即，即，即，故选：3.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的和差化积公式【解析】因为，所以 .【解答】解：因为，a +c =2b sin A +sin C =2sin B =2sin(A +C)2sin cos =4sin cos A +C 2A −C 2A+C 2A +C 2sin ≠0A +C 2cos =cos A −C 2A +C 2cos αcos +sin sin =2cos cos −2sin sinA 2C 2A 2C 2A 2C 2A 2C 23sin sin =cos cos A 2C 2A 2C 2=sin sin A 2C 2cos cosA 2C 213tan ⋅tan =A 2C 213D 3sin +2sin =3sin +2cos =(sin +cos )=cos(−φ)75∘15∘75∘75∘13−−√313−−√75∘213−−√75∘13−−√75∘tan φ==313−−√213−−√323sin +2sin =3sin +2cos 75∘15∘75∘75∘=(sin +cos )=cos(−φ)13−−√313−−√75∘213−−√75∘13−−√75∘φ==3所以 . 故选. 4.【答案】B【考点】正弦定理三角函数的和差化积公式【解析】在中，由正弦定理可得，，，结合比例的性质，三角函数的图象和性质，判断各个选项是否成立，从而得出结论．【解答】解：选项，在中，由正弦定理可得，，，故有，故正确；选项，若，等价于，或，可得，或，所以不一定成立，故错误；选项，若，则，，，，.，，.又，，.若成立，则有.，，成立，故正确；选项，由，，故正确.故选．5.【答案】B【考点】三角函数的和差化积公式【解析】tan φ==313√213√32B △ABC a =2R sin A b =2R sin B c =2R sin C A △ABC a =2R sin A b =2R sin B c =2R sin C a :b :c =sin A :sin B :sin C A B sin 2A =sin 2B 2A =2B 2A +2B =πA =B A +B =π2a =b B C sin A >sin B sin A −sin B =2cossin >0A +B 2A −B 2∵0<A +B <π∴0<<A +B 2π2∴cos >0A +B 2∴sin >0A −B 2∵0<A <π0<B <π∴−<<π2A −B 2π2sin >0A −B 2∴>0A −B 2∴A >B A >B a >b ∵a =2R sin A b =2R sin B ∴sin A >sin B C D ===2R a sin A b sin B c sin C =b +c sin B +sin C 2R sin B +2R sin C sin B +sin C =2R =a sin A D B F(x)=|sin x −cos x |可令求其最大值即可．【解答】解：由题意知：，，令，当，，，即当时，函数取到最大值.∴的最大值是.故选．6.【答案】A【考点】三角函数的和差化积公式两角和与差的余弦公式求两角和与差的正弦【解析】把所给的两个角的和与差的正弦公式，展开整理，合并同类项以后得到结果．【解答】解：，故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7.【答案】C,D【考点】两角和与差的正切公式两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用F(x)=|sin x −cos x |f(x)=sin x g(x)=cos x F(x)=|sin x −cos x |=|sin(x −)|2–√π4x −=+kππ4π2x =+kπ3π4k ∈Z a =+kπ3π4F(x)2–√|MN|2–√B sin(α+β)+sin(α−β)=sin αcos β+cos αsin β+sin αcos β−cos αsin β=2sin αcos βA【解析】【解答】解：因为，所以错误；因为，所以错误；因为，所以，所以，所以正确；因为，所以正确．故选．8.【答案】B,C【考点】三角函数的和差化积公式正弦函数的定义域和值域任意角的三角函数【解析】分别根据三角函数公式和性质即可得到结论．【解答】解：．若角在第二象限，且，，则，故错误；. 无论为何值，都有，故正确；．∵，∴总存在一个角，使得，故正确；．若，则，故错误．故选.三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9.【答案】sin cos =sin =30∘0∘30∘12A −+π=−=sin 2π6cos 276cos 2π6sin 2π612B tan ==30∘tan −tan 55∘25∘1+tan ⋅tan 55∘25∘3–√3(tan −tan )=1+tan ⋅tan 3–√55∘25∘55∘25∘(tan −tan )−tan ⋅tan =13–√55∘25∘55∘25∘C =sin =1−cos 60∘2−−−−−−−−−√30∘12D CD A αsin α=m cos α=n tan α==≠−sin αcos αm n m n A B αα+α=1sin 2cos 2B C sin α+cos α=sin(α+)∈[−，]2–√π42–√2–√αsin α+cos α=1C D sin α=cos α=12α+α=+=≠1sin 2cos 2141412D BC直角【考点】三角函数的和差化积公式【解析】要判断三角形的形状，须从已知入手利用三角函数的和差化积公式化简，得到正切值为，根据角的范围和特殊角的三角函数值得到等于，求出，得到三角形的形状．【解答】解：由得到两边同除以得即，由，，得到，所以即，所以，则为直角三角形．故答案为：直角10.【答案】【考点】三角函数的和差化积公式【解析】根据题中已知的公式把等式化简，因为与，根据特殊角的三角函数即可得到的值．【解答】解：因为，而代入到等式得所以，因为，，所以，解得．故答案为：．11.【答案】【考点】B +C 21B +C 2π4A =π2cos B +cos C =sin B +sin C 2coscos =2sin cos B +C 2B −C 2B +C 2B −C 22cos B −C 2sin =cos B +C 2B +C 2tan =1B +C 20<B <π0<C <π∈(0,π)B +C 2=B +C 2π4B +C =π2A =π2△ABC −π23θμ∈(0,π)θ−μsin θ+sin μ=2sincos θ+μ2θ−μ2cos μ−cos θ=−2sin sin μ+θ2μ−θ2sin θ+sin μ=(cos μ−cos θ)3–√32sin cos =−2×sin sin θ+μ2θ−μ23–√3μ+θ2μ−θ2tan =−θ−μ23–√θ∈(0,π)μ∈(0,π)=−θ−μ2π3θ−μ=−2π3−2π32–√正弦定理三角函数的最值三角函数的和差化积公式【解析】由已知化切为弦可得＝，结合正弦定理可得＝，得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．【解答】解：由，得，∴，∴，即，由正弦定理，得，∴．∵，∴，则当时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12.【答案】解：根据题意如图.设距地面高度，则所以，.由题意.3sin C sin B(sin A −cos A)3c b(sin A −cos A)=sin A −cos A 3c b+=14tan A 3tan B +=14cos A sin A 3cos B sin B 4cos A sin B +3cos B sin A =sin A sin B 3sin(A +B)+cos A sin B =sin A sin B 3sin C =sin B(sin A −cos A)3c=b(sin A −cos A)=sin A −cos A =sin(A −)3c b 2–√π40<A <π−<A −<π4π43π4A −=π4π2sin(A −)2–√π42–√3c b 2–√2–√(1)h =A sin(ωt +φ)+B (A >0,ω>0){A +B =120,−A +B =40,A =40B =80ω==2π30π15π所以当时，，即分钟后小明距离地面米．由得,得.又，所以，解得，即摩天轮转动一周能有分钟会有最佳视觉效果.【考点】在实际问题中建立三角函数模型已知三角函数模型的应用问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意如图.设距地面高度，则所以，.由题意.由时，得，所以当时，，即分钟后小明距离地面米．由得,得.又，所以，解得，即摩天轮转动一周能有分钟会有最佳视觉效果.13.t =5h =40sin(5×−)+80=60π15π2560(2)h =40sin(t −)+80≥100π15π240sin(t −)≥20π15π2cos ≤−πt 15120≤t ≤30≤≤2π3πt 154π310≤t ≤2010(1)h =A sin(ωt +φ)+B (A >0,ω>0){A +B =120,−A +B =40,A =40B =80ω==2π30π15t =0h =40φ=−π2t =5h =40sin(5×−)+80=60π15π2560(2)h =40sin(t −)+80≥100π15π240sin(t −)≥20π15π2cos ≤−πt 15120≤t ≤30≤≤2π3πt 154π310≤t ≤2010，，，，，.，.由题意知，的内切圆半径为，如图，设圆为 的内切圆，，为切点，可得 ，，，由余弦定理知，，于是 ，化简得 ，所以 或，，所以，，当且仅当时，的最小值为 .此时三角形的面积 .【考点】诱导公式三角形求面积余弦定理三角函数的和差化积公式平面向量数量积【解析】此题暂无解析cos A[cos A +cos(C −B)]=sin B sin C cos A[−cos(B +C)+cos(C −B)]=sin B sin C cos A2sin B sin C =sin B sin C ∵sin B sin C ≠0∴2cos A =1∴cos A =12∵0<A <π∴A =π3(2)△ABC 1Ⅰ△ABC D E AI =2，AD =AE =3–√b +c −a =23–√a =b +c −23–√=+−bc a 2b 2c 2(b +c −2=+−bc 3–√)2b 2c 24+bc =4(b +c)≥83–√3–√bc −−√bc ≥12bc ≤43b >,c >3–√3–√bc ≥12∴⋅=bc ∈[6,+∞)AB →AC →12b =c ⋅AB →AC →6ABC =bc sin A =×12×sin =31212π33–√，，，，，.，.由题意知，的内切圆半径为，如图，设圆为 的内切圆，，为切点，可得 ，，，由余弦定理知，，于是 ，化简得 ，所以 或， ，所以 ， ，当且仅当 时，的最小值为 .此时三角形的面积 .14.【答案】解：（1）∵，∴．在中，．∴．∴，．∵，∴．（2）设中，角和角的对边分别是、，则有，．∴的内切圆半径cos A[cos A +cos(C −B)]=sin B sin C cos A[−cos(B +C)+cos(C −B)]=sin B sin C cos A2sin B sin C =sin B sin C ∵sin B sin C ≠0∴2cos A =1∴cos A =12∵0<A <π∴A =π3(2)△ABC 1Ⅰ△ABC D E AI =2，AD =AE =3–√b +c −a =23–√a =b +c −23–√=+−bc a 2b 2c 2(b +c −2=+−bc 3–√)2b 2c 24+bc =4(b +c)≥83–√3–√bc−−√bc ≥12bc ≤43b >,c >3–√3–√bc ≥12∴⋅=bc ∈[6,+∞)AB →AC →12b =c ⋅AB →AC →6ABC =bc sin A =×12×sin =31212π33–√sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B2sin C cos ⋅cos =2sin ⋅cos A +B 2A −B 2A +B 2A −B 2△ABC −<<π2A −B 2π2cos ≠0A −B 22sin =sin C 2cos 2C 2C 2cos =C 22–√20<C <π∠C =π2Rt △ABC A B a b a =sin A b =cos A △ABC．∴内切圆半径的取值范围是．【考点】三角函数的和差化积公式【解析】（1）利用和差化积和积化和差公式化简，解方程可求的度数；（2）由（1）知是直角三角形，可以表示出、，求内切圆半径的表达式，然后求其取值范围．【解答】解：（1）∵，∴．在中，．∴．∴，．∵，∴．（2）设中，角和角的对边分别是、，则有，．∴的内切圆半径．∴内切圆半径的取值范围是．15.【答案】解：（1）…，所以，…令，单调增区间为…（2）因为，则，∵∴…=sin(A +)−≤2–√2π412−12–√2△ABC r 0<r ≤−12–√2sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B ∠C △ABC a b r sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B2sin C cos ⋅cos =2sin ⋅cos A +B 2A −B 2A +B 2A −B 2△ABC −<<π2A −B 2π2cos ≠0A −B 22sin =sin C 2cos 2C 2C 2cos =C 22–√20<C <π∠C =π2Rt △ABC A B a b a =sin A b =cos A △ABC r =(a +b −c)=(sin A +cos A −1)1212=sin(A +)−≤2–√2π412−12–√2△ABC r 0<r ≤−12–√2f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m =1−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2(kπ−，kπ+)k ∈Z 5π12π12f(B)=−13–√2sin(2B +)−1=−1π33–√sin(2B +)=π33–√20<B <πB =π6∴…∴∴，∴，所以，故为直角三角形…【考点】三角形的形状判断三角函数的和差化积公式三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】（1）由和差角公式可得，从而可得，可求，要求函数的单调递增区间，只要令，即可求解（2）因为，可求，，由已知结合正弦定理可可求，即可求解，从而可判断【解答】解：（1）…，所以，…令，单调增区间为…（2）因为，则，∵∴…又，则，∴…∴∴，∴，所以，故为直角三角形…sin A =+sin(−A)=+sin cos A −sin A cos 3–√125π6125π65π6cos A −sin A +=0123–√212sin(A −)=π612A =π3C =π2△ABC f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m −+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2f(B)=−13–√B A +C a =b +c 3–√sin A A f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m =1−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2(kπ−，kπ+)k ∈Z 5π12π12f(B)=−13–√2sin(2B +)−1=−1π33–√sin(2B +)=π33–√20<B <πB =π6a =b +c 3–√sin A =sin B +sin C 3–√sin A =+sin(−A)=+sin cos A −sin A cos 3–√125π6125π65π6cos A −sin A +=0123–√212sin(A −)=π612A =π3C =π2△ABC。
广西钦州市2024-2025学年高一上学期10月同步月考数学测试卷(一)(含解析)
2024~2025学年度高中同步月考测试卷（一）高一数学测试模块：必修第一册考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本试卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．162．不等式的解集为（ ）A ． B ． C ． D ．3．已知集合，若，则实数a 的值为（ ）A ．B ．3C ．3或D ．64．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知关于x 的不等式的解集为，其中a ，b ，c 为常数，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远球类跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）A ．同时参加跳远和跑步比赛的有4人B ．仅参加跳远比赛的有3人{2,3,4},{0,1}A B =={,,}C z z x y x A y B ==+∈∈∣342x ≤-1124x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭,2114x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或1124x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭11,24x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或{,||,3}A a a a =-3A ∈3-3-0a b c d >>>>a d b c ->-ab cd >a c b d ->-ac bd>20ax bx c ++>{27}xx -<<∣20cx bx a ++≤211,7x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或11,27x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或1127x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭1172x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．仅参加跑步比赛的有5人D ．同时参加两项比赛的有16人7．已知全集U ，集合M ，N 满足，则（ ）A ． B ．C ．D ．8．已知实数x 满足，则的最小值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，若q 是的充分条件，则q 可以是（ ）A ．B ．C ．D ．11．定义，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．对任意的且C ．若对任意实数恒成立，则实数a 的取值范围是D ．若存在，使不等式成立，则实数a 的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．命题“”的否定是_________．13．已知集合，若，则实数m 的最大值为__________．14．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知集合．（1）若成立的一个必要条件是，求实数m 的取值范围；（2）若，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分15分）M N U ⊆⊆()()U U M N =∅ ððM N M = ()U M N M = ð()()U U M N M= ðð103x <<11213x x+-0∈∅{0}=∅{}∅∈∅{0}∅⊆:2p x ≥p ⌝3x ≥1x ≤2x >0x <*(1)(1)x y x y =+-1*33*2=2x >-111,*112x x x≠-=++,(1)*(23)33x x a x a ----≥--{13}aa -<<∣2x ≥(1)*(23)33x a x a ----≤--27a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭23,430x x x ∈++=R {3,2,0,2,3},{}M N xx m =--=≥∣M N M = 11a b -<<<2a b +=1311aa b ++-{26},{22}A xx B x m x m =-<<=-<<+∣∣x B ∈x A ∈A B =∅记全集，集合，．（1）若，求；（2）若，求a 的取值范围；（3）若，求a 的取值范围．17．（本小题满分15分）已知实数a ，b 满足．（1）求实数a ，b 的取值范围；（2）求的取值范围．18．（本小题满分17分）如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？19．（本小题满分17分）已知：，q :关于x 的方程的两根均大于1．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 和q 中一个为真命题一个为假命题，求实数a的取值范围．U =R {221,}A xa x a a =-≤≤+∈R ∣{3,7}B x x x =≤≥∣或4a =()U A B ðA B =R A B A = 18,34a b a b ≤+≤≤-≤25a b -2700dm 2dm 3dm dm,dm x y 2:1,30p x x ax a ∀≥---+≥2260 x ax a -+-=2024~2025学年度高中同步月考测试卷（一）·高一数学参考答案、提示及评分细则1．D ，故其子集的个数为16．故选D ．2．B 不等式，即，等价于解得或，所以原不等式的解集为．故选B ．3．A 由，，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），，此时符合集合元素的特征；若，即，则不符合集合元素的互异性．故．故选A ．4．A 对于A ，，所以，则，故A 正确；对于BCD ，取，，，，满足，显然，，故BCD 错误．故选A ．5．C 关于x 的一元二次不等式的解集为，则，且，7是一元二次方程的两根，于是解得则不等式化为，即，解得，所以不等式的解集是．故选C ．6．C 设同时参加跳远和跑步比赛的有x 人，由题意画出韦恩图，如图，则，解得，故A 错误；仅参加跳远比赛的人数为，故B 错误；仅参加跑步比赛的人数为，故C 正确；同时参加两项比赛的人数为，故D 错误．故选C ．{}2,3,4,5C =342x ≤-11402x x -≤-(114)(2)0,20,x x x --≤⎧⎨-≠⎩114x ≥2x <11,24x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或3A ∈3a =||3a =||3a =3a =-3a =36a -=-{3,3,6}A =--33a -=6a =||6a =3a =-0a b c d >>>>0d c ->->a d b c ->-2a =1b =2c =-4d =-0a b c d >>>>28,45ab cd a c b d =<=-=<=-4ac bd =-=20ax bx c ++>{27}xx -<<∣0a <2-20ax bx c ++=0,27,27,a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩5,14,0,b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩20cx bx a ++≤1450ax ax a --+≤２214510x x +-≤1127x -≤≤20cx bx a ++≤1127x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭84251124x x x -+++++-=6x =862-=1165-=46515++=7．B 全集U ，集合M ，N 满足，绘制图，如图：对于A:，故A 错误；对于B:，故B 正确;对于C:，故C 错误;对于D:，故D 错误．故选B ．8．C 因为，所以，又因为，所以（当且仅当，即时等号成立）．故选C ．9．CD 是不含任何元素的集合，所以是指元素为的集合，所以，故AB 错误，C 正确；是任何集合的子集，所以，故D 正确．故选CD ．10．BD 因为条件，所以，对于A ，因为不能推出，所以不是的充分条件，故A 错误；对于B ，因为能推出，所以是的充分条件，故B 正确；对于C ，因为不能推出，所以不是的充分条件，故C 错误；对于D ，因为能推出，所以是的充分条件，故D 正确．故选BD ．M N U ⊆⊆Venn ()()U U U M N N = ðððM N M = ()U M N =∅ ð()()U U U M N M = ððð103x <<0131x <-<3(13)1x x +-=1123123121336[3(13)]1515271331331313x x x x x x x x x x x x -⎛⎫+=+=+-⨯+=++≥+= ⎪----⎝⎭133613x x x x -=-19x =∅0,{}∉∅∅∅{}∅∈∅∅{0}∅⊆:2p x ≥:2p x <3x ≥2x <3x ≥2x <1x ≤2x <1x ≤2x <2x >2x <2x >2x <0x <2x <0x <2x <11．ABD 对于A ，，即，故A 正确；对于B ，，故B 正确；对于C ， 恒成立，即恒成立，则，解得，故C 错误；对于D ，由题可知存在，使得成立，即成立，又，得a 的取值范围是，故D 正确．故选ABD ．12． 由特称量词命题的否定为全称量词命题得，命题“”的否定为“”．13． 因为且，所以，则，所以m 的最大值为．14由题易得，则，又，即时等号成立，的最小值为．15．解：（1）是的一个必要条件，，显然，，且，解得，即m 的取值范围为． 6分（2）若，，或，解得，或，即m 的取值范围为，或． 13分16．解：（1）因为，所以，所以，或， 2分1*3(11)(13)4,3*2(13)(12)4=+⨯-=-=+⨯-=-1*33*2=111121*111121212x x x x x x x x++⎛⎫⎛⎫=+-=⋅= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭(1)*(23)(11)x a x x a ----=+--2[1(23)]()(33)3(33)333x x a x x a x a a ---=-+=+--≥--2(1)10x a x +-+≥2(1)40a ∆=--≤13a -≤≤2x ≥2(1)10x a x +-+≤11a x x ≥++min 1712x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭72a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2,430x x x ∀∈++≠R 2,430x x x ∃∈++=R 2,430x x x ∀∈++≠R 3-{3,2,0,2,3},{}M N xx m =--=≥∣M N M = M N ⊆3m ≤-3-1-2a b =-13163133111111a b a b a b a b -+=+=+-+-+-+-133(1)1[(1)(1)]13441111a b a b a b b a +-⎛⎫++-+=+++≥+=+ ⎪+--+⎝⎭13211a b ∴+≥++-3(1)111a b b a +-=-+2,4a b ==1311aa b ∴++-231+=x A ∈ x B ∈B A ∴⊆B ≠∅26m ∴+≤22m -≥-04m ≤≤{04}mm ≤≤∣A B =∅ 26m ∴-≥22m +≤-8m ≥4m ≤-{4m m ≤-∣8}m ≥4a ={29}A xx =≤≤∣U {2A xx =<∣ð9}x >所以，或． 4分（2）因为，所以6分解得，故a 的取值范围为． 8分（3）因为，所以，9分①当，即时，，显然满足，符合题意；11分②当，即时，，因为，所以，或，所以，或，14分综上所述，，或，即a 的取值范围为，或． 15分17．解：（1），①，②①②两式相加，得，．3分，③ 5分∴①③两式相加，得， 7分的取值范围为的取值范围为． 8分（2）令，，9分，10分，11分又，，12分， 14分的取值范围为．15分18．解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 2分U (){2A B x x =< ∣ð9}x >A B =R 23,217,a a -≤⎧⎨+≥⎩35a ≤≤{35}aa ≤≤∣A B A = A B ⊆221a a ->+3a <-A =∅A B ⊆221a a -≤+3a ≥-A ≠∅A B ⊆27a -≥213a +≤9a ≥31a -≤≤1a ≤9a ≥{1aa ≤∣9}x ≥18ab ≤+≤ 34a b ≤-≤4212a ≤≤26a ∴≤≤34,43a b b a ≤-≤∴-≤-≤- 35325,22b b -≤≤∴-≤≤a ∴{26},aa b ≤≤∣3522b b ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭,x a b y a b =+=-,22x y x ya b +-∴==737325()()2222a b y x a b a b ∴-=-=--+21734,()1422a b a b ≤-≤∴≤-≤ 18,8()1a b a b ≤+≤∴-≤-+≤-3312()22a b ∴-≤-+≤-37325()()2222a b a b ∴-≤--+≤25a b ∴-325252522a b a b -⎧⎫⎨-≤≤⎩-⎬⎭72x -4y -， 6分整理得．8分（2）由（1）知，即，10分，∴由基本不等式可得，12分令，解得（舍去）或．14分，当且仅当即时等号成立， 16分∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为． 17分19．解：（1）若p 为真命题，即为真命题，当时，成立，此时;2分当时，，所以在内恒成立， 4分令，则，所以，当且仅当，即时等号成立． 7分所以，故实数a 的取值范围为， 8分（2）设关于x 的方程的两根分别为，则且，所以即11分解得，即实数a 的取值范围为．13分因为p 和q 中一个为真命题一个为假命题，所以p 真q 假，或p 假q 真，当p 真q 假时，所以，15分72(4)7002x y -∴⨯⨯-=7004(7)7y x x =+>-(7)(4)700x y --=47672xy x y =++7,4x y >> 47672672xy x y =++≥+t =26720t --≥t ≤-t ≥1008xy ∴≥47,47672,x y xy x y =⎧⎨=++⎩42,24x y ==42dm 24dm 21008dm 21,30x x ax a ∀≥---+≥1x =-2(1)(11)30a ---++≥a ∈R 1x >-10x +>231x a x +≤+{1}xx >-∣1x t +=1(0)x t t =->2223(1)34242221x t t t t x t t t +-++-===+-≥-=+4t t=2(1)t x ==2a ≤{2}aa ≤∣2260x ax a -+-=12,x x 11x >212121,2,6x x x a x x a >+==-()()()()21212(2)4(6)0,110,110,a a x x x x ⎧---≥⎪-+->⎨⎪-->⎩260,22,6210,a a a a a ⎧+-≥⎪>⎨⎪--+>⎩723a ≤<723a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2,72,,3a a a ≤⎧⎪⎨<≥⎪⎩或2a <当p 假q 真时，所以，所以实数a 的取值范围为． 17分2,72,3a a >⎧⎪⎨≤<⎪⎩723a <<72,23a a a ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭∣或。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.为了解一批数据在各个范围内所占比例的大小，将这批数据分组，落在各个小组的个数叫做（）A．频数B．样本容量C．频率D．累计频数2.在频率分布直方图中各小长方形的面积表示（）A．落在相应各组内的数据的频数B．相应各组的频率C．该样本所分成的组数D．该样本的容量3.为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，按尺码分为5组，第三组的频率为0.25，第1，2，4组的频数为6，7，9，若第5组表示的是40~42的皮鞋，则售出的200双皮鞋中含40~42的皮鞋为（）双A．50B．40C．20D．304.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，前三组是不超过80的其频数之和为20 ，其频率之和为0.4，则抽取的样本的容量为（）A．100B．80C．40D．505.在频率分布直方图中，小长方形的面积是（）A．频率/样本容量B．组距×频率C．频率D．样本数据6.在10人中，有4人是学生，2人是干部，3人是工人，1人是农民，分数2/5是学生占总体的（）A．频数B．概率C．频率D．累积频率7.一个容量为20 的样本数据，分组后组距与频数如下：（10,20］,2;(20,30］,3；(30，40］，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70］，2。
则样本在区间（-，50］上的频率是（）A．5%B．25%C．50%D．70%8.在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a,b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高是h，则，[a-b]等于（）A．hm B．C．D．与m，h无关二、填空题1.在已分组的数据中，每组的频数是指，每组的频率是指。
2.某人掷一个均匀的正方体玩具（它的每个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6），一共抛了7768次，从而统计它落地时向上的数出现的频率。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：73 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1. 已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则数列的公比（ ）A.B.C.或D.或2. （江西赣州摸底）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）A.B.C.D.3. 如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接着正方形如此继续.若共得到个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为( )A.{}a n n S n =2+S 3S 2S 1{}a n q =−12−1212{}a n n S n S 12S 23S 3{}a n 231213⋯⋯311141B.C.D.4. 已知等比数列的公比，且，，则的前项和等于（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5. 已知等比数列的公比为，且＝，则下列选项正确的是（ ）A.B.C.D.6. 记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则 A.B.C.D.7. 设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( )A.数列为等比数列B.数列的通项公式为C.数列为等比数列D.数列的前项和为1618110{}a n q <0=1a 2=+2a n+2a n+1a n {}a n 20202020−11{}a n q a 51+≥2a 3a 7+≥2a 4a 6−2+1≥0a 7a 6−2−1≥0a 3a 4{}a n n S n +=a 2a 410=a 2a 3a 464()−=S n+1S n 2n+1=a n 2n−1=S n −12n =S n −12n−11{}a n n S n =2+n −1S n+1S n (n ∈)N ∗{+n}S n {}a n =−1a n 2n−1{+1}a n {2}S n n −−n −42n+2n 2卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）8. 已知是等比数列，是其前项和．若，，则的值为________．9. 正项等比数列中，＝，＝，记为的前项和．若＝，则＝________．10. 设等比数列的前项和为，若，则________.11. 已知正项等比数列的前项和为，若，则＝________．四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12. 已知等差数列满足，前项和．求的通项公式；设等比数列满足，，求的前项和． 13. 等比数列的前项和为．已知，，成等差数列．求数列的公比；若，求.14. 若为等比数列的前项和．已知，．求的通项公式；求，并判断，，是否成等差数列．15. 在等比数列中，，且.求的通项公式；求数列的前项和.{}a n S n n −4=12a 3a 1=17S 4S 2a 2{}a n a 11a 64a 4S n {}a n n S m 127m {}a n n S n =5S 10S 5=S 15S 10{}a n n S n a 3{}a n =2a 33=S 392(1){}a n (2){}b n =b 1a 1=b 4a 15{}b n n T n {}a n n S n S 12S 23S 3(1)()a n q (2)=27a 1S 8S n {}a n n =2S 2=−6S 3(1){}a n (2)S n S n+1S n S n+2{}a n +=5a 1a 2+=20a 2a 3(1){}a n (2){3+}a n a n −−√n S n参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.【答案】B【考点】等比数列的前n 项和等比数列的性质【解析】，即，得，即，因为数列各项均为正数，所以，所以，故选．【解答】解：，即，得，即，，，因为数列各项均为正数，所以，故选．2.【答案】D【考点】等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】本题考查等比数列的前项和公式、等差数列的性质．设数列的公比为，则由，，成等差数列，得，解得或（舍去），故选．如果，，成等差数列，则有．3.S =2+S 2S 1++=2(+)+a 1a 2a 3a 1a 2a 1=2+a 3a 1a 2=q +2,(q −2)(g +1)=0,q 2q =−1或2a q ≠−1q =2B =2+S 3S 2S 1++=2(+)+a 1a 2a 3a 1a 2a 1=2+a 3a 1a 2=q +2q 2(q −2)(q +1)=0q =−1或2a n q =2B n {}a n q S 12S 23S 34×=+3×(1−)a 1q 21−q a 1(1−)a 1q 31−qq =13q =0D a b c 2b =a +c【答案】A【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式【解析】本题考查等比数列的通项公式及前项和.【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，一共得到个正方形，则，解得，所以最小正方形的边长为.故选.4.【答案】D【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式可得，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由，∴，化为，，解得，又，解得，则的前项和.故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）n 12–√2311+2++⋯+=−1=31222n−12n n =51×(=2–√2)414A q =+2a n+2a n+1a n (−q)=2a n q 2a n −q −2=0q 2q <0q =−1=1=×(−1)a 2a 1=−1a 1{}a n 2020==0−[1−](−1)20201−(−1)D5.【答案】A,C【考点】数列与不等式的综合等比数列的通项公式等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B,C【考点】等比中项等比数列的前n 项和等比数列的通项公式【解析】＝，可得，解得．又＝，可得＝，解得，．再根据等比数列是单调递增，即可得出．【解答】解：∵，∴，解得．又，∴，化为，解得，．时，；，．又等比数列是单调递增，取，．∴，故正确；∴，故正确，错误；a 2a 3a 464=64a 33a 3+a 2a 410+4q 4q10q a 1{}a n =a 2a 3a 464=64a 33=a 34+=a 2a 410+4q =4q 102−5q +2=q 20q =212q =2=a 11q =12=a 116{}a n q =2=a 11=a n 2n−1B ==−1S n −12n 2−12n C D −1−(−1)=n+1n，故错误.故选.7.【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式数列的求和等比数列【解析】利用数列递推式，构造等比数列，求和，逐个判断即可求出.【解答】解：因为，所以 .又，所以数列为首项是，公比是的等比数列，故正确；所以，则，当时， ，但，故错误；所以数列，但，故数列也不是等比数列，故错误；因为，所以的前项和为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）8.【答案】【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式【解析】−=S n+1S n −1−(−1)=2n+12n 2n A BC =2+n −1S n+1S n ==2+n +1S n+1+n S n 2+2n S n +n S n +1=2S 1{+n}S n 22A +n =S n 2n =−n S n 2n n ≥2=−=−1a n S n S n−12n−1=1≠−1a 121−1B +1=a n 2n−1(n ≥2)+1=2≠a 121−1{+1}a n C 2=−2n S n 2n+1{2}S n n −=−−n −44(1−)2n 1−2n (2+2n)22n+2n 2D AD ±4【解答】解：因为，所以当时， ，此时，又，所以 ，当时， ，又，得，所以，综上所述，的值为．故答案为：．9.【答案】【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据题意，设正项等比数列的公比为，由＝，变形分析可得的值，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．【解答】根据题意，设正项等比数列的公比为，则，若＝，即＝，解可得＝，＝，即＝＝＝，解可得＝，10.【答案】【考点】等比数列的前n 项和等比数列的性质【解析】【解答】=17S 4S 2+=16(+)a 3a 4a 1a 2+=0a 1a 2q =−1=−=a 3a 2a 1−4=12a 3a 1=4a 2+≠0a 1a 2=16q 2−4=12a 3a 1=1a 1=±4a 2a 2±4±47{}a n q a 64a 4q n {}a n q q >0a 64a 4q 24q 2S m 127S m −12m 127m 7215S −S S −S S解：由等比数列的性质可得，，（各项不为）也成等比数列，不妨设，由，可得，，解得，则．故答案为：．11.【答案】【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，由等比数列的通项公式可得（+＝（+，变形解可得答案．【解答】根据题意，设等比数列的公比为，若，则有＝（++++），即（+＝（+，变形可得＝，又由为正项等比数列，则＝，四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12.【答案】解：设等差数列的公差为，则由已知条件得：解得代入等差数列的通项公式得：；由得，．设的公比为，则，从而，S 5−S 10S 5−S 15S 100=1S 5=5S 10S 5=5S 10∴(5−1=1×(−5))2S 15=21S 15=S 15S 102152154{}a n q a 3+1+q +)q 2+1+q +)q 2{}a n q (++++)a 2a 2a 3a 5a 516a 4+1+q +)q 2+1+q +)q 2a 2216{}a n a 32(1){}a n d +2d =2，a 13+d =，a 13×2292=1，a 1d =，12=1+=a n n −12n +12(2)(1)=1，===8b 1b 4a 1515+12{}b n q ==8q 3b 4b 1q =2==−1(1−)b n 1×(1−)2n故的前项和．【考点】等比数列的前n 项和等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前项和公式求得前项和．【解答】解：设等差数列的公差为，则由已知条件得：解得代入等差数列的通项公式得：；由得，．设的公比为，则，从而，故的前项和．13.【答案】解：，，成等差数列，.解得，.∵，，∴.【考点】等比数列的通项公式1{}b n n ===−1T n (1−)b 1q n 1−q 1×(1−)2n 1−22n {}a n d =1，===8b 1b 4a 1515+12n {}b n n T n (1){}a n d +2d =2，a 13+d =，a 13×2292 =1，a 1d =，12=1+=a n n −12n +12(2)(1)=1，===8b 1b 4a 1515+12{}b n q ==8q 3b 4b 1q =2{}b n n ===−1T n (1−)b 1q n 1−q 1×(1−)2n 1−22n (1)∵S 12S 23S 3∴4(+)=+3(++)a 1a 2a 1a 1a 2a 3=3a 2a 3∴q ===a 3a 2a 33a 313(2)=27a 1q =13=S 827×[1−]()1381−13=328081等差中项等比数列的前n 项和【解析】【解答】解：，，成等差数列，.解得，.∵，，∴.14.【答案】解：设公比为，由题设可得 解得：，.故的通项公式；由可得：，由于，故，，成等差数列．【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】（1）由题意可知，，，由，列方程即可求得及，根据等比数列通项公式，即可求得的通项公式；(1)∵S12S 23S 3∴4(+)=+3(++)a 1a 2a 1a 1a 2a 3=3a 2a 3∴q ===a 3a 2a 33a 313(2)=27a 1q =13=S 827×[1−]()1381−13=328081(1){}a n q {(1+q)=2，a 1(1+q +)=−6,a 1q 2q =−2=−2a1{}a n =(−2a n )n (2)(1)=S n (1−)a 1q n1−q =−+(−123)n 2n+13+=−+(−1S n+2S n+143)n −2n+32n+23=2[−+(−1⋅]=223)n 2n+13S n S n+1S n S n+2=−=−6−2=−8a 3S 3S 2==a 1a 3q 2−8q 2==a 2a 3q −8q+=2a 1a 2q a 1{}a n本题考查等比数列通项公式，等比数列前项和，等差数列的性质【解答】解：设公比为，由题设可得 解得：，.故的通项公式；由可得：，由于，故，，成等差数列．15.【答案】解：因为公比，所以，即，故；因为，所以.【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为公比，所以，即，故；因为，所以.n (1){}a n q {(1+q)=2，a 1(1+q +)=−6,a 1q 2q =−2=−2a 1{}a n =(−2a n )n (2)(1)=S n (1−)a 1q n 1−q =−+(−123)n 2n+13+=−+(−1S n+2S n+143)n −2n+32n+23=2[−+(−1⋅]=223)n 2n+13S n S n+1S n S n+2(1)q ==4+a 2a 3+a 1a 2+=5=5a 1a 2a 1=1a 1=a n 4n−1(2)3+=3⋅+a n a n −−√4n−12n−1=3×+S n 1−4n 1−41−2n1−2=−1+−1=+−24n 2n 4n 2n (1)q ==4+a 2a 3+a 1a 2+=5=5a 1a 2a 1=1a 1=a n 4n−1(2)3+=3⋅+a n a n −−√4n−12n−1=3×+S n 1−4n 1−41−2n1−2=−1+−1=+−24n 2n 4n 2n。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋72.如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3.观察下表：则f(g(3)－f(－1))＝()A. 3B. 4C. －3D. 54.已知函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋B．f(x)＝x2＋2C．f(x)＝x2D．f(x)＝(x－)25.已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(12)＝()A．p＋q B．2p＋qC．p＋2q D．p2＋q二、填空题1.已知函数，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．2.若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝______.3.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量（）与其运费（元）之间的关系由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为__________（）.三、解答题1.已知f(x＋4)＋f(x－1)＝x2－2x，其中f(x)是二次函数，求函数f(x)的解析式．2.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．3.设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．4.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y关于x的解析式；(2)用列表法表示此函数，并画出图象．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7【答案】B【解析】∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是g(x)＝f(x－2),即在f(x)＝2x＋3的解析式中,将自变量x都用x-2来替换,代入求出f(x－2)的解析式,即所求的g(x)的解析式.2.如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C正确；D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．故选A．【考点】本题主要考查几何体的特征，函数的单调性。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高一上数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：117 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.设，函数的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 关于的方程：有两个实数根，则实数的取值范围可以是（ ）A.B.C.D.3. 不等式的解集是（ ）A.B.C.D.4. 已知，，，若，则，，的大小关系是（ ）α∈R f(x)=(−a 13)x−1x +2+a =02x−1x 2a (,+∞)12(1,+∞)(−∞,1)(−∞,−)12>10.52lg|x|(−1,1)(−1,0)∪(0,1)∅(−∞,−)∪(,+∞)1212f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)g(2)h(2)f(2)>g(2)>h(2)A.B.C.D.5. 若，则关于的不等式的解集是（ ）A.B.C.D.6. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 已知集合，则满足的集合可以是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8. 关于函数 下列说法正确的是（ ）A.值域B.值域C.单调增区间f(2)>g(2)>h(2)g(2)>f(2)>h(2)h(2)>g(2)>f(2)h(2)>f(2)>g(2)0<a <1x >a +x−88x2102lg a {x |x <−10或x >9}{x |x <−9或x >10}{x |−10<x <9}{x |−9<x <10}f(x)=(−1a 2)x (−∞,+∞)a |a |>1|a |>2|a |>2–√1<|a |<2–√A =(y |y =,x ∈R)()12+1x 2A ∩B =B B (0,)12{x |−1≤x ≤1}(x |0<x <)12{x |x >0}f (x)=3−2x x2(0,]13[,+∞)13[1,+∞)(−∞,1]D.单调减区间9. 给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）A.函数的最大值为B.设正数，，满足，C.已知函数且在上是减函数则的取值范围是D.在同一直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）10. 函数的单调递增区间为________．11. 函数的单调递减区间是________；值域是________.12. 方程的解是________．13. 已知集合，，若是必要不充分条件，则实数 的取值范围是________．14. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．15. 函数的最小值为________．16. 方程的解为________．17. 函数的单调增区间为________． 18. 若的值域为，则的取值范围是________．(−∞,1]y =()12−+1x 212a b c ==4a 6b 9c =−1c 2b 1ay =(2−ax)(a >0log a a ≠1)(0,1)a (1,2]y =x log 3y =x log 13x f(x)=(12)−2x−3x 2y =(13)1+2x−x 2−3⋅−16=04x+12x+2A ={x |(<1}12)−x−6x 2B ={x |(x +a)<1}log 4x ∈A x ∈B a 0≤x ≤2a ≤−3×−44x 2x a y =+2x 2−x −=22x 12|x|f(x)=(12)−+4x x 2f(x)=(x ∈[a,b])3|x|[1,9]b −a19. 已知，则的最小值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）20. 已知函数是奇函数，是偶函数．求，的值；求证：；若方程在上有一个实数根，求的取值范围． 21. 已知二次函数．若为偶函数，求在上的值域；当时， 恒成立，求实数的取值范围．22. 已知为上的奇函数， 为 上的偶函数，且，其中．求函数和的解析式；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；若，，使成立，求实数的取值范围．23. 已知全集，集合，，，求，．24. 已知函数是定义在上的奇函数，且，，当时，，为常数）．求：和的值；当时，的解析式；在上的解析式．25. 已知定义域为的函数 满足 ，当时，．求函数的解析式；解关于的不等式： ．{2x −y ≤0x −3y +5≥0(13)2x+y−2f (x)=−a e x e −x2g(x)=−b e x e −x2(1)a b (2)−=1[g(x)]2[f (x)]2(3)−kf (x)−3=0[g(x)]2[ln(+1),+∞)2–√k f (x)=−2(a −1)x +4x 2(1)f (x)f (x)[−1,3](2)x ∈[1,2]f (x)>ax a f (x)R g(x)R f (x)+g(x)=2e x e =2.71828⋯(1)f (x)g(x)(2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)a (3)∀∈[0,1]x 1∃∈[m,+∞x 2)f ()=x 2e −|−m|x 1m U =R A ={x |−9⋅+8<0}4x 2x B ={x |≥1}5x +2C ={x ||x −2|<4}A ∪B A ∩C C U f (x)R f (−1)=−4f (2)=9x >0f (x)=+ax +b(a 2x b (1)a b (2)x <0f (x)(3)f (x)R R f (x)f (x)+f (−x)=0x >0f (x)=log 21x (1)f (x)(2)x f (−)+3>02x log 2参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵为减函数，∴当时，函数，则函数不经过第四象限，若，则，此时函数不经过第三象限，若，则，则函数不经过第一象限，故函数的图象一定经过第二象限.故选.2.【答案】D【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．【解答】f(x)=(−a13)x−1a =0f(x)>0a =3f(0)=1−1=0a <3f(0)=1−a <0f(x)B +2+a =0x−12=−2−ax−12解：由得：，设函数，，作出两个函数的图象如图，当两个函数与存在两个交点，即，∴，即实数的取值范围可以是，故选：．3.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】先利用指数函数的单调性，将不等式等价转化为对数不等式，再利用对数函数的定义和单调性将不等式转化为绝对值不等式，进而利用公式得不等式解集【解答】解：不等式不等式，或∴不等式的解集是故选4.【答案】D【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由已知中，，，结合指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，及，估算，，的値，可得答案．【解答】解：∵，，，若，+2+a =02x−1x 2=−2−a 2x−1x 2f(x)=2x−1g(x)=−2−a x 2g(0)>f(0)f(x)g(x)−a >12a <−12a (−∞,−)12D >1⇔0.52lg|x|>0.52lg|x|0.50⇔2lg |x |<0⇔lg |x |<lg1⇔0<|x |<1⇔−1<x <00<x <1>10.52lg|x|(−1,0)∪(0,1)B f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)g(2)h(2)f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)∈(0,1)则，，，故，故选：5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得，故有 ，即，由此求得不等式的解集．【解答】解：∵，，∴，即，解得，故选．6.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：若在上是增函数，则，即，即，故选：．7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用f(2)∈(0,1)g(2)∈(−∞,0)h(2)∈(1,2)h(2)>f(2)>g(2)D >=a +x−88x 2102lg a a 2+x −88<2x 2(x +9)(x −10)<00<a <1>==a +x−88x 2102lg a 10lg a 2a 2+x −88<2x 2(x +9)(x −10)<0−10<x <9C f(x)=(−1a 2)x (−∞,+∞)−1>1a 2>2a 2|a |>2–√C交、并、补集的混合运算【解析】利用复合函数的值域知识可得}，因为，所以，所以答案是．【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8.【答案】B,C,D【考点】函数的值域及其求法函数单调性的判断与证明复合函数的单调性指数型复合函数的性质及应用【解析】利用二次函数求出函数的最值，结合复合函数单调性得到函数单调区间，依次验证选项，即可得到答案.【解答】解：,.的值域是.令,则在单调递减，在单调递增，在上是增函数，的单调增区间是,单调减区间是.故选.9.【答案】B,C,D【考点】3A ={y|0<y ≤}12|A ∩B =B B ⊆A C ∵−2x =−1≥−1x 2(x −1)2∴≥=3−2x x 23−113∴f(x)[,+∞)13u(x)=−2x =−1x 2(x −1)2u(x)(−∞,1][1,+∞)∵y =3x R ∴f(x)[1,+∞)(−∞,1]BCD命题的真假判断与应用指数型复合函数的性质及应用对数及其运算【解析】直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断的结论，利用函数的对称性判断的结论．【解答】解：，函数的最小值为，故错误；，设正数，，满足，设，，，，则，，，，，故正确；，已知函数且在上是减函数，所以解得，故正确；，在上单调递增，且过点，在上单调递减，且过点，，故，即图形关于轴对称，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）10.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】要求函数的单调递增区间，根据复合函数的单调性可知，只有求函数的单调递增区间即可【解答】解：令，在单调递减，在单调递增A BC D A y =()12−+1x 212A B a b c ==4a 6b 9c ===M 4a 6b 9c ∴a =M log 4b =M log 6c =M log 9=41a log M =61b log M =91c log M 4+9=26log M log M log M ∴=−1c 2b 1a B C y =(2−ax)(a >0log a a ≠1)(0,1){a >1,2−a ≥0,1<a ≤2C D y =x log 3(0,+∞)(1,0)y =x log 13(0,+∞)(1,0)x =x =x =−x log 13log 3−11−1log 3log 3x =−x log 13log 3x D BCD (−∞,1]f(x)=(12)−2x−3x2t =−2x −3x 2t =−2x −3=(x −1−2x 2)2(−∞,1][1,+∞)(t)=(1∵在上单调递减由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为故答案为：11.【答案】,【考点】指数型复合函数的性质及应用复合函数的单调性函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则函数在定义域内单调递减，又，其图象开口向下，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，.故答案为：；.12.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数幂的运算性质可将方程变形为然后将看做整体解关于的一元二次方程即可．【解答】解：即为f(t)=(12)t R (−∞,1](−∞,1](−∞,1][,+∞)19t =1+2x −x 2y =(13)t t =1+2x −=−(x −1+2x 2)2t =1+2x −x 2(−∞,1][1,+∞)y =(13)1+2x−x 2(−∞,1][1,+∞)=(=y min 13)1+2×1−1219(−∞,1][,+∞)19x =2−3⋅−16=04x+12x+24⋅(−12⋅−16=02x )22x 2x t −3⋅−16=04x+12x+24⋅(−12⋅−16=02x )22x 4−12t −16=02令则有解得，（舍）所以，故答案为．13.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点必要条件、充分条件与充要条件的判断指数型复合函数的性质及应用【解析】解指数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由题意可得，经检验 ，从而得到，或 ，由此求得实数 的取值范围．【解答】解：∵．}．是必要不充分条件，可得，∴或 ．当 时，，无解．∴．∴，或 ．解得 或 ，故答案为 ．14.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】先将不等式恒成立问题转化为求函数，的最小值问题，再利用换元法设，将问题转化为求关于的二次函数的最值问题，最后利用配方法求其最小值即可【解答】解：令，设，则=t 2x 4−12t −16=0t 2t =4t =−1=42x x =2x =2(−∞,−3]∪[6,+∞)A B B ⊊A B ≠∅−a <4−a ≤−23≤−a <4−a a A ={x |(<1}={x |−x −6>0}={x |x <−2或x >3}12)−x−6x2x 2B ={x |(x +a)<1}={x |0<x +a <4}=[x |−a <x <4−a log 4x ∈A x ∈B B ⊊A B =∅B ≠∅B =∅4−a ≤−a a B ≠∅−a <4−a ≤−23≤−a <4−a a ≥6a ≤−3(−∞,−3]∪[6,+∞)(−∞,−]254f(x)=−3×−44x 2x t =2x t f(x)=−3×−44x 2x t =2x 1≤t ≤4(x)=g(t)=−3t −4=(t −−325则，∴当时，取最小值即的最小值为若不等式恒成立，只需小于或等于的最小值，∴故答案为15.【答案】【考点】基本不等式指数型复合函数的性质及应用【解析】根据基本不等式的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴，当且仅当，即，时取等号，故函数的最小值为，故答案为：16.【答案】【考点】指数式与对数式的互化指数型复合函数的性质及应用【解析】当时方程无解，当时，将看成成整体，求一元二次方程，然后解对数方程即可求出所求．【解答】f(x)=g(t)=−3t −4=(t −−t 232)2254(1≤t ≤4)t =32g(t)−254f(x)=−3×−44x 2x −254a ≤−3×−44x 2x a f(x)a ≤−254(−∞,−]2542y =>02x y =+≥2=22x 2−x ⋅2x 2−x −−−−−−√=2x 2−x x =−x x =0y =+2x 2−x 22(+1)log 22–√x ≤0x >02x =21解：当时，无解当时，解得：即故答案为：17.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】令，则，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数的减区间，再利用二次函数的性质可得的减区间．【解答】解：令，则，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数的减区间．再利用二次函数的性质可得 的减区间为，故答案为．18.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】本题主要考查指数函数的图象和性质，根据值域求出对应，的取值可能即可的结论．【解答】解：当时，，当时，，即，若，则，此时，若，则，此时，综上.故答案为：.19.x ≤0−=22x 12−xx >0−=22x 12x (−2⋅−1=02x )22x =+12x 2–√x =(+1)log 22–√(+1)log 22–√[2,+∞)t =−+4x =−(x −2+4x 2)2f(x)=(12)t t t t =−+4x =−(−4x)=−(x −2+4x 2x 2)2f(x)=(12)t t t =−(x −2+4)2[2,+∞)[2,+∞)[2,4]a b =13|x|x =0=93|x||x |=2x =±2a =−20≤b ≤22≤b −a ≤4b =2−2≤a ≤02≤b −a ≤42≤b −a ≤4[2,4]【答案】【考点】简单线性规划指数型复合函数的性质及应用【解析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值，再代入求出的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：当，时，的最大值，∴的最小值是故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）20.【答案】解：∵是奇函数，∴恒成立，∴，∴．∵是偶函数，∴恒成立，∴，∴．证明：∵，，∴．解：记，函数在上单调递增，∴.由可得，∴原问题转化为方程在上有一个实数根，19{2x −y ≤0x −3y +5≥0Z =2x +y −2(13)2x+y−2{2x −y ≤0x −3y +5≥0x =1y =2Z =2x +y −22(13)2x+y−21919(1)f (x)f (−x)=−f (x)(+)(a −1)=0e x e −x a =1g(x)g(−x)=g(x)(−)(b +1)=0e x e −x b =−1(2)=[g(x)]2++2e 2x e −2x 4=[f (x)]2+−2e 2x e −2x 4−[g(x)]2[f (x)]2=−=1++2e 2x e −2x 4+−2e 2x e −2x 4(3)t =f (x)f (x)[ln(+1),+∞)2–√t =f (x)≥f (ln(+1))=12–√(2)=1+[g(x)]2[f (x)]2−kt −2=0t 2[1,+∞)=t −2即在上有一个实数根，记，易知在单调递增，∴．【考点】函数奇偶性的性质由函数零点求参数取值范围问题函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是奇函数，∴恒成立，∴，∴．∵是偶函数，∴恒成立，∴，∴．证明：∵，，∴．解：记，函数在上单调递增，∴.由可得，∴原问题转化为方程在上有一个实数根，即在上有一个实数根，记，易知在单调递增，∴．21.【答案】解：为二次函数，其对称轴为，若为偶函数，则，解得，所以，因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以，即函数的值域为．由题意知时， 恒成立，即，k =t −2t [1,+∞)h (t)=t −2t h (t)[1,+∞)k ≥h (1)=−1(1)f (x)f (−x)=−f (x)(+)(a −1)=0e x e −x a =1g(x)g(−x)=g(x)(−)(b +1)=0e x e −x b =−1(2)=[g(x)]2++2e 2x e −2x 4=[f (x)]2+−2e 2x e −2x 4−[g(x)]2[f (x)]2=−=1++2e 2x e −2x 4+−2e 2x e −2x 4(3)t =f (x)f (x)[ln(+1),+∞)2–√t =f (x)≥f (ln(+1))=12–√(2)=1+[g(x)]2[f (x)]2−kt −2=0t 2[1,+∞)k =t −2t [1,+∞)h (t)=t −2t h (t)[1,+∞)k ≥h (1)=−1(1)f (x)=−2(a −1)x +4x 2x =a −1f (x)a −1=0a =1f (x)=+4x 2−1≤x ≤3x =0f (x)4x =3f (x)134≤f (x)≤13f (x)[4,13](2)x ∈[1,2]f (x)>ax −(3a −2)x +4>0x 2g(x)=−(3a −2)x +42g >0(x)令，所以只需，的对称轴为，当，即时，，解得，所以，当，即时，，解得，所以；当，即时，，解得，舍去，综上所述，的取值范围是.【考点】二次函数的性质函数的值域及其求法函数奇偶性的性质函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：为二次函数，其对称轴为，若为偶函数，则，解得，所以，因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以，即函数的值域为．由题意知时， 恒成立，即，令，所以只需，的对称轴为，当，即时，，解得，所以，当，即时，，g(x)=−(3a −2)x +4x 2g >0(x)min g(x)x =3a −22≤13a −22a ≤43g =g(1)=7−3a >0(x)min a <73a ≤431<<23a −22<a <243g =g()=4−>0(x)min 3a −22(3a −2)24−<a <223<a <243≥23a −22a ≥2g =g(2)=12−6a >0(x)min a <2a (−∞,2)(1)f (x)=−2(a −1)x +4x 2x =a −1f (x)a −1=0a =1f (x)=+4x 2−1≤x ≤3x =0f (x)4x =3f (x)134≤f (x)≤13f (x)[4,13](2)x ∈[1,2]f (x)>ax −(3a −2)x +4>0x 2g(x)=−(3a −2)x +4x 2g >0(x)min g(x)x =3a −22≤13a −22a ≤43g =g(1)=7−3a >0(x)min a <73a ≤431<<23a −22<a <243g =g()=4−>0(x)min 3a −22(3a −2)24<a <22a <24解得，所以；当，即时，，解得，舍去，综上所述，的取值范围是.22.【答案】解：由题意知，．于是，解得；，解得．由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．设，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需．因为为上的增函数，所以．当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法不等式恒成立问题函数的单调性及单调区间−<a <223<a <243≥23a −22a ≥2g =g(2)=12−6a >0(x)min a <2a (−∞,2)(1)f (x)+g(x)=2e x −f (x)+g(x)=2e −x 2g(x)=2+2e x e −x g(x)=+e x e −x 2f (x)=2−2e x e −x f (x)=−e x e −x (2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)f (x)R f (+3)>f (ax −1)x 2(0,+∞)f (x)=−e x e −x R +3>ax −1x 2(0,+∞)a <x +4x (0,+∞)a <(x +)4x min x +≥2=44x x ×4x −−−−−√x =4xx =2a <4(3)h (x)=e −|x−m|f (x)[m,+∞)f(x)min h (x)[0,1]h(x)min f ≤h (x)min (x)min f (x)=−e x e −x R f =−(x)min e m e −m m ≥0h (x)(−∞,m)(m,+∞)x ∈[0,1]h =min (x)min {h (0),h (1)}{h (0)=≥−,e −|m|e m e −m h (1)=≥−.e −|1−m|e m e −m h (0)=≥−e −|m|e m e −m ≤2e m e −m ≤2e 2m m ≤ln 212m ≤ln 2<112h (1)==≥−e −|1−m|e m−1e m e −m ≤e 2m e e −1m ≤ln 12e e −1<2e e −10≤m ≤ln 12e e −1m <0h (x)[0,1]h =h (1)=(x)min e m−1>0e m−1−<0e m e −m m <0h (1)=≥−=f e m−1e m e −m (x)min m (−∞,ln ]12e e −1已知函数的单调性求参数问题【解析】无【解答】解：由题意知，．于是，解得；，解得．由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．设，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需．因为为上的增函数，所以．当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．23.【答案】解：由，得．由，得．由，得．所以，．(1)f (x)+g(x)=2e x −f (x)+g(x)=2e −x 2g(x)=2+2e x e −x g(x)=+e x e −x 2f (x)=2−2e x e −x f (x)=−e x e −x (2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)f (x)R f (+3)>f (ax −1)x 2(0,+∞)f (x)=−e x e −x R +3>ax −1x 2(0,+∞)a <x +4x (0,+∞)a <(x +)4x min x +≥2=44x x ×4x −−−−−√x =4xx =2a <4(3)h (x)=e −|x−m|f (x)[m,+∞)f(x)min h (x)[0,1]h(x)min f ≤h (x)min (x)min f (x)=−e x e −x R f =−(x)min e m e −m m ≥0h (x)(−∞,m)(m,+∞)x ∈[0,1]h =min (x)min {h (0),h (1)}{h (0)=≥−,e −|m|e m e −m h (1)=≥−.e −|1−m|e m e −m h (0)=≥−e −|m|e m e −m ≤2e m e −m ≤2e 2m m ≤ln 212m ≤ln 2<112h (1)==≥−e −|1−m|e m−1e m e −m ≤e 2m e e −1m ≤ln 12e e −1<2e e −10≤m ≤ln 12e e −1m <0h (x)[0,1]h =h (1)=(x)min e m−1>0e m−1−<0e m e −m m <0h (1)=≥−=f e m−1e m e −m (x)min m (−∞,ln ]12e e −11<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B =(−2,3]A ∩C =(−2,0]∪[3,6)C U【考点】交、并、补集的混合运算指数型复合函数的性质及应用其他不等式的解法【解析】由，得．由，得．由，得．由此能求出，．【解答】解：由，得．由，得．由，得．所以，．24.【答案】解：∵为奇函数，，得．又∵，∴可得，．由得，当时，．设，则，． 为奇函数，∴，∴，∴当时，．∵函数为奇函数，，∴函数在上的解析式为【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】1<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B A ∩C C u 1<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B =(−2,3]A ∩C =(−2,0]∪[3,6)C U (1)f (x)∴f (−1)=−f (1)=−4f (1)=4f (2)=9{2+a +b =4,4+2a +b =9,a =3b =−1(2)(1)x >0f (x)=+3x −12x x <0−x >0f (−x)=−3x −12−x ∵f (x)f (−x)=−f (x)=−3x −12−x f (x)=−+3x +12−x x <0f (x)=−+3x +12−x (3)f (x)f (0)=0f (x)R f(x)= +3x −1,x >0,2x 0,x =0,−+3x +1,x <0.2−x (1)f (x)解：∵为奇函数，，得．又∵，∴可得，．由得，当时，．设，则，． 为奇函数，∴，∴，∴当时，．∵函数为奇函数，，∴函数在上的解析式为25.【答案】解：由得函数为奇函数，当时，，则，∴，，∴ 由知当时， ，为减函数，可将不等式转化为，∴，∴，所以不等式的解集为．【考点】对数的运算性质函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】【解答】(1)f (x)∴f (−1)=−f (1)=−4f (1)=4f (2)=9{2+a +b =4,4+2a +b =9,a =3b =−1(2)(1)x >0f (x)=+3x −12x x <0−x >0f (−x)=−3x −12−x ∵f (x)f (−x)=−f (x)=−3x −12−x f (x)=−+3x +12−x x <0f (x)=−+3x +12−x (3)f (x)f (0)=0f (x)R f(x)= +3x −1,x >0,2x 0,x =0,−+3x +1,x <0.2−x (1)f (x)+f (−x)=0f (x)x <0−x >0f (−x)=(−)log 21x f (x)=−(−)log 21x f (0)=0f(x)= ，x >0，log 21x 0，x =0，(−x)，x <0.log2(2)(1)x <0f (x)=(−x)log 2f (−)+3>02x log 2f (−)>−3=f (−)2x log 213>2x 13x >−3log 2(−3,0)log 2(1)f (x)+f (−x)=0f (x)解：由得函数为奇函数，当时，，则，∴，，∴ 由知当时， ，为减函数，可将不等式转化为，∴，∴，所以不等式的解集为．(1)f (x)+f (−x)=0f (x)x <0−x >0f (−x)=(−)log 21x f (x)=−(−)log 21x f (0)=0f(x)= ，x >0，log 21x 0，x =0，(−x)，x <0.log 2(2)(1)x <0f (x)=(−x)log 2f (−)+3>02x log 2f (−)>−3=f (−)2x log 213>2x 13x >−3log 2(−3,0)log 2。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：74 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1. 正项数列中，为数列的前项和，且对于任意，满足，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为( )A.B.C.D.2. 已知各项均为正数的等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为( )A.B.C.D.3. 等差数列的公差为，关于的不等式的解集是，则使得数列的前项和大于零的最大的正整数的值是A.B.C.D.不能确定{}a n S n {}a n n n ∈N ∗=4(+1)a n 2S n 2+−+2019>0S n S k a n a k n k 26462545{}a n =+2a 7a 6a 5a m a n =4a m a n −−−−√a 1+1m 4n3253949{}a n d x +(−)x +c ≥0d 2x 2a 1d 2[0,22]{}a n n n ()2122234. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：，，，，，，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为( )A.B.C.D.5. 已知等比数列满足＝，＝，若＝，是数列的前项和，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）6. （3分） 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图，在长度为的线段上取两个点，，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形．设图，图，图，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则A.数列是等比数列B.C.恒成立D.存在正数，使得恒成立卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）112358⋯=a n+2+a n+1a n (n ∈)N ∗=[−]a n 15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n n [(1+−(1−]>2x +11log 2√5–√)x 5–√)x n 111098{}a n a 516−a 4a 34b n na n S n {}b n n ∀n ∈N +−m ≤1S n b n m [1,+∞)[2,+∞)[3,+∞)[4,+∞)11AB C D AC =DB =AB 14CD AB CD 22EF 3123n a n {}a n n S n (){}a n =S 106657256<3a n m <m S n {}:17. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列，，，，，，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设是不等式的正整数解，则的最小值为________.8. 已知等比数列{________．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9. 设为数列}的前项和，令，其中．当时，数列中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；证明：对，关于的方程在上有且仅有一个根；证明：对，由中构成的数列满足10. 在中，角，，的对应边分别是，，满足．求角的大小；已知等差数列的公差不为零，若＝，且，，成等比数列，求的前项和． 11. 已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求证：．12. 已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，且满足：，，.求证：数列为等差数列；若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．13. 已知点列，，…，，且与向量垂直，其中是不等于零的实常数，是正整数．设，求数列的通项公式，并求其前项和．{}:1a n 12358⋯=[−]a n 15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n n [−]>x +6log 2(1+)5–√x (1−)5–√x n =,=,a n x n b n 1n2S n {⋅a n b n n (x)=−1f n S n x ∈R ，n ∈N +(1)x =2{}a n (2)∀n ∈N +x (x)=0f n x ∈[,1]23x n (3)∀p ∈N +(2)x n {}x n 0<−<.x n x n+p 1n △ABC A B C a b c +=bc +b 2c 2a 2(1)A (2){}a n cos A a 11a 2a 4a 8{}4a n a n+1n S n f(x)=a x (1,)12(n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x {}a n =−b n a n+112a n {}b n n S n <5S n {}a n n S n {}b n =−1=1a 1b 1=4+4n +1a 2n+1S n =+1b 4a 8(1){}a n (2)(4−m)>a n b n (−1)a n 2n ∈N ∗m (,1)M 1x 1(,2)M 2x 2(,n)M n x n M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1c n =1x 1{}x n n S n参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1.【答案】B【考点】数列与函数最值问题数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得： ①，，①-②化简得：.当时，，解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，，所以，当时，，恒成立，即 恒成立4=S n (+1)a n 24=(+1S n−1a n−1)2=+2a n a n−1n =14=4=S 1a 1(+1)a 12=1a 1{}a n 12=+(n −1)d =2n −1a n a 1=n +d =n +n(n −1)=S n a 1n(n −1)2n 22+−+2019S n S k a n a k 2+−(2n −1)(2k −1)+2019>0n 2k 2n ∈N ∗2+−(2n −1)(2k −1)+2019>0n 2k 22+−4kn +2n +2k +2018>0n 2k 2f(n)=2+−4kn +2n +2k +201822令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，即，解得，所以整数的最大值是.故选.2.【答案】A【考点】数列与不等式的综合基本不等式在最值问题中的应用等比数列的通项公式【解析】为等比数列，可设首项为，公比为，从而由可以得出公比，而由可以得出，从而得到，从而便得到，这样可以看出，根据基本不等式即可得出的最小值．【解答】解：设数列的首项为，公比为，则由，得，∴，∵，∴解得，∴由，得，∴，∴，，f(n)=2+−4kn +2n +2k +2018n 2k 2(n)=4n −4k +2f ′n >4k −24(n)>0f ′f(n)n <4k −24(n)<0f ′f(n)f(n =f())min 4k −24=−+4k +k 240352−+4k +>0k 240352<k <4−8086−−−−√24+8086−−−−√2k 46B {}a n a 1q =+2a 7a 6a 5q =2=4a m a n −−−−√a 1m +n =6=1m +n 6+=+1m 4n m +n 6m 4(m +n)6n +1m 4n{}a n a 1q =+2a 7a 6a 5=+2a 1q 6a 1q 5a 1q 4−q −2=0q 2>0a n q =2=4a m a n −−−−√a 1=4a 212m+n−2−−−−−−−−√a 1=2m+n−224m +n −2=4m +n =61m +n∴，∴，，即时取“”，∴的最小值为．故选.3.【答案】A【考点】数列与函数最值问题数列与不等式的综合【解析】关于的不等式的解集是，利用根与系数的关系可得：，，化为：，再利用通项公式即可得出．【解答】解：关于的不等式的解集是，∴，，化为：，∴，，∴，即.∴，，故使得数列的前项和大于零的最大的正整数的值是．故选．4.=1m +n 6+⋅()=+1m 4n m +n 6m +n 6m 4(m +n)6n =+++≥++=16n 6m 2m 3n 2316232332=n 6m 2m 3n n =2m =+1m 4n 32A x +(−)x +c ≥0d 2x 2a 1d 2[0,22]0+22=−−a 1d 2d 2<0d 2=−a 121d 2x +(−)x +c ≥0d 2x 2a 1d 2[0,22]0+22=−−a 1d 2d 2<0d 2=−a 121d 2=+10d =−>0a 11a 1d 2=+11d =<0a 12a 1d 2+=0a 11a 12+=0a 1a 22==21>0S 2121(+)a 1a 212a 11==0S 2222(+)a 1a 222{}a n n n 21AD【考点】对数及其运算数列的函数特性数列与不等式的综合【解析】首先对不等式进行化简得出，即，根据数列的单调性，求出满足不等式成立的的最小值即可.【解答】解：∵是不等式的正整数解，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴.令，则数列即为斐波那契数列，∴，即.∵为递增数列，∴也为递增数列.∵，，，，∴使得成立的的最小值为.故选．5.【答案】B>a n ()2–√115–√>a 2n 2115n n [−]>2x +11log 2√(1+)5–√x (1−)5–√x [−]>2n +11log 2√(1+)5–√n (1−)5–√n [−]−2n >11log 2√(1+)5–√n (1−)5–√n [−]−>11log 2√(1+)5–√n(1−)5–√n log 2√()2–√2n [−]−>11log 2√(1+)5–√n (1−)5–√n log 2√2n []>11log 2√−(1+)5–√n (1−)5–√n2n [−]>11log 2√()1+5–√2n ()1−5–√2n −>()1+5–√2n ()1−5–√2n ()2–√11[−]>15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n ()2–√115–√=[−]a n 15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n {}a n >a n ()2–√115–√>a 2n 2115{}a n {}a 2n =13a 7=21a 8<a 272115>a 282115>a 2n 2115n 8D数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）6.【答案】B,C【考点】数列递推式数列与不等式的综合数列的应用数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，∴，，∴不是等比数列，故错误；，恒成立，故正确;=1a 1=2×+1a 212=2××+2×+1a 3121212=2×××+2××+2×+1a 4121212121212=1+2×[(+⋯+(]a n 12)112)n−1=3−(12)n−2n ≥2{}a n A =1<3a 1=3−(<3a n 12)n−2C =++⋯+S 10a 1a 2a 10=1+3×9−[(+(+⋯+(]12)012)112)86657，故正确；，单调递增，∴不存在正数，使得恒成立，故错误.故选.三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7.【答案】【考点】数列与不等式的综合数列的函数特性对数及其运算【解析】暂无【解答】解：设是不等式的正整数解，，，，，即，又单调递增，，，，且，∴的最小值为．故答案为：．8.【答案】满足＝，，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为=6657256B =1+3×(n −1)−[(+(+⋯+(]S n 12)012)112)n−2=3n −2−2+(=3n +(−412)n−212)n−2S n m <m S n D BC 9n [(1+−(1−]>x +6log 25–√)x 5–√)x ∴[(1+−(1−]>n +6log 25–√)n 5–√)n ⇒(1+−(1−>5–√)n 5–√)n 2n+6∴−>()1+5–√2n ()1−5–√2n 26∴[−]>15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n 265–√>⇒>=a n 265–√a 2n 212540965{}a n =5+8=13a 7=8+13=21a 8=13+21=34a 9=<<=a 2821240965342a 29n 99)a n +a n+1a n 3⋅2n−1n ∈N ∗{}a n n S n >k −2S n a n n ∈N ∗k (−∞,)52【考点】数列与不等式的综合【解析】根据等比数列的定义推知公比＝，然后由等比数列的通项公式得到＝，．进而根据等比数列的前项和公式求得；最后由不等式的性质和函数的单调性来求的取值范围即可．【解答】设等比数列的公比为，∵＝，，∴＝，＝，∴，∴＝，∴＝（1）∴＝，．则，∴，∴．令＝则随的增大而减小，∴＝＝，∴∴实数的取值范围为．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9.【答案】解：时，，若存在三项成等差数列（，，，），则有：，两边除以得：，由 ，故上式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．所以，不存在三项使其成等差数列．证明：，，当时单调递增，由于，当时，2q 2a n 2n−1n ∈N ∗n ===−1S n (1−)a 1q n 1−q 1−2n1−22n k {}a n q +a n+1a n 3⋅2n−1n ∈N ∗+a 2a 13+a 3a 26q ===2+a 3a 2+a 2a 1632+a 1a 13a 1a n 2n−1n ∈N ∗===−1S n (1−)a 1q n 1−q 1−2n1−22n −1>k ⋅−22n 2n−1k <2+22n f(n)2+22n f(n)n f(n)max f(1)2+=322k ≤(3)k (−∞,3)(1)x =2=a n 2n ,,2r 2s 2tr <s <t r s t ∈N +2⋅=+2s 2r 2t 2r 2⋅=1+2s−r 2t−r s −r ∈，t −r ∈N +N +(2)(x)=−1+x +++⋯f n x 222x 332+x n n 2(x)=1+++⋯+f ′n x 2x 23x n−1n x ∈(0,+∞),(x)>0,(x)f ′n f n (1)=0f 1x ≥2(1)=++⋯f n 122132+>01n 2)=−1++[++⋯+](22(23(2n故存在唯一，使．证明：对，由中，构成数列，当时，，故由于在上单调递增，故 即为单调递减数列，又，，两式相减 ，故满足．【考点】等差数列数列与函数的综合数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】23()=−1++[++⋯+]f n 2323(23)222(23)332(23)n n 2≤−+[++⋯+]1314()232()233()23n =−+×131449[1−]()23n−11−23=−+−<0.131313()23n−1∈[,1]x n 23()=0f n x n (3)∀p ∈N +(2)x n {}x n x >0(x)=(x)+>(x)f n+1f n x n+1(n +1)2f n ()>()=()=0fn+1x n f n x n f n+1x n+1(x)f n+1(0,+∞)<x n+1x n {}x n ()=−1+++⋯+=0f n x n x n x 2n 22x nnn 2()=−1+++⋯++⋯+=0f n+p x n+p x n+p x 2n+p 22x n n+p n 2x n+p n+p(n +p)2−=++⋯+x n x x+p −x 2n+p x 2n 22−x 3n+p x 3n32++⋯+−x n n+p x n n n 2x n+1n+p(n +1)2x n+p n+p(n +p)2<++⋯+x n+1n+p (n +1)2x n+2n+p (n +2)2x n+p n+p(n +p)2<++⋯+1(n +1)21(n +2)21(n +p)2<−−+⋯1n 1n +11n +2+−1n +p −11n +p=−<1n 1n +p 1n {}x n 0<−<x n x n+p 1n (1)=2n解：时，，若存在三项成等差数列（，，，），则有：，两边除以得：，由 ，故上式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．所以，不存在三项使其成等差数列．证明：，，当时单调递增，由于，当时，故存在唯一，使．证明：对，由中，构成数列，当时，，故由于在 上单调递增，故 即为单调递减数列，又，，两式相减 ，(1)x =2=an 2n ,,2r 2s2t r <s <t r s t ∈N +2⋅=+2s2r 2t 2r 2⋅=1+2s−r 2t−r s −r ∈，t −r ∈N +N+(2)(x)=−1+x +++⋯f n x 222x 332+x nn 2(x)=1+++⋯+f ′n x 2x 23x n−1n x ∈(0,+∞),(x)>0,(x)f ′n f n (1)=0f 1x ≥2(1)=++⋯f n 122132+>01n 2()=−1++[++⋯+]f n 2323(23)222(23)332(23)nn 2≤−+[++⋯+]1314()232()233()23n=−+×131449[1−]()23n−11−23=−+−<0.131313()23n−1∈[,1]x n 23()=0f n x n (3)∀p ∈N +(2)x n {}x n x >0(x)=(x)+>(x)f n+1f n x n+1(n +1)2f n ()>()=()=0f n+1x n f n x n f n+1x n+1(x)fn+1(0,+∞)<x n+1x n {}x n ()=−1+++⋯+=0f n x n x n x 2n 22x nnn 2()=−1+++⋯++⋯+=0f n+p x n+p x n+p x 2n+p 22x n n+p n 2x n+pn+p(n +p)2−=++⋯+x n x x+p −x 2n+p x 2n22−x 3n+p x 3n 32++⋯+−x n n+p x n n n 2x n+1n+p (n +1)2x n+pn+p(n +p)2<++⋯+x n+1n+p(n +1)2x n+2n+p(n +2)2x n+p n+p(n +p)2<++⋯+1(n +1)21(n +2)21(n +p)2<−−+⋯1n 1n +11n +2+−1n +p −11n +p=−<1n 1n +p 1n <−<+p 1故满足．10.【答案】解：∵＝，∴，∴，∵，∴．设的公差为，∵，且，，成等比数列，∴，且，∴，且，解得，∴，∴，∴＝．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式余弦定理【解析】Ⅰ由已知条件推导出，所以，由此能求出．Ⅱ由已知条件推导出＝，且，由此能求出＝，从而得以，进而能求出的前项和．【解答】解：∵＝，∴，∴，∵，∴．{}x n 0<−<x n x n+p 1n(1)+−b 2c 2a 2bc ==+−b 2c 2a 22bc bc 2bc 12cos A =12A ∈(0,π)A =π3(2){}a n d cos A =1a 1a 2a 4a 8==2a 11cos A =⋅a 42a 2a 8(+3d =(+d)(+7d)a 1)2a 1a 1d ≠0d =2=2n a n ==−4a n a n+11n(n +1)1n 1n +1=(1−)+(−)+(−)+...+(−)S n 12121313141n 1n +11−=1n +1n n +1()==+−b 2c 2a 22bc bc 2bc 12cos A =12A =π3()(+3d a 1)2(+d)(+7d)a 1a 1d ≠0a n 2n ==−4a n a n+11n(n +1)1n 1n +1{}4a n a n+1n S n (1)+−b 2c 2a 2bc ==+−b 2c 2a 22bc bc 2bc 12cos A =12A ∈(0,π)A =π3(2){}d设的公差为，∵，且，，成等比数列，∴，且，∴，且，解得，∴，∴，∴＝．11.【答案】（本题分）解：（1）∵函数的图象过点，∴，．又点在函数的图象上，从而，即．（2）证明：由，，得•，，则，两式相减得：，∴，∴，∵，∴．【考点】数列与不等式的综合【解析】（1）由函数的图象过点，知，．由点在函数的图象上，能求出．（2）由，，知•，从而得到(2){}a n d cos A =1a 1a 2a 4a 8==2a 11cos A =⋅a 42a 2a 8(+3d =(+d)(+7d)a 1)2a 1a 1d ≠0d =2=2n a n ==−4a n a n+11n(n +1)1n 1n +1=(1−)+(−)+(−)+...+(−)S n 12121313141n 1n +11−=1n +1n n +112f(x)=a x (1,)12a =12f(x)=(12)x (n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x (=12)n−1a n n 2=⋅(a n n 212)n−1=⋅(a n n 212)n−1=−b n a n+112a n =(2n +1)b n (12)n =++…+S n 325222n +12n=++…++12S n 3225232n −12n 2n +12n+1=+2(++…+)−12S n 3212212312n 2n +12n+1=+2−12s n 32[1−(]1412)n−11−122n +12n+1=5−S n 2n +52n>02n +52n<5S n f(x)=a x (1,)12a =12f(x)=(12)x (n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x a n =⋅(a n n 212)n−1=−b n a n+112a n =(2n +1)b n (12)n ++…+352n +1，由此利用错位相减法能够证明．【解答】（本题分）解：（1）∵函数的图象过点，∴，．又点在函数的图象上，从而，即．（2）证明：由，，得•，，则，两式相减得：，∴，∴，∵，∴．12.【答案】证明：因为，,当时， ，两式相减得： ，即.因为数列为正项数列，所以，又，即，所以也成立，所以数列为等差数列.解：由知，所以，，所以；不等式对于任意恒成立，即对于任意恒成立，即对于任意恒成立，令，则=++…+S n 325222n +12n <5S n 12f(x)=a x (1,)12a =12f(x)=(12)x (n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x (=12)n−1a n n 2=⋅(a n n 212)n−1=⋅(a n n 212)n−1=−b n a n+112a n =(2n +1)b n (12)n =++…+S n 325222n +12n=++…++12S n 3225232n −12n 2n +12n+1=+2(++…+)−12S n 3212212312n 2n +12n+1=+2−12s n 32[1−(]1412)n−11−122n +12n+1=5−S n 2n +52n>02n +52n<5S n (1)=1a 1=4+4n +1a n+12S n n ≥2=4+4n −3a 2n S n−1−=4+4a n+12a 2n a n =+4+4=a n+12a 2n a n (+2)a n 2{}a n =+2a n+1a n =9a 22=3a 2−=2a 2a 1{}a n (2)(1)=2n −1a n =2b 1=16b 4=b n 2n (4−m)>a n b n (−1)a n 2n ∈N ∗(2n −1)(4−m)>2n (2n −2)2n ∈N ∗m <4−(2n −2)2(2n −1)⋅2n n ∈N ∗=4−T n (2n −2)2(2n −1)⋅2n −=4−−4+T n+1T n 4n 2(2n +1)⋅2n+1(2n −2)2(2n −1)⋅2n 4(2−5+2)32，当时， ；当时， ；当时， ，所以最小，其值为．所以.【考点】等差数列数列与不等式的综合【解析】【解答】证明：因为，,当时， ，两式相减得： ，即.因为数列为正项数列，所以，又，即，所以也成立，所以数列为等差数列.解：由知，所以，，所以；不等式对于任意恒成立，即对于任意恒成立，即对于任意恒成立，令，则，当时， ；当时， ；当时， ，所以最小，其值为．所以.13.【答案】=4(2−5+2)n 3n 2(2n −1)(2n +1)⋅2n+1n =1−<0T 2T 1n =2−<0T 3T 2n ≥3−>0T n+1T n T 3=4−=T 325185m <185(1)=1a 1=4+4n +1a n+12S n n ≥2=4+4n −3a 2n S n−1−=4+4a n+12a 2n a n =+4+4=a n+12a 2n a n (+2)a n 2{}a n =+2a n+1a n =9a 22=3a 2−=2a 2a 1{}a n (2)(1)=2n −1a n =2b 1=16b 4=b n 2n (4−m)>a n b n (−1)a n 2n ∈N ∗(2n −1)(4−m)>2n (2n −2)2n ∈N ∗m <4−(2n −2)2(2n −1)⋅2n n ∈N ∗=4−T n (2n −2)2(2n −1)⋅2n −=4−−4+T n+1T n 4n 2(2n +1)⋅2n+1(2n −2)2(2n −1)⋅2n =4(2−5+2)n 3n 2(2n −1)(2n +1)⋅2n+1n =1−<0T 2T 1n =2−<0T 3T 2n ≥3−>0T n+1T n T 3=4−=T 325185m <185(−,1)−→−−−−−+1解：由题意得：…∵与向量垂直，∴∴∵∴ …∴…当时，，此时， …当时， …此时，…【考点】数列与向量的综合【解析】利用与向量垂直，可得，从而可得，利用叠加法，确定数列的通项，分类讨论，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：由题意得：…∵与向量垂直，∴∴∵∴ …∴…当时，，此时， …当时， …此时，…=(−,1)M n M n+1−→−−−−−x n+1x n M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1⋅=0M n M n+1−→−−−−−a n −→−c(−)+=0x n+1x n c n+1c ≠0−=x n+1x n c n =(−)+(−)+...+(−)+=++...+c +1x n x n x n−1x n−1x n−2x 2x 1x 1c n−1c n−2c =1=n x n =1+2+...+n =S n n(n +1)2c ≠1=++...+c +1=x n c n−1c n−21−c n 1−c =++…+=−(c ++…+)S n 1−c 1−c 1−c 21−c 1−c n 1−c 11−c 11−c c 2c n =−⋅=−n 1−c 11−c c(1−)c n 1−c n 1−c c −c n+1(1−c)2M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1⋅=0M n M n+1−→−−−−−a n −→−=x n+1x n c n =(−,1)M n M n+1−→−−−−−x n+1x n M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1⋅=0M n M n+1−→−−−−−a n −→−c(−)+=0x n+1x n c n+1c ≠0−=x n+1x n c n =(−)+(−)+...+(−)+=++...+c +1x n x n x n−1x n−1x n−2x 2x 1x 1c n−1c n−2c =1=n x n =1+2+...+n =S n n(n +1)2c ≠1=++...+c +1=x n c n−1c n−21−c n 1−c =++…+=−(c ++…+)S n 1−c 1−c 1−c 21−c 1−c n 1−c 11−c 11−c c 2c n =−⋅=−n 1−c 11−c c(1−)c n 1−c n 1−c c −c n+1(1−c)2。
全国高三高中数学同步测试带答案解析
全国高三高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是半径为1的半圆,俯视图是个圆,则该几何体的全面积是()A．πB．2πC．3πD．4π2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A．πB．4πC．4πD．6π3.某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是()A．16B．12C．8D．64.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm35.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A ．B ．2C ．D ．36.三棱柱的直观图和三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的表面积等于( )A ．12+4B ．6+2C ．8+4D ．47.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A ．B ．C ．(1+)D ．8.如图,在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,AA 1=,点E 为AB 上的动点,则D 1E+CE 的最小值为( )A ．2B ．C ．+1D ．2+9.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a 时,该三棱锥的全面积是( ) A ．a2B ．a 2C ．a 2D ．a210.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此几何体的体积V 的大小为( )A ．B ．12C ．D ．1611.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π12.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( )A ．πB ．56πC ．14πD ．64π二、解答题1.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=3cm,AA 1=2cm,则四棱锥A-BB 1D 1D 的体积为 cm 3.2.如图,已知平行四边形ABCD 中,BC=2,BD ⊥CD,四边形ADEF 为正方形,平面ADEF ⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD 的体积.(1)求V(x)的表达式. (2)求V(x)的最大值.三、填空题1.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC 的体积为 .2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .3.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是 .全国高三高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是半径为1的半圆,俯视图是个圆,则该几何体的全面积是()A．πB．2πC．3πD．4π【答案】C【解析】由三视图知几何体的直观图是半个球,全面积为S=×4π×12+π×12=3π.2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A．πB．4πC．4πD．6π【答案】B【解析】如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,则OO'=,O'M=1,∴OM==,即球的半径为,∴V=π()3=4π.3.某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是()A．16B．12C．8D．6【答案】B【解析】【思路点拨】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到的几何体.解:该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为2×3×4-×2×3×4=12.4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【答案】D【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm3).5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．B．2C．D．3【答案】A【解析】由图知,此几何体上部是一个棱长为1的正方体,其体积为1.下部是一个侧着放的四棱柱,其高为1,底面是一个高为1,上底为2,下底为3的直角梯形,故下部的体积是1××1=,故此几何体的体积是1+=.【误区警示】本题易错误地认为该几何体是由一个正方体和一个棱台构成的组合体.6.三棱柱的直观图和三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的表面积等于()A．12+4B．6+2C．8+4D．4【答案】A【解析】由三视图的数据可知,三棱柱的表面积为S=2××2×2+(2+2+2)×2=12+4.7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A ．B ．C ．(1+)D ．【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,其中半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形,它们的高均为,则V=×(+4)×=,故选A.8.如图,在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,AA 1=,点E 为AB 上的动点,则D 1E+CE 的最小值为( )A ．2B ．C ．+1D ．2+【答案】B【解析】将正方形ABCD 沿AB 向下翻折到对角面ABC 1D 1内成为正方形ABC 2D 2,在矩形C 1D 1D 2C 2中连接D 1C 2,与AB 的交点即为所求最小值点E,此时D 1E+CE=D 1C 2.因为对角线BC 1=2,C 1C 2=3,故D 1C 2===.9.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a 时,该三棱锥的全面积是( ) A ．a2B ．a 2C ．a 2D ．a2【答案】A【解析】由于正三棱锥的侧面都是直角三角形,所以直角顶点应该就是棱锥的顶点,即棱锥的三条侧棱两两垂直,由于底面边长为a,所以侧棱长等于a,故该三棱锥的全面积S=a 2+3××(a)2=a 2.故选A.10.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此几何体的体积V 的大小为( )A ．B ．12C ．D ．16【答案】C【解析】【思路点拨】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键.注意该几何体是底面为直角梯形且放倒了的四棱锥.解：由三视图知,该几何体是一个四棱锥(如图),其底面是一个直角梯形,高h 为4,∴四边形ABCD 的面积S=×(4+1)×4=10, ∴V=Sh=×10×4=. 即该几何体的体积V 为.11.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π【答案】A【解析】【思路点拨】该几何体是底面为等腰直角三角形,且一条侧棱垂直于底面的三棱锥,可将该几何体补成一个长方体,然后解决.解：设该几何体的外接球的半径为R.依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥A-BCD,其中AB ⊥平面BCD,AB=2,BC=CD=,BD=2,BC ⊥DC,因此可将该三棱锥补成一个长方体,于是有(2R)2=22+()2+()2=8,即4R 2=8,则该几何体的外接球的表面积为4πR 2=8π.12.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( )A ．πB ．56πC ．14πD ．64π【答案】C【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b, c,同时不妨设得设球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14,∴R 2=,∴S 球=4πR 2=14π.二、解答题1.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=3cm,AA 1=2cm,则四棱锥A-BB 1D 1D 的体积为 cm 3.【答案】6【解析】关键是求出四棱锥A-BB 1D 1D 的高.连接AC 交BD 于O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3且AC ⊥BD. 又∵BB 1⊥底面ABCD,∴BB 1⊥AC. 又DB∩BB 1=B,∴AC ⊥平面BB 1D 1D, ∴AO 为四棱锥A -BB 1D 1D 的高且AO=BD=.∵=BD×BB 1=3×2=6, ∴=·AO=×6×=6(cm 3).2.如图,已知平行四边形ABCD 中,BC=2,BD ⊥CD,四边形ADEF 为正方形,平面ADEF ⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD 的体积.(1)求V(x)的表达式. (2)求V(x)的最大值. 【答案】(1) V(x)= x(0<x<2) (2)【解析】【思路点拨】利用体积公式得到V(x)的表达式,然后根据基本不等式或函数的知识求最大值. 解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD,交线为AD 且FA ⊥AD,∴FA ⊥平面ABCD. ∵BD ⊥CD,BC=2,CD=x, ∴FA=2,BD=(0<x<2), ∴S ▱ABCD =CD·BD=x , ∴V(x)=S ▱ABCD ·FA=x (0<x<2). (2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x =(0<x<2)取得最大值,∵x 2(4-x 2)≤()2=4,∴V(x)≤×2=. 当且仅当x 2=4-x 2,即x=时等号成立.故V(x)的最大值为. 方法二:V(x)=x ==.∵0<x<2,∴0<x 2<4,∴当x 2=2,即x=时,V(x)取得最大值,且V(x)max =.三、填空题1.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC 的体积为 . 【答案】a 3【解析】设正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点E,沿AC 折起后依题意得,当BD=a 时,BE ⊥DE,所以DE ⊥平面ABC,于是三棱锥D -ABC 的高为DE=a,所以三棱锥D-ABC 的体积V=·a 2·a=a 3.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .【答案】12π【解析】由三视图知几何体由两个底面直径为4、高为1的圆柱和一个底面直径为2、高为4的圆柱组成,故V=2×π×22×1+π×12×4=12π.3.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是.【答案】36+128π【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱,上面是一个三棱柱,故所求体积为V=×3×4×6+16π×8=36+128π.。
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高中同步测试卷(二)
原子结构与元素的性质
(时间：90分钟满分：100分)
一、选择题(本题包括16小题，每小题3分，共48分)
1．在短周期元素中，原子最外层只有1个电子或2个电子的元素是()
A．金属元素B．稀有气体元素
C．非金属元素D．无法确定
2．元素的性质呈现周期性变化的根本原因是()
A．原子半径呈周期性变化
B．元素的化合价呈周期性变化
C．第一电离能呈周期性变化
D．元素原子的核外电子排布呈周期性变化
3．下列元素电负性大小的比较错误的是()
A．H＞Li B．As＜P
C．Si＞C D．Ca＜Al
4．有关核电荷数为1～18的元素，下列叙述中正确的是()
A．最外层只有1个电子的元素一定是金属元素
B．最外层只有2个电子的元素一定是金属元素
C．原子核外各层电子数相等的元素一定是金属元素
D．核电荷数为17的元素的原子易失去1个电子达到稳定结构
5．已知某元素的＋2价离子的电子排布式为1s22s22p63s23p6，则该元素在周期表中的位置正确的是()
A．第三周期ⅣA族，p区B．第四周期ⅡB族，s区
C．第四周期Ⅷ族，d区D．第四周期ⅡA族，s区
6．下列说法中正确的是()
A．所有非金属元素都分布在p区
B．最外层电子数为2的元素都分布在s区
C．元素周期表中ⅢB族到ⅡB族10个纵行的元素都是金属元素
D．同一主族元素从上到下，金属性呈周期性变化
7．具有下列最外层电子排布的基态原子，其相应的元素一定属于主族元素的是() A．n s1B．n s2
C．n s2n p6D．n s2n p2
8．已知某元素＋3价离子的电子排布式为1s22s22p63s23p63d5，该元素在周期表中的位置是()。