第4章无穷级数7-7(正弦级数 余弦级数 习题课)

2. 将f(x)在[0,]上展成余弦级数. 具体步骤是:
(1) 偶延拓 : 在[ ,0]上补充定义得到 F ( x ), 使F ( x )为[ , ]上的偶函数
(2) 对F(x)作周期延拓 (3) 将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为余弦级数
(4) 限制x的取值范围为 [0, ]
一. 正弦级数与余弦级数
定理1 (1) 当周期为 2 的奇函数 f ( x ) 展开为 Fourier 级数时,它的 Fourier 系数为 an 0 ( n 0,1, 2,)
2 bn f ( x ) sin nxdx ( n 1, 2,) 0 (2) 当 周 期 为 2 的 偶 函 数 f ( x ) 展 开 成
在0 x 时收敛于f ( x ). 2 2 2 2 2 2 且an 0, bn 0 x sin nxdx [ 3 ( 1) n ( 3 )] n n n
2 2 2 2 x , 0 x n [ 3 ( 1) ( 3 )] sin nx n n n x n1 0,
2

n
(0 x )
三. 定义在[0, l ]上的函数展成正弦级数与余弦级数
若f(x)在[0,l]上满足收敛定理的条件,则可展成Fourier 级数. 具体作法分两种情况进行:
1. 将f(x)在[0,l]上展成正弦级数. 具体步骤是:
(1) 奇延拓 : 在[ l ,0]上补充定义得到 F ( x ), 使F ( x )为[ l , l ]上的奇函数
5 5
o
z
F(z)在(5,5)上满足收敛定理的条件，它在每一点都 连续，它的Fourier级数在(5,5)上收敛于F(z).
1 5 nz an 5 ( z ) cos dz 0 5 5 1 5 nz ( 1) n 10 bn 5 ( z ) sin dz n 5 5
将f(x)作周期延拓, 如图 y




o






x
显然f(x)在[,]上满足收敛定理条件.
可见f ( x )的Fourier级数在x 0处收敛于
f (0 0) f (0 0) a ( a ) 0; 2 2
f ( 0) f ( 0) a a 在x 处收敛于 0; 2 2 在 x 0,0 x 时收敛于f ( x ).
(2) 对F(x)作周期延拓
(3) 将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数 nx 2 l nx 必为 bn sin , 且bn 0 f ( x ) sin dx l l l n 1
(4) 限制x的取值范围为 [0, l ] (5) 对收敛性进行讨论
2. 将f(x)在[0,l]上展成余弦级数. 具体步骤是:
(1) 奇延拓 : 在[ ,0]上补充定义得到 F ( x ), 使F ( x )为[ , ]上的奇函数
(2) 对F(x)作周期延拓
(3) 将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为正弦级数
(4) 限制x的取值范围为 [0, ]
(5) 对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况
a0 nx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l nx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
( n 0,1,2,)
二. 定义在[0, ]上的函数展成正弦级数与余弦级数
若f(x)在[0,]上满足收敛定理的条件,则可展成Fourier 级数. 具体作法分两种情况进行: 1. 将f(x)在[0,]上展成正弦级数. 具体步骤是:
2

定理 2. 设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件,
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有 nx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l nx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, ( n 1,2,) l 0 l ( 2) 如果f ( x )为偶函数, 则有
例4 解
令z x
z , z 0 2 f ( x) f (z ) F ( z) 2 z , 0 z y 2
2

由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作 变量替换将其转化为对称区间上的函数.
,得




ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o



同理可证(2) 定理证毕.
定义: 如果 f ( x ) 为奇函数,Fourier 级数 bn sin nx
n 1

a0 如果 f ( x ) 为偶函数,Fourier 级数 a n cos nx 2 n 1
称为余弦级数.
称为正弦级数.
例1 解
a x 0 将f ( x ) 0 x0 展成Fourier级数. a 0 x
Fourier 级数时,它的 Fourier 系数为 2 an f ( x ) cos nxdx ( n 0,1, 2,) 0 bn 0 ( n 1, 2,)
证
(1) 设f ( x )是奇函数,
1 an f ( x ) cos nxdx 0 ( n 0,1,2,3,) 奇函数 1 2 bn f ( x ) sin nxdx 0 f ( x ) sin nxdx 偶函数 ( n 1,2,3,)
高等数学A
第4章 无穷级数
4.6 函数展开成正弦级数与余弦级数
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
4.6 函数展开成正弦级数与余弦级数
函 数 展 开 成 正 弦 级 数 与 余 弦 级 数
2为周期的正弦与余弦级数
习例1
2l为周期的正弦与余弦级数
习例2 习例3 习例4-5 内容小结 习题课 常见题型 典型习例
(4) 限制x的取值范围为 [0, l ]
(5) 对收敛性进行讨论
例3
l 0 x x 2 展为正弦级数与余弦级 将f ( x ) 数. l x l x l 2
解
(1) 将f(x)作奇延拓,再作周期延拓. 如图
y


l
o
l


x
可见f ( x )的Fourier级数在[0, l ]上收敛于f ( x ).
( 1) n 10 nz F (z) sin 5 n1 n 10

( 5 z 5)
( 5 x 10 5)
( 1) n n 从而f ( x ) sin ( x 10) n 1 n 5 10

( 1) n nx 即f ( x ) sin , ( 5 x 15) n 1 n 5
且an 0, 2 l nx bn 0 f ( x ) sin dx l l
l 4l n 2 l nx nx [ 02 x sin dx l ( l x ) sin dx 2 2 sin 2 l l l n 2 n sin 4l nx 2 f ( x) 2 sin (0 x l ) 2 l n1 n

z
F(z)在[,]上满足收敛定理的条件，它在每一点都 连续，它的Fourier级数在[,]上收敛于F(z).
a0 an bn
( z )dz 0 ( z )dz 0 2 2 ( z ) cos nzdz 0 2 1
0
1
0

1


1
0

1

2[1 ( 1) n ] ( z ) cos nzdz 2 n2

( z ) sin nzdz 0 ( z ) sin nzdz 0 2 2


1


2[1 ( 1) n ] F (z) cos nz 2 n n 1
(2) 将f(x)作偶延拓,再作周期延拓. 如图 y
x o l l 可见f ( x )的Fourier级数在[0, l ]上收敛于f ( x ). 2 l nx dx 且bn 0, an 0 f ( x ) cos l l l 2 l nx nx [ 02 x cos dx l ( l x ) cos dx l l l 2 2l n 2 2 ( 2 cos cos n 1) 2 n
(5) 对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况
例2 解
将f ( x ) x , x [0, ]分别展为正弦级数 与余弦级数.
(1) 将f(x)作奇延拓,再作周期延拓. 如图
y
2



o




x
可见f ( x )的Fourier级数在x 处收敛于
f ( 0) f ( 0) 2 2 0; 2 2

( z )
2[1 ( 1) n ] 3 故f ( x ) cos n( x ), ( x ) 2 2 2 2 n n 1
例5
解
将f ( x ) 10 x (5 x 15)展开成Fourier级数.
由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作 变量替换将其转化为对称区间上的函数. 令z x 10, 得 f ( x ) f ( z 10) z F ( z ) ( 5 z 5) y
由于f(x)在[,]上为奇函数, 故Fourier级数为正弦级数.
2a[1 ( 1) n1 ] an 0, bn 0 a sin nxdx n a, x 0 n 1 2a[1 ( 1) ] sin nx a, 0 x n n1 0, x 0, x a, x 0 4a sin(2n 1) x 即 a, 0 x . n 1 2 n 1 0, x 0, x
对于非对称区间上的函数，只要作适当的变量替换将 非对称区间转化为对称区间，再按前面介绍的情形展 成Fourier级数,最后代回原来的变量即得所求.
x 例4 将 f ( x ) x

2
x

2 展开成Fourier级数.

3 x 2 2
例5
将f ( x ) 10 x (5 x 15)展开成Fourier级数.
l 2 l l a0 [ 02 xdx l ( l x )dx l 2
n 2 cos cos n 1 l 2l nx 2 f ( x) 2 cos (0 x l ) 2 4 n1 l n
2
四. 非对称区间上的函数展成Fourier级数
2
(2) 将f(x)作偶延拓,再作周期延拓. 如图 y




o




x
可见f(x)的Fourier级数收敛于f(x).
且bn 0,
an a0
2
2

2
0 0


n ( 1 ) 4 2 x cos nxdx n2


2 2 x dx 3
2
( 1) x 4 2 cos nx 3 n1 n
(1) 偶延拓 : 在[ l ,0]上补充定义得到 F ( x ), 使F ( x )为[ l , l ]上的偶函数
(2) 对F(x)作周期延拓 (3) 将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数
a0 nx 2 l nx 必为 an cos , 且an 0 f ( x ) cos dx 2 n 1 l l l