六年级秋季班-第2讲：分解素因数-教师版
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步同级年六
【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组
（1）3 和 5；（2）6 和 9；（3）4 和 9；（4）14 和 17；（5）18 和 1．
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★
【答案】D
【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素．
【例7】 两个素数的和为 21，那么这两个素数的积是______． 【难度】★★ 【答案】38． 【解析】 21 2 19 ， 2 19=38 ． 【总结】20 以内的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试．
【例8】 已知1176a b4 （a、b 都为正整数），则 a 的最小值为______． 【难度】★★ 【答案】2464． 【解析】 1176 4 294 2 2 2 3 7 7 ，要使这个数字为一个数字的四次方，则 a 最
【例14】 三个数 16、24 和 30 的公因数有______． 【难度】★★ 【答案】1、2． 【解析】16 的因数是 1、2、4、8、16；24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24；
30 的因数是 1、2、3、5、6、பைடு நூலகம்0、15、30．则 16、24、30 的公因数为 1、2． 【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
【难度】★★★ 【答案】14． 【解析】每两棵树之间的距离要整除 90 和 15，则为 90 和 15 的公因数，题目中问最少种多
少棵树，则是求 90 和 15 的最大公因数，最大公因数为 15．则每两棵树之间距离 15 米 种一棵树，一排种 7 棵树，两排共种 14 棵树． 【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素 因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
小为 2 3 3 3 7 7 2646 ． 【总结】考查分解素因数的方法，数字比较大的时候多采用短除法分解素因数．
【例9】 面积是 72 平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长 可能是多少厘米？
【难度】★★★ 【答案】44 厘米或 36 厘米或 34 厘米． 【解析】 72 4 18 6 12 8 9 ，
53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共 25 个．特别是 20 以内的素数，需 要熟记．
【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个
（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；
（2）两个素数的和一定是偶数；
（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
（4）一个合数至少有三个因数；
（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
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（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例题解析
【例1】 在 1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247 中，_________________________ 是素数，合数有______个．
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六年级同步
【例15】 有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、b 的最大公因数是 60，c、d 的最大公因 数是 48，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．
【难度】★★ 【答案】12． 【解析】因为 60 2 2 3 5 ， 48 2 2 2 2 3 ，所以 60 和 48 的公因数有 2、3、2，
【例11】 126 和 630 的最大公因数是________________． 【难度】★ 【答案】126． 【解析】
3126 630 2 42 210 3 21 105 7 7 35 15
故 126 和 630 的最大公因数是： 3 2 3 7 126 ． 【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的 最大公因数．
以 r2 ，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为 a 和 b 的最大公因数．
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六年级同步
模块三：公倍数与最小公倍数
知识精讲
1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、求两个数的最小公倍数 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，
【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______． 【难度】★ 【答案】6． 【解析】最小的自然数为 0，最小的素数为 2，最小的合数为 4 【总结】考查素数和合数的定义，注意 1 和 2 的特殊性．
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六年级同步
【例4】 将 100 写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对． 【难度】★★ 【答案】6 【解析】100 3 97 11 89 17 83 29 71 41 59 47 53 ，共有 6 对． 【总结】100 以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，
【例17】 一个长方体，它的上面和正面面积之和是 209 平方分米，长、宽、高都是素数， 则这个长方体的表面积是______．
【难度】★★★ 【答案】486 平方分米． 【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和
是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以 209 可以分解成两个素数之积与 两个素数之的形式．而 209 1119 ，且 11 不能写成两个素数相加的形式，19 可以 写成 2 和 17 相加的形式．则长方体的长宽高分别为 11、17、2．可求出长方体的表
【总结】在讨论素数和合数的分类时，需要特别注意 1 和 2 的特殊性．
【例6】 如果三个连续自然数的乘积是 210，则这三个数分别是_____________． 【难度】★★ 【答案】5、6、7． 【解析】 210 3 2 5 7 5 6 7 ． 【总结】考查分解素因数的方法．
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步同级年六
【难度】★ 【答案】2、17、97；7． 【解析】素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合
数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1 既不是 素数，也不是合数． 【总结】本题主要考查素数和合数的定义．
【例2】 将 84 分解素因数：_______________________，84 的素因数为______________． 【难度】★ 【答案】 84 2 2 3 7 ；2、2、3、7． 【解析】 84 4 21 2 2 3 7 ，其中素因数为 2、2、3、7． 【总结】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数．
则 60 和 48 的最大公因数为 2 3 2 12 ，即这四个数的最大公因数是 12． 【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们
的最大公因数．
【例16】 一块矩形地面，长 90 米，宽 15 米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间 的距离相等，则最少要种______棵树．
A．0
B．1
C．2
D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．2 和 5 的乘积为 10.
（2）错．除了 2 之外的素数都是奇数，但 2 和素数之和为奇数．
（3）错．1 和 2 的乘积为 2，为素数．
（4）对．一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
（5）错．1 不能写成素数相乘的形式．
例题解析
【例10】 36 和 54 的公因数有_____________． 【难度】★ 【答案】1、2、3、9、18． 【解析】36 的因数有 1、2、3、4、9、12、18、36；54 的因数有 1、2、3、6、9、18、27、
54．则公因数有 1、2、3、9、18． 【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
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分解素因数
内容分析 分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的 概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容， 重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求 2 个整数或者是 3 个整数的 最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问 题，加强学生对数学学习的兴趣．
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这 个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
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步同级年六
3、 口算法分解素因数
例如： 72 8 9 2 2 2 3 3 ．
4、 短除法分解素因数
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下： （1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
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六年级同步
模块二：公因数和最大公因数
知识精讲
1、 公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
2、 最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
3、 两个数互素 如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素．
4、 求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大 公因数．
面积为 2 1117 11 2 17 2 486 平方分米．
【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．
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步同级年六
【例18】 求 42897 与 18644 的最大公因数．（拓展：辗转相除法） 【难度】★★★ 【答案】79． 【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，
42897÷18644=2．．．．．．5609， 18644÷5609=3．．．．．．1817， 5609÷1817=3．．．．．．158， 1817÷158=11．．．．．．．79， 158÷79=2．．．．．．0， 所以最大公因数为 79． 【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．
则①长方形的长为 18 厘米，宽为 4 厘米，此时的周长为 2 18 4 44 厘米； ②长方形的长为 12 厘米，宽为 6 厘米，此时的周长为 2 12 6 36 厘米； ③长方形的长为 9 厘米，宽为 8 厘米，此时的周长为 2 8 9 34 厘米．
【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．
辗转相除法步骤：设两数为 a 、b a b ，求 a 和 b 最大公因数的步骤如下：用 a 除以 b ： 得：a b q r1 r1 0 ．若 r1 0 ，则 a 和 b 最大公因数为 b ；若 r1 0 ，则再用 b 除以 r1 ， 得： b r1 q r2 r2 0 ．若 r2 0 ，则 a 和 b 最大公因数为 r1 ，若 r2 0 ，则继续用 r1 除
C 错，1 是所有整数的因数，所以如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素． D 错，若 5 能被 a 整除，则 a 为 1 或 5，因为 5 是 b 的最小倍数，则 b 5 ，所以 a 和 b 的最大公因数不一定是 5，还有可能是 1． 【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素．
知识结构
模块一：素数、合数与分解素因数
知识精讲
1、素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1 既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数． 2、 分解素因数
【例13】 下列说法正确的是（ ） A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数 B．两个不同的素数一定互素 C．如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数一定互素 D．若 5 能被 a 整除，又是 b 的最小倍数，则 a 和 b 的最大公因数是 5
【难度】★★ 【答案】B 【解析】A 错，例如 4 和 9 互素，但是 4 和 9 都是合数．
步同级年六
【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组
（1）3 和 5；（2）6 和 9；（3）4 和 9；（4）14 和 17；（5）18 和 1．
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★
【答案】D
【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．
【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素．
【例7】 两个素数的和为 21，那么这两个素数的积是______． 【难度】★★ 【答案】38． 【解析】 21 2 19 ， 2 19=38 ． 【总结】20 以内的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试．
【例8】 已知1176a b4 （a、b 都为正整数），则 a 的最小值为______． 【难度】★★ 【答案】2464． 【解析】 1176 4 294 2 2 2 3 7 7 ，要使这个数字为一个数字的四次方，则 a 最
【例14】 三个数 16、24 和 30 的公因数有______． 【难度】★★ 【答案】1、2． 【解析】16 的因数是 1、2、4、8、16；24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24；
30 的因数是 1、2、3、5、6、பைடு நூலகம்0、15、30．则 16、24、30 的公因数为 1、2． 【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
【难度】★★★ 【答案】14． 【解析】每两棵树之间的距离要整除 90 和 15，则为 90 和 15 的公因数，题目中问最少种多
少棵树，则是求 90 和 15 的最大公因数，最大公因数为 15．则每两棵树之间距离 15 米 种一棵树，一排种 7 棵树，两排共种 14 棵树． 【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素 因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
小为 2 3 3 3 7 7 2646 ． 【总结】考查分解素因数的方法，数字比较大的时候多采用短除法分解素因数．
【例9】 面积是 72 平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长 可能是多少厘米？
【难度】★★★ 【答案】44 厘米或 36 厘米或 34 厘米． 【解析】 72 4 18 6 12 8 9 ，
53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共 25 个．特别是 20 以内的素数，需 要熟记．
【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个
（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；
（2）两个素数的和一定是偶数；
（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
（4）一个合数至少有三个因数；
（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
5 35 7
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例题解析
【例1】 在 1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247 中，_________________________ 是素数，合数有______个．
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【例15】 有 a、b、c、d 四个正整数，已知 a、b 的最大公因数是 60，c、d 的最大公因 数是 48，那么 a、b、c、d 这四个数的最大公因数是______．
【难度】★★ 【答案】12． 【解析】因为 60 2 2 3 5 ， 48 2 2 2 2 3 ，所以 60 和 48 的公因数有 2、3、2，
【例11】 126 和 630 的最大公因数是________________． 【难度】★ 【答案】126． 【解析】
3126 630 2 42 210 3 21 105 7 7 35 15
故 126 和 630 的最大公因数是： 3 2 3 7 126 ． 【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的 最大公因数．
以 r2 ，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为 a 和 b 的最大公因数．
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模块三：公倍数与最小公倍数
知识精讲
1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、求两个数的最小公倍数 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，
【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______． 【难度】★ 【答案】6． 【解析】最小的自然数为 0，最小的素数为 2，最小的合数为 4 【总结】考查素数和合数的定义，注意 1 和 2 的特殊性．
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六年级同步
【例4】 将 100 写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对． 【难度】★★ 【答案】6 【解析】100 3 97 11 89 17 83 29 71 41 59 47 53 ，共有 6 对． 【总结】100 以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，
【例17】 一个长方体，它的上面和正面面积之和是 209 平方分米，长、宽、高都是素数， 则这个长方体的表面积是______．
【难度】★★★ 【答案】486 平方分米． 【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和
是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以 209 可以分解成两个素数之积与 两个素数之的形式．而 209 1119 ，且 11 不能写成两个素数相加的形式，19 可以 写成 2 和 17 相加的形式．则长方体的长宽高分别为 11、17、2．可求出长方体的表
【总结】在讨论素数和合数的分类时，需要特别注意 1 和 2 的特殊性．
【例6】 如果三个连续自然数的乘积是 210，则这三个数分别是_____________． 【难度】★★ 【答案】5、6、7． 【解析】 210 3 2 5 7 5 6 7 ． 【总结】考查分解素因数的方法．
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【难度】★ 【答案】2、17、97；7． 【解析】素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合
数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1 既不是 素数，也不是合数． 【总结】本题主要考查素数和合数的定义．
【例2】 将 84 分解素因数：_______________________，84 的素因数为______________． 【难度】★ 【答案】 84 2 2 3 7 ；2、2、3、7． 【解析】 84 4 21 2 2 3 7 ，其中素因数为 2、2、3、7． 【总结】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数．
则 60 和 48 的最大公因数为 2 3 2 12 ，即这四个数的最大公因数是 12． 【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们
的最大公因数．
【例16】 一块矩形地面，长 90 米，宽 15 米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间 的距离相等，则最少要种______棵树．
A．0
B．1
C．2
D．3
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）错．2 和 5 的乘积为 10.
（2）错．除了 2 之外的素数都是奇数，但 2 和素数之和为奇数．
（3）错．1 和 2 的乘积为 2，为素数．
（4）对．一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
（5）错．1 不能写成素数相乘的形式．
例题解析
【例10】 36 和 54 的公因数有_____________． 【难度】★ 【答案】1、2、3、9、18． 【解析】36 的因数有 1、2、3、4、9、12、18、36；54 的因数有 1、2、3、6、9、18、27、
54．则公因数有 1、2、3、9、18． 【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．
六年级同步
分解素因数
内容分析 分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的 概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容， 重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求 2 个整数或者是 3 个整数的 最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问 题，加强学生对数学学习的兴趣．
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这 个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
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3、 口算法分解素因数
例如： 72 8 9 2 2 2 3 3 ．
4、 短除法分解素因数
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下： （1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
4 / 20
六年级同步
模块二：公因数和最大公因数
知识精讲
1、 公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
2、 最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
3、 两个数互素 如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素．
4、 求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大 公因数．
面积为 2 1117 11 2 17 2 486 平方分米．
【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．
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【例18】 求 42897 与 18644 的最大公因数．（拓展：辗转相除法） 【难度】★★★ 【答案】79． 【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，
42897÷18644=2．．．．．．5609， 18644÷5609=3．．．．．．1817， 5609÷1817=3．．．．．．158， 1817÷158=11．．．．．．．79， 158÷79=2．．．．．．0， 所以最大公因数为 79． 【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．
则①长方形的长为 18 厘米，宽为 4 厘米，此时的周长为 2 18 4 44 厘米； ②长方形的长为 12 厘米，宽为 6 厘米，此时的周长为 2 12 6 36 厘米； ③长方形的长为 9 厘米，宽为 8 厘米，此时的周长为 2 8 9 34 厘米．
【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．
辗转相除法步骤：设两数为 a 、b a b ，求 a 和 b 最大公因数的步骤如下：用 a 除以 b ： 得：a b q r1 r1 0 ．若 r1 0 ，则 a 和 b 最大公因数为 b ；若 r1 0 ，则再用 b 除以 r1 ， 得： b r1 q r2 r2 0 ．若 r2 0 ，则 a 和 b 最大公因数为 r1 ，若 r2 0 ，则继续用 r1 除
C 错，1 是所有整数的因数，所以如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素． D 错，若 5 能被 a 整除，则 a 为 1 或 5，因为 5 是 b 的最小倍数，则 b 5 ，所以 a 和 b 的最大公因数不一定是 5，还有可能是 1． 【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素．
知识结构
模块一：素数、合数与分解素因数
知识精讲
1、素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1 既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数． 2、 分解素因数
【例13】 下列说法正确的是（ ） A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数 B．两个不同的素数一定互素 C．如果 1 是两个整数的公因数，则这两个数一定互素 D．若 5 能被 a 整除，又是 b 的最小倍数，则 a 和 b 的最大公因数是 5
【难度】★★ 【答案】B 【解析】A 错，例如 4 和 9 互素，但是 4 和 9 都是合数．