第7章-惯性矩与惯性积

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建筑力学
7.4 主惯性轴和主惯性矩
z y z
dA
I y1 I z1
Iy Iz 2 Iy Iz 2 Iy Iz 2

I y Iz 2 Iy Iz 2
cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2
o
y
I y1z1
sin 2 I yz cos 2
i 1
n
I yz I yz1 I yz 2 I yz3 I yzn I yzi
i 1
6
n
建筑力学
[例] 求图示截面对x轴的惯性矩。
200mm
200mm
R80mm
x
解：图示截面看成是矩形截面在左右各方， 挖去两个半圆构成，因此，图示截面对x轴 的惯性矩等于矩形对x轴的惯性矩减去两个 半圆的惯性矩，即：
I yc I z c




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3
I yc 2
所以可得：
I yc I yc1 I yc 2 3.119106 mm4
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[例] 试计算截面对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积。
z
10
zc
单位：mm
①
125 C1
C
yc
解：已算出该截面形心C的坐标为： yc=19.36mm，zc=41.9mm 截面对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积 应等于矩形①对水平形心轴yc和垂直形心轴zc 的惯性积加上矩形②对水平形心轴yc和垂直 形心轴zc的惯性积。即：
矩形②对yc和zc轴的惯性积为： I yc zc 2 I yc 2 zc 2 a2b2 A2
I yc zc 2 0 45 19.36 5 41.9 7010 6.62105 mm4
所以可得：
I yc zc I yc zc 1 I yc zc 2 1.032106 mm4
y dA
C
y yC
O
xC x
x
2
建筑力学
组合图形的静矩和形心 截面对某一轴的静距等于其组成部分对同一轴的静距之和。 设截面图形由几个面积分别为A1、A2、A3…An，的简单图形 组成，且各图形的形心坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3， y3)…(xn，yn)，则图形对x轴和y轴的静矩为：
A
惯性矩：面积对某轴的二次矩。
I y x 2 dA
A
极惯性矩：平面内任意面积dA与其到坐标原点距离平方的乘积。 I P 2 dA I p Ix I y A 惯性积：面积与其到x轴、y轴距离的乘积称为该面积对坐 标轴的惯性积。
I xy xydA
A
惯性半径(工程中表示惯性矩的方法)：
I x I x矩形 I x圆形
bh3 d 4 200 2003 1604 Ix 1.01108 m m4 12 64 12 64
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建筑力学
7.3 平移轴公式
I x I xc a 2 A I y I yc b2 A I xy I xc y c abA
截面对y轴的静矩 为：
S z A1z1 A2 z2 1250 62.5 700 5mm3 8.16104 mm3
Sz AzC A1 A2 zC 1250 700mm2 41.9mm
或
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建筑力学
7.2 惯性矩和惯性积
I x y 2 dA
I
2 I 4 I y z yz 2 2 I 4 I y z yz 2
tg 2 p
2 I yz Iy Iz
I
形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：
(1) 确定组合截面形心的位置；
(2) 计算通过截面形心的一对坐标轴yc与zc的惯性矩Iyc 、 Izc 和惯性积Iyczc ； (3) 通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位角α，并计算
ix Ix A
iy
Iy A
5
建筑力学
组合截面的惯性矩和惯性积
当截面由n个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯 性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即:
I y I y1 I y 2 I y 3 I yn I yi
i 1
n
I z I z1 I z 2 I z 3 I zn I zi
I yc zc I yc zc 1 I yc zc 2
C2
②
80
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矩形①对yc和zc轴的惯性积为：
y
I yc zc 1 I yc1zc1 a1b1 A1
I yc zc 1 0 5 19.36 62.5 41.910125 3.7 105 mm4
上式为计算惯性矩及惯性积的转轴公式。 若Iy1z1=0，则坐标轴y1和z1轴称为截面的主惯性轴；Iy1与Iz1 称为主惯性矩。当主惯性轴y1和z1通过形心时，则为形心主轴， 截面对形心主轴的惯性矩称为形心主矩。
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建筑力学
主惯性矩Iyp与Izp的计算公式为：
I yp I zp Iy Iz 2 Iy Iz 2 1 2 1 2
解：已算出该截面形心C的坐标为： yc=19.36mm，zc=41.9mm 截面对轴yc的惯性矩应等于矩形①对轴yc的惯 性矩加上矩形②对yc轴的惯性矩。即：
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C
yc
I yc I yc1 I yc 2
矩形①对yc轴的惯性矩为： 3 b1h1 2 I yc1 a1 h1 12
C2
②
80
10
C2
②
80
10
y
I yc zc 103 .2 104 mm4
0.981
可得：
tg 2α p
2 I yc zc I yc I z c
α p 22.30
I yp Izp
1 2 2 6 4 I yc I z c 4 I y 3 . 54 10 m m c zc 2 2 I yc I z c 1 2 2 5 4 I yc I z c 4 I y 6 . 0 10 m m c zc 2 2
上式说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对其平行 的形心轴的惯性矩加上两轴间距离的平方与图形面积之积；而 截面图形对于任意一对互相垂直轴的惯性积，等于图形对于与 其平行的一对形心轴的惯性积加上图形形心坐标与其面积之积。
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[例] 试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。
z
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单位：mm ①
125 C1
z
10
单位：mm
解：将该截面看成由矩形①和矩形②组成，每个矩形 的面积和形心坐标分别为：
①
125 C1
矩形①：A1=1250 mm2，y1=5mm， z1=62.5mm
矩形②：A2=700 mm2，y2=45mm，
z2=5mm
C2
②
80
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y
y1 A1 y2 A2 19.36mm A1 A2 z1 A1 z2 A2 zc 41.9mm A1 A2 yc
形心主惯性矩Iyp和Izp 。
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[例] 试确定截面形心主轴的位置以及计算截面的形心主矩。
z
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单位：mm ①
125 C1
解：已算出该截面形心C的坐标为： yc=19.36mm，zc=41.9mm 并且已算出截面对于水平形心轴yc和铅直形 心轴zc的惯性矩和惯性积：
C
yc
I yc 311 .9 104 mm4 I zc 101 .4 104 mm4
S x S xi Ai yi
i 1 i 1 n n
S y S yi Ai xi
i 1 i 1
n
n
截面图形的形心坐标为：
xC
Ax
i 1 n
n
i i
A
i 1
yC
Ay
i 1 n i
n
i
i
A
i 1
i
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[例] 截面图形如图所示，试计算该截面图形形心位置和对y轴的静矩。
y
I yc 1
101253 2 62.5 41.9 10125 2.16106 m m4 12 70103 2 5 41.9 7010 9.59105 m m4 12
矩形②对yc轴的惯性矩为：
I yc 2
bh 2 2 2 a2 h2 12
S x ydA
A
S y xdA
A
（10-2）
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建筑力学
S x yC A
S y xC A
从上式可以看出来，(1) 静矩为代数值，静矩的单位是m3、 mm3。(2) 平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离的 乘积称为平面图形对该轴的静矩。(3)不同截面对同一坐标轴 的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。(4)若图 形对某一轴的静距等于零，则该轴必然通过图形的形心；若 某一轴通过图形的形心，则图形对该轴的静距必然等于零。
建筑力学
7.1 静矩和形心
质心：物体总质量集中于一点。 重心：物体的重力的合力作用点 。
形心：截面图形的几何中心。质心是针对实物体而言的，而 形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物 体，质心和形心重合。
xC xdA
A
A
yC

A
ydA A
（10-1）
静矩：面积对某轴的一次矩。一般用S来表示。