信号与系统 拉普拉斯变换
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F1 F f ( t ) e
t
f (t ) e e
t
j t
dt
f ( t ) e ( j ) t d t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
26
电感元件的s域模型
i L (t )
L
v L (t )
d i L (t ) v L (t ) L dt
设
Li L (t ) I L ( s), Lv L (t ) VL ( s)
应用原函数微分性质
VL ( s) LsI L ( s) i L (0 ) sL I L ( s) Li L (0 )
积分限：对 : 对s :
j
j
5
所以
1 j st f t F s e ds 2π j j
3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 正变换 1 σ j 1 st F s e d s 逆变换 f t L f t 2π j σ j 记作 : f t F s f t 称为原函数， F s 称为象函数。
则
F s
Байду номын сангаас
f t e s t dt
4
2．拉氏逆变换
F j
f t e
j t
dt F s
f t e s t dt
对于f t e t 是F j 的傅里叶逆变换 1 t j t f t e F j e d 2π 两边同乘以 e t 1 j t f t F j e d 2π 其中: s j ; 若取常数， 则d s jd
1 st st te e d t 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e 2 s s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
14
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
0
1 st 1 e 1 e d t 0 s s
st
2.指数函数
Le
α t
0
e
α t st
3.单位冲激信号
0
1 e σ α e dt αs α s 0
8
u
9
0
0
10
整个s平面收敛的情况：
例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。 s s 1 e e Fb ( s) 1 e st dt , 1 s
这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷 大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进 行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
21
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
L fs ( t )
0 0
f ( nT ) ( t nT ) e std t f ( nT ) e nsT
n 0
抽样信号的拉氏变换可表示为 s 域的级数。
例如f ( t ) e α t u( t ), 则
4.4 拉普拉斯逆变换
33
终值定理
d f (t ) 设f ( t ), 的拉氏变换存在，若 L f ( t ) F ( s )，则 dt lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
终值存在的条件:
sF s 在右半平面和 jω 轴 (原点除外)上无极点。
d f ( t ) st sF ( s ) f 0 e dt 0 dt
L fs ( t ) e α nT e snT
n 0
1 e α s T
22
1
23
复频移特性举例
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
s α 所以 e cosω0 t u( t ) 2 2 s α ω0 ω0 t 同理 : e sinω0 t u( t ) 2 s α ω02
0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F s L f t f t e s t d t 0 1 σ j 1 st f t L f t F s e ds 2π j σ j
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
证明： 根据初值定理证明时得到的公式
d f ( t ) st lim sF ( s ) f 0 lim e dt s 0 s 0 0 dt
f 0 lim f ( t ) f 0 lim f ( t )
t
t
34
1 初值定理举例 例1 已知 : F ( s ) , 求f (0 ) ? s
ic ( ) d
设LiC ( t ) I C ( s ),
LvC ( t ) VC ( s )
( 1 ) 1 I C ( s ) iC ( 0 ) VC ( s ) C s s
1 1 I C ( s ) vC (0 ) sC s
I C s
0
17
4.3 拉氏变换的基本性质
u
18
u
u u u u u
19
“周期信号”的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s)
LT
第一周期的拉氏变换 时移特性 无穷级数求和
f1 (t nT ) e snT F1 ( s)
LT
f (t nT ) F (s) e
n 0 1 n 0
1 ( 1 ) 1 0 iC (0 ) iC ( ) d C C vC (0 )
1 sC
VC s
1 vC 0 s
电容元件的s模型
29
30
31
32
初值定理
d f (t ) 若f ( t )及 可以进行拉氏变换，且f ( t ) F ( s ), 则 dt lim f ( t ) f (0 ) lim sF ( s )
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s ) 1
t 0 s
即单位阶跃信号的初始值为1。 2s F ( s) , 求f (0 ) ? 例2 s1 f t 中有2 t 项 2s 2 因为 F s 2 s 1 s 1 2 所以 f (0 ) limsF ( s) ks lim s 2 2 s s s s 1 2s 2 lim lim 2 s s 1 s 1 1 s 35 所以 f (0 ) 2
【例2】
s 1 s 1 F s 2 2 1 s 1 s 1 s2
π 已知 f ( t ) ＝ 2 cos t ut , 求F ( s )。 4 π π f t 2 cos t cos 2 sin t sin cos t sin t 4 4
1 st t de s 0
n! 所以 L t n1 s
n
16
s0t e , s0 0 j0 5.复指数函数
F (s) e
0
s0t
e
st
e dt (s s0 )
( s s0 )t
1 , 0 s s0
t
24
25
例： y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) 2 f (t )
两边取拉氏变换：
s 2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) 2F (s)
整理得：
2 F (s) ( s 5) y (0 ) y(0 ) Y (s) 2 s 5s 6 s 2 5s 6
整个s平面都不收敛的情况： 例5 下列信号的拉氏变换：
0
0
且 ，故在整个 s 平面都不收敛。
11
:
u
u u u u
u
12
F (s)
F (s)
F (s)
F (s)
13
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
F ω f t e jω t d t
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
3
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信号 f ( t ), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足 绝对可积条件 , 依傅氏变换定义 :
α s t
L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0
15
4．tnu(t)
L t t e dt
n n st 0
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
LT
snT
F1 (s) sT 1 e
20
时移特性例题
【例1】
已知 f t tut 1, 求F s
F s Ltut 1 Lt 1ut 1 ut 1
1 1 s 2 e s s
t 0 s
若F s 不是真分式 , 应化为真分式：
F1 ( s) F ( s) k
f (0 ) lim sF ( s ) k lim sF ( s ) ks lim f (t )
s s t 0
F s 中有常数项，说明f t 中有δ t 项。
I L s
Ls
Li L 0
V L s
电感元件的s模型
27
LT
t
( 1) F ( s ) f ( 0 ) f ( )d s s
28
电容元件的s域模型
iC t C
vC t
1 vC ( t ) C
t
6
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f ( t ) e σ t 0
t
σ σ 0
jω
收敛轴
收敛区 收敛坐标 σ0
O
σ
7
部分s平面收敛的情况： u
0
t
f (t ) e e
t
j t
dt
f ( t ) e ( j ) t d t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
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电感元件的s域模型
i L (t )
L
v L (t )
d i L (t ) v L (t ) L dt
设
Li L (t ) I L ( s), Lv L (t ) VL ( s)
应用原函数微分性质
VL ( s) LsI L ( s) i L (0 ) sL I L ( s) Li L (0 )
积分限：对 : 对s :
j
j
5
所以
1 j st f t F s e ds 2π j j
3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 正变换 1 σ j 1 st F s e d s 逆变换 f t L f t 2π j σ j 记作 : f t F s f t 称为原函数， F s 称为象函数。
则
F s
Байду номын сангаас
f t e s t dt
4
2．拉氏逆变换
F j
f t e
j t
dt F s
f t e s t dt
对于f t e t 是F j 的傅里叶逆变换 1 t j t f t e F j e d 2π 两边同乘以 e t 1 j t f t F j e d 2π 其中: s j ; 若取常数， 则d s jd
1 st st te e d t 0 s 0
n n1 st t e dt s 0 n n 1 n 所以 L t L t s n1
Lt t e d t
st 0
1 1 st 1 e 2 s s s 0 n2 2 2 1 2 2 L t Lt 2 3 s s s s n3 3 2 3 2 6 3 Lt Lt 3 4 s s s s
14
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
0
1 st 1 e 1 e d t 0 s s
st
2.指数函数
Le
α t
0
e
α t st
3.单位冲激信号
0
1 e σ α e dt αs α s 0
8
u
9
0
0
10
整个s平面收敛的情况：
例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。 s s 1 e e Fb ( s) 1 e st dt , 1 s
这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷 大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进 行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
21
用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换
L fs ( t )
0 0
f ( nT ) ( t nT ) e std t f ( nT ) e nsT
n 0
抽样信号的拉氏变换可表示为 s 域的级数。
例如f ( t ) e α t u( t ), 则
4.4 拉普拉斯逆变换
33
终值定理
d f (t ) 设f ( t ), 的拉氏变换存在，若 L f ( t ) F ( s )，则 dt lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
终值存在的条件:
sF s 在右半平面和 jω 轴 (原点除外)上无极点。
d f ( t ) st sF ( s ) f 0 e dt 0 dt
L fs ( t ) e α nT e snT
n 0
1 e α s T
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复频移特性举例
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
s α 所以 e cosω0 t u( t ) 2 2 s α ω0 ω0 t 同理 : e sinω0 t u( t ) 2 s α ω02
0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F s L f t f t e s t d t 0 1 σ j 1 st f t L f t F s e ds 2π j σ j
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
证明： 根据初值定理证明时得到的公式
d f ( t ) st lim sF ( s ) f 0 lim e dt s 0 s 0 0 dt
f 0 lim f ( t ) f 0 lim f ( t )
t
t
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1 初值定理举例 例1 已知 : F ( s ) , 求f (0 ) ? s
ic ( ) d
设LiC ( t ) I C ( s ),
LvC ( t ) VC ( s )
( 1 ) 1 I C ( s ) iC ( 0 ) VC ( s ) C s s
1 1 I C ( s ) vC (0 ) sC s
I C s
0
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4.3 拉氏变换的基本性质
u
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u
u u u u u
19
“周期信号”的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s)
LT
第一周期的拉氏变换 时移特性 无穷级数求和
f1 (t nT ) e snT F1 ( s)
LT
f (t nT ) F (s) e
n 0 1 n 0
1 ( 1 ) 1 0 iC (0 ) iC ( ) d C C vC (0 )
1 sC
VC s
1 vC 0 s
电容元件的s模型
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初值定理
d f (t ) 若f ( t )及 可以进行拉氏变换，且f ( t ) F ( s ), 则 dt lim f ( t ) f (0 ) lim sF ( s )
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s ) 1
t 0 s
即单位阶跃信号的初始值为1。 2s F ( s) , 求f (0 ) ? 例2 s1 f t 中有2 t 项 2s 2 因为 F s 2 s 1 s 1 2 所以 f (0 ) limsF ( s) ks lim s 2 2 s s s s 1 2s 2 lim lim 2 s s 1 s 1 1 s 35 所以 f (0 ) 2
【例2】
s 1 s 1 F s 2 2 1 s 1 s 1 s2
π 已知 f ( t ) ＝ 2 cos t ut , 求F ( s )。 4 π π f t 2 cos t cos 2 sin t sin cos t sin t 4 4
1 st t de s 0
n! 所以 L t n1 s
n
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s0t e , s0 0 j0 5.复指数函数
F (s) e
0
s0t
e
st
e dt (s s0 )
( s s0 )t
1 , 0 s s0
t
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例： y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) 2 f (t )
两边取拉氏变换：
s 2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) 2F (s)
整理得：
2 F (s) ( s 5) y (0 ) y(0 ) Y (s) 2 s 5s 6 s 2 5s 6
整个s平面都不收敛的情况： 例5 下列信号的拉氏变换：
0
0
且 ，故在整个 s 平面都不收敛。
11
:
u
u u u u
u
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F (s)
F (s)
F (s)
F (s)
13
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
F ω f t e jω t d t
域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
3
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信号 f ( t ), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足 绝对可积条件 , 依傅氏变换定义 :
α s t
L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0
15
4．tnu(t)
L t t e dt
n n st 0
t n st n n1 st e t e dt s 0 s 0
LT
snT
F1 (s) sT 1 e
20
时移特性例题
【例1】
已知 f t tut 1, 求F s
F s Ltut 1 Lt 1ut 1 ut 1
1 1 s 2 e s s
t 0 s
若F s 不是真分式 , 应化为真分式：
F1 ( s) F ( s) k
f (0 ) lim sF ( s ) k lim sF ( s ) ks lim f (t )
s s t 0
F s 中有常数项，说明f t 中有δ t 项。
I L s
Ls
Li L 0
V L s
电感元件的s模型
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LT
t
( 1) F ( s ) f ( 0 ) f ( )d s s
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电容元件的s域模型
iC t C
vC t
1 vC ( t ) C
t
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二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f ( t ) e σ t 0
t
σ σ 0
jω
收敛轴
收敛区 收敛坐标 σ0
O
σ
7
部分s平面收敛的情况： u
0