无理数大小的比较
无理数的常见形式
无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。
明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。
这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。
无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。
3. 开方开不尽而得到的数，如，等。
4. 某些三角函数值：如，等。
无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。
而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。
错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。
综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。
判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。
另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。
小学生数学练习掌握有理数与无理数的概念
小学生数学练习掌握有理数与无理数的概念在数学学科中，有理数与无理数是两个重要的概念。
小学生学习数学时，需要掌握这两个概念以及它们的特点和应用。
下面将详细介绍有理数与无理数的概念及其相关知识。
一、有理数的概念有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正负整数和分数。
有理数可以用分数形式表示，其中分子是整数，分母是非零整数。
例如，1/2、17/3、-5等都是有理数。
有理数具有以下特点：1. 可以用分数形式表示，包括正负整数和分数。
2. 有理数之间可以进行加、减、乘、除等基本运算。
3. 有理数的大小可以通过比较分数的大小来确定。
有理数在小学数学中的应用非常广泛，常见的应用有：1. 加法和减法运算：小学生可以通过计算两个有理数的和或差，帮助理解整数的加减法运算。
2. 分数运算：小学生可以通过计算两个有理数的乘积或商，帮助掌握分数的乘除运算。
二、无理数的概念无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的小数部分是无限不循环的。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数的非循环部分。
例如，π、√2都是无理数。
无理数具有以下特点：1. 无理数无法用分数形式表示，其小数部分是无限不循环的。
2. 无理数之间可以进行加、减、乘、除等基本运算，但运算结果通常是无限不循环的无理数。
3. 无理数的大小不能通过比较分数的大小来确定，需要通过近似值进行比较。
无理数在小学数学中的应用相对较少，但也有一些重要的应用，例如几何中的π和平方根等。
三、有理数和无理数的关系有理数和无理数是数学中的两个不同的概念，但它们之间存在着一些关系：1. 有理数和无理数的和、差、积、商通常是无理数。
2. 有理数和无理数的和、差、积、商的运算结果可能是有理数，但也可能是无理数。
在实际问题中，有理数和无理数通常是同时出现的，例如在测量中使用的分数和无理数的近似值。
小学生需要通过练习和实践，不断提高对有理数与无理数的理解和应用能力。
总结起来，小学生在数学学习中需要掌握有理数和无理数的概念，了解它们在数学中的特点和应用。
初中数学 无理数关系如何与一元一次方程相关
初中数学无理数关系如何与一元一次方程相关在初中数学中，一元一次方程和无理数关系是两个重要的数学概念。
一元一次方程是指只有一个未知数，并且这个未知数的最高次幂为1的方程。
无理数是指不能表示为两个整数比的实数。
在本文中，我们将探讨无理数关系和一元一次方程之间的相关性，并解释如何在解决一元一次方程的问题中使用无理数的概念和运算规则。
一、无理数关系与一元一次方程的相关性无理数关系和一元一次方程之间有一定的相关性，因为在解决一元一次方程的问题时，我们有时需要用到无理数的概念和运算规则。
例如，在一元一次方程的解中，我们可能需要使用无理数的比较运算，或者使用无理数的加、减、乘、除运算。
因此，理解无理数关系和一元一次方程的相关性是解决数学问题的重要前提。
二、无理数的应用无理数在数学中的应用非常广泛。
在初中数学中，我们通常会学习无理数的定义、性质、比较和运算等方面的知识。
以下是一些常见的无理数应用：1. 几何问题：无理数经常用于解决几何问题，如计算直角三角形的斜边长度、计算圆的周长和面积等。
2. 测量问题：在测量问题中，无理数可以用来表示精确的测量结果，如用π表示圆的周长和面积。
3. 方程求解：无理数的概念和运算规则常常用于解决方程问题，如二次方程的根等。
三、一元一次方程的概念和应用一元一次方程是指只有一个未知数，并且这个未知数的最高次幂为1的方程，通常的形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解决一元一次方程的过程是找到x的值，使得方程成立。
在初中数学中，我们通常学习如何使用一元一次方程解决实际问题。
例如，在解决关于长度、面积、体积等问题时，我们可以通过设置一元一次方程来解决问题。
在解决一元一次方程的问题时，我们需要运用一些基本的代数知识和运算规则。
四、无理数关系与一元一次方程的相关性在解决一元一次方程的问题时，我们有时需要使用无理数的概念和运算规则。
例如，我们可能需要使用无理数的比较运算，或者使用无理数的加、减、乘、除运算。
比较无理数大小的几种方法
•比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数:例:与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=>,所以3>②、同是负数:根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法:根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较与的大小。
因为成立所以a-2≧0即a≧2所以1-a≦-1所以≧0，≦-1所以>三、同次根式下比较被开方数法:例:比较4与5大小因为四、作差法:若a-b>0,则a>b例：比较3-与-2的大小因为3---2=3--+2=5-2<=2.5所以：5-2>0即3->-2五、作商法:a>0,b>0,若>1,则a>b例：比较与的大小因为÷=×=<1所以：<六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b例:比较与的大小因为>1,1>所以>七、平方法:a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。
例:比较与的大小()2=5+2+11=16+2()2=6+2+10=16+2所以:<八、倒数法:九、有理化法:可分母有理化，也可分子有理化。
十、放缩法:。
估算无理数的大小方法
估算无理数的大小方法一、估算无理数大小的重要性。
1.1 生活中的需求。
无理数在生活中其实很常见呢。
就好比咱们装修房子，计算一些特殊形状的面积或者对角线长度的时候，可能就会碰到像根号2这样的无理数。
要是能快速估算出无理数的大小，就能大概知道材料的用量啦，省得浪费或者不够用。
这就像咱们常说的“心里有数”，不至于稀里糊涂的。
1.2 数学学习的关键。
在数学学习里，估算无理数大小也是个重要的本事。
它能帮咱在做一些复杂的数学题时，先有个大致的方向。
比如说在解一些方程或者几何证明题的时候，知道无理数大概的范围，就好比在黑暗里有了一盏小灯，能引导我们朝着正确的方向去思考。
要是对无理数大小完全没概念，那就像没头的苍蝇一样乱撞，肯定做不好题呀。
二、常用的估算方法。
2.1 夹逼法。
这夹逼法可真是个好办法呢。
就拿根号5来说吧。
我们知道2的平方是4，3的平方是9，那根号5肯定就在2和3之间啦。
这就像把根号5夹在2和3这两个“夹板”中间一样，跑不掉咯。
再精确一点呢，2.2的平方是4.84，2.3的平方是5.29，那我们就知道根号5在2.2和2.3之间了。
这就好比把包围圈越缩越小，最后把无理数这个“小猎物”的范围确定得越来越精确。
2.2 利用近似值。
有些无理数和一些我们熟悉的数很接近呢。
比如说圆周率π，我们都知道它约等于3.14。
这就很方便我们在做一些不太精确的计算时，直接用这个近似值来估算。
就像我们在做一个大概的圆形花坛的周长计算时，用3.14去乘直径就差不多能得到个大概的结果了。
这就叫“八九不离十”，虽然不是精确值，但是能满足我们日常的需求。
2.3 比较法。
比较法也很实用。
比如说比较根号3和1.7的大小。
我们可以把1.7平方一下，得到2.89。
因为3大于2.89，所以根号3就大于1.7啦。
这就像是两个人在比身高，站在一起一比较就知道谁高谁矮了。
三、估算无理数大小的技巧总结。
3.1 多记忆常见无理数。
我们得多记一些常见无理数的大致范围和近似值。
实数的概念及性质
实数实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b ；若2()a＜2()b，则a b；若2()a＝2()b＞，则a b．（2）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，若a＞b，则a b；若a＜b，则a b；若a＝b，则a b．（3）作差法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．（4）作商法：a＞0，b＞0，若ab＞1，则a＞b；若ab＝1，则a＝b；若ab＜1，则a＜b．注意：（1）没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；（2）带根号的数不一定是无理数（3）一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．考点一对实数定义的考查【例1】.判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（）（5）若2x则2x．（）【巩固1】下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对D．2是近似值，无法在数轴上表示准确【巩固2】下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数【巩固3】下列实数317，，3.14159，8，327，21，0.101101110……中无理数有（）．A．个B．个C．个D．个2345【例2】.有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A ． 1B ．2C ． 3D ．4考点二对实数性质的考查【例1】.3的相反数是________；15的倒数是________；35的绝对值是________．【例2】.3.141＝______；|2332|______．【例3】.若3||3x ，则x ＝______；若||31x ，则x ＝______．【例4】.若直径为2个单位长度的圆上的点A 从表示5的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A ．52B ．45C ．52D ．54【例5】.如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别为a ，b ，则下列结论不正确．．．．的是（）A ．0ab B ．0abC ．0a bD ．||||0a b 【巩固1】如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( ) A ．23B ．13C ．23D ．13【巩固1】325的相反数是．【巩固2】23的倒数是．【巩固3】52的绝对值是．【巩固4】256的相反数是；倒数是；绝对值是．1 1 2B A CA OB考点三实数的分类【例1】.把下列各数填入相应的集合：－1、4、5、π、 3.14、12、32、12、7.0、0、38．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【例2】.把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4，153，1．414，，0.6，3，34，【巩固1】下列各数：23，722，327，414.1，3，12122.3，9，9641.3中，无理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个.【巩固2】下列实数1907，3，0，49，21，31，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则nm =考点四比较大小【例3】.估计77的大小应在（）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【巩固1】估计29的值在（）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【巩固2】实数2.6，7和22的大小关系是（）A ．2.6227B ．2.6722C ．72.622D ．7222.6【例4】.一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【例5】.（1）若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是；（2）比较大小：633411253【例6】.若01x ，则1x 、x 、2x 的大小关系是【例7】.如果a 是15的整数部分，b 是15的小数部分，a b =__________．【例8】.已知a b ，为两个连续整数，且10ab ，则ab_______．【例9】.414、226、15三个数的大小关系是（）A. 41415226B. 22615414C.41422615D.22641415考点五对计算的考查【例1】.计算题（1）32716949（2）233)32(1000216【例2】.化简：（1）2551（2）103104（3）12233420112012【巩固3】已知等腰三角形一边长为a ，一边长b ，且22(2)90ab b．求它的周长．考点六综合运用【例3】.写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数；（2）绝对值小于22的所有整数．【例4】.一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【例5】.已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b的值．【例6】.若31.8158481.22，则31815848_____.【例7】.已知2a 的平方根是2，27ab的立方根是3，求22a b 的算数平方根．【巩固4】已知3m nAnm 是3nm的算术平方根，237m n Bm n 是7m n 的立方根，求B+A 的平方根．【巩固5】已知3xa ，2y b (0y )，且2(4)8a b (4b a )，33()18a b ，求xy 的值.【巩固6】若1211ab ac ，求23abc 的值．【巩固7】设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522b b a ，求a+b 的平方根习题133的相反数是，|33|= 57的相反数是，21的绝对值=习题2设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为习题3下列说法中,正确的是()A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.习题4下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a 没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．课后巩固习题5设a 是实数，则|a|-a 的值（）A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是整数也可以是负数习题6数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是．习题7设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.习题8如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．B ．C ．D ．习题9已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a 的结果为（）A ．1B ．1C ．12aD ．21a 习题10实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A ．0a bB ．0a bC ．0ab D ．a b习题11若a 为217的整数部分，1b 是9的平方根，且a bb a||，求b a的算术平方根．A B ，132313231311aCA OB（第8题图）a110b （第10题图）。
估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 22 4,32 9 ∴2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.72 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 ∵ 2.642 6.9696,2.652 7.0225 ∴ 2.64 7 2.65 ∵ 2.6452 6.996025,2.6462 7.001316 ∴ 2.645 7 2.646
解：∵ 23 8 ，33 27 8 10 27
且
2 3 10 3
∴
3 10
∴ 的整3 1数0 部2 分是2，小
数部分是
所以 7 2.65 （精确到0.01)
总结：同课本P42估算 2的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 42 19 52 ∴ 取值范围
例1. 3 10的整数部分是________，小数部分是______ .
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16，即 3 10 4。
6.3.5估算无理数的大小
估算——夹逼法
例.估算
7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ ∴ 2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.7 2 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 2 2 2 . 64 6 . 9696 , 2 . 65 7.0225 ∵ ∴ 2.64 7 2.65 2 ,2.6462 7.001316 ∵ 2.645 6.996025 ∴ 2.645 7 2.646 所以 7 2.65 （精确到0.01)
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16 ，即 3 10 4。
2 2 4,32 9
总结：同课本P42估算 2 的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 4 2 19 52 ∴ 42 19 ∴ 4 19 5
Hale Waihona Puke 52答案为：C估算立方根的取值范围
例1. 3 10 的整数部分是________，小数部分是______ . 解：∵ 2 8 ， 33 27 且 8 10 27 ∴ 2 3 10 3 ∴ 3 10 的整数部分是2，小 数部分是 3 10 2
有理数的大小比较法则
有理数的大小比较法则
有理数大小比较
(1)有理数的大小比较：
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。
(2).有理数大小比较的法则：
①正数都大于0;
②负数都小于0;
③正数大于一切负数;
④两个负数，绝对值大的其值反而小。
规律方法：有理数大小比较的三种方法：
(1)法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
(2)数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
(3)作差比较：
若a﹣b>0，则a>b;
若a﹣b<0，则a
若a﹣b=0，则a=b.
扩展资料：
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。
但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。
有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
关于无理数的比较大小
无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。
无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。
但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。
这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。
一、平方法：两个数分别平方，再比较。
例1：比较的大小与711513++。
解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。
二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。
例2：比较2-5与52-5的大小。
解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。
这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。
例3：比较6-7与5-6的大小。
解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。
这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。
四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。
例4：比较62-112与65的大小。
解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。
五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。
例5：比较3-7与2-6的大小。
解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。
实数知识点与习题及答案
13.4 实 数⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数1. 有理数： 任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2.无理数： 无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数：1.含根号且开放开不尽得数；2.∏及含有∏的数；3.无限不循环小数.3.像有理数一样，无理数也有正负之分，实数也可以这样分类：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数4. 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一 一对应的.每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.5. 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。
6. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0一、算术平方根1. 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
二、平方根1. 平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．2.开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
3. 平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±34. 一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算5. 符号：正数a 的正的平方根可用a 表示a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
八年级数学上册《第二章4 估算》讲解与例题
《第二章4 估算》讲解与例题1．用估算法估量一个无理数的范围在用夹逼法确信无理数的值时，往往要依照题目要求有目的地去估量到那一名．估算一个根号表示的无理数所采纳方式可归纳为“慢慢逼近”．【例1】估算43的大小(误差小于0.1)．分析：要求精准到小数点后一名．第一找出与它临近的两个完全平方数．解：∵36＜43＜49，∴6＜43＜7.∴43的整数部份是6.∵6.52＝42.25,6.62＝43.56，∴6.5＜43＜6.6.∴43≈6.5或43≈6.6.2．用估算法确信无理数的大小(1)在按四舍五入法求近似值时，必然要比要求精准的数位多考查一名，这一点往往易犯错．(2)“精准到”与“误差小于”意义不同．如精准到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m确实是估算到个位，误差小于10 m确实是估算到十位．【例2】求3的近似值(精准到0.1)．解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2.又∵1.72＜3＜1.82，∴1.7＜3＜1.8.∵1.732＜3＜1.742，∴1.73＜3＜1.74.∴3≈1.7.3．用估算法确信无理数的整数部份和小数部份关键要先估算整数部份，只要整数部份估算出来了，小数部份随之就写出来了．一个无理数减去它的整数部份，剩下的确实是它的小数部份．【例3】已知a，b别离是6－13的整数部份与小数部份，那么它的整数部份是__________，小数部份是__________．解析：先考虑13的值的大致范围．因为9＜13＜16，因此3＜13＜4.因此13的值在3和4之间，故6－13的整数部份是2，用6－13减去它的整数部份2，剩下的确实是小数部份了，故小数部份是6－13－2＝4－13.答案：2 4－134．比较两个无理数的大小两个有理数的大小比较方式较多，比如将它们化为小数再比较，先对无理数求近似值，然后比较．固然，还有许多特殊的方式，比如平方式、作差法、估算法等．合理的选用特殊方式比较数的大小，会让运算变得简单．用估算法比较含根号的数的大小，一样可采取以下方式：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；(2)当符号相同时，把不含根号的数平方，和含根号的数的被开方数比较．本方式的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；(3)假设同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．【例4】比较大小：(1)6－13与2＋12；(2)－275与－417；(3)76与67.分析：比较数的大小的方式有许多，如作差法、估算法等．要注意选择适当方式比较大小．解：(1)∵6－13＝26－26，2＋12＝32＋36，∴6－13－2＋12＝26－32－56＜0.∴6－13＜2＋12.(2)∵－275≈－16.58，－417≈－16.49，∴－275＜－417.(3)∵76＝49×6＝294，67＝36×7＝252，294＞252，∴76＞67.谈重点比较无理数的大小以上介绍了无理数大小比较的三种方式：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小．咱们要擅长根据不同题目的特点恰本地选择最正确方式.5．估算的实际应用在生产生活中，咱们常常碰到求距离、高度、长度、深度等一些线段长度的问题，在很多情形下取得的是无理数，依如实际需要，一样情形下只需取无理数的近似值就能够够了．要求无理数的近似值，第一需要用估算的方式确信无理数的大致范围，估算无理数常经常使用到“夹逼法”，即利用乘方与开方互为逆运算来确信无理数的近似值．【例5】校园里有旗杆高11 m，若是想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8 m，小军已预备好一根长12.3 m的铁丝，你以为这一长度够用吗？解：由题意可知，AC＝11 m，BC＝8 m，∵旗杆AC垂直于地面，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝112＋82＝185.∵12.32＝151.29＜185，∴185＞151.29.因此这一长度不够用．点评：通过题目表达，构建直角三角形，要结合生活实际，分析解决问题．。
知识点035估算无理数的大小(填空)分析
填空题：1．（2011•芜湖）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=11．考点：估算无理数的大小。
分析：根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．解答：解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．点评：此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．2．（2011•无锡）写出一个大于1且小于2的无理数．考点：估算无理数的大小。
专题：开放型。
分析：由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．解答：解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．点评：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．（2011•六盘水）一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数4与5之间．考点：估算无理数的大小；算术平方根。
分析：本题需要先按要求找到4与5相乘，得出正方形的面积是20，即可求出答案．解答：解：∵正方形的面积是20，∴它的边长在整数：在4与5之间．故答案为：4，5．点评：本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（2011•抚顺）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为．考点：估算无理数的大小。
分析：＜＜，由此可确定a和b的值，进而可得出的值．解答：解：∵3=＜＜=4，∴a=3，b=4，即=．故答案为：．点评：本题考查无理数的估算，注意夹逼法的运用．5．（2011•崇文区）与最接近的整数是4．考点：估算无理数的大小；二次根式的性质与化简。
专题：推理填空题。
分析：根据无理数的意义和二次根式的性质得出＜＜，即可求出答案．解答：解：∵＜＜，∴最接近的整数是，=4，故答案为：4．点评：本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在4和5之间，题目比较典型．6．（2010•呼和浩特）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=5．考点：估算无理数的大小。
2.4估算例题与讲解(北师大八年级上)
4 估算1．用估算法估计一个无理数的范围在用夹逼法确定无理数的值时，往往要根据题目要求有目的地去估计到那一位．估算一个根号表示的无理数所采用方法可概括为“逐步逼近”．【例1】估算43的大小(误差小于0.1)．分析：要求精确到小数点后一位．首先找出与它邻近的两个完全平方数．解：∵36＜43＜49，∴6＜43＜7.∴43的整数部分是6.∵6.52＝42.25,6.62＝43.56，∴6.5＜43＜6.6.∴43≈6.5或43≈6.6.2．用估算法确定无理数的大小(1)在按四舍五入法求近似值时，一定要比要求精确的数位多考查一位，这一点往往易出错．(2)“精确到”与“误差小于”意义不同．如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m就是估算到个位，误差小于10 m就是估算到十位．【例2】求3的近似值(精确到0.1)．解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2.又∵1.72＜3＜1.82，∴1.7＜3＜1.8.∵1.732＜3＜1.742，∴1.73＜3＜1.74.∴3≈1.7.3．用估算法确定无理数的整数部分和小数部分关键要先估算整数部分，只要整数部分估算出来了，小数部分随之就写出来了．一个无理数减去它的整数部分，剩下的就是它的小数部分．【例3】已知a，b分别是6－13的整数部分与小数部分，则它的整数部分是__________，小数部分是__________．解析：先考虑13的值的大致范围．因为9＜13＜16，所以3＜13＜4.所以13的值在3和4之间，故6－13的整数部分是2，用6－13减去它的整数部分2，剩下的就是小数部分了，故小数部分是6－13－2＝4－13.答案：24－134．比较两个无理数的大小两个有理数的大小比较方法较多，比如将它们化为小数再比较，先对无理数求近似值，然后比较．当然，还有许多特殊的方法，比如平方法、作差法、估算法等．合理的选用特殊方法比较数的大小，会让运算变得简单．用估算法比较含根号的数的大小，一般可采取下列方法：(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；(2)当符号相同时，把不含根号的数平方，和含根号的数的被开方数比较．本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．【例4】比较大小：(1)6－13与2＋12；(2)－275与－417；(3)76与67.分析：比较数的大小的方法有许多，如作差法、估算法等．要注意选择恰当方法比较大小．解：(1)∵6－13＝26－26，2＋12＝32＋36，∴6－13－2＋12＝26－32－56＜0.∴6－13＜2＋12.(2)∵－275≈－16.58，－417≈－16.49，∴－275＜－417.(3)∵76＝49×6＝294，67＝36×7＝252，294＞252，∴76＞67.谈重点比较无理数的大小以上介绍了无理数大小比较的三种方法：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小．我们要善于根据不同题目的特点恰当地选择最佳方法.5．估算的实际应用在生产生活中，我们经常遇到求距离、高度、长度、深度等一些线段长度的问题，在很多情况下得到的是无理数，根据实际需要，一般情况下只需取无理数的近似值就可以了．要求无理数的近似值，首先需要用估算的方法确定无理数的大致范围，估算无理数经常用到“夹逼法”，即利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的近似值．【例5】校园里有旗杆高11 m，如果想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8 m，小军已准备好一根长12.3 m的铁丝，你认为这一长度够用吗？解：由题意可知，AC＝11 m，BC＝8 m，∵旗杆AC垂直于地面，∴△A BC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝112＋82＝185.∵12.32＝151.29＜185，∴185＞151.29.因此这一长度不够用．点评：通过题目叙述，构建直角三角形，要结合生活实际，分析解决问题．。
估算无理数的大小
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算 术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术 平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所 以 9 10 16 ，即 3 104。
估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 224,329 ∴ 2 7 3 ∵ 2.626.7,6 2.727.29 ∴ 2.6 72.7 ∵ 2.62 46.96,2 9 .66257.0225 ∴ 2.64 72.65 ∵ 2.642 56.996,20 .62425 67.001316 ∴ 2.645 72.646
解：∵ 23 8 ， 33 27 且 81027 ∴ 23103
∴ 3 10 的整数部分0.01)
总结：同课本P42估算 2 的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 421952 ∴ 42 19 52
∴ 4 195 答案为：C
对应练习
对应练习
对应练习
对应练习
估算立方根的取值范围
例1. 3 10 的整数部分是________，小数部分是______ .
湘教版-数学-八年级上册-浅析无理数的大小比较
浅析无理数的大小比较贵州省德江县楠杆中学梁亚数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。
在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。
但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。
为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。
我归纳了几点：一、直接比较法①、同是正数例、13与17的大小比较分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
所以：13<17②、同是负数例、－39与－40的大小比较分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
所以：－39>－40③、 一正一负 例、53与－9的大小比较 分析：正数大于一切负数。
所以：53>－9 二、 分母有理化法 例、13151-与15171-的大小比较分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子，1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是1517+，从而把此式化成)1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：)1315)(1315(1315+-+=21315+)1517)(1517(1517+-+=21517+因为分母都是2，分子大的那个就大。
所以：13151-<15171-三、 分子有理化法例、6778--与的大小比较分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，7878+-的有理化因子是67-的有理化因子是67+； 从而把此式化成78)78)(78(++-与67)67)(67(++- 即：78)78)(78(++-=781+ 67)67)(67(++-=671+ 所以：分子相同分母大的反而小，则78-<67- 四、 平方法 例、72+与63+的大小比较分析：是不是2+7=9与3+6=9因为9=9 所以：72+=63+错误：因为2与2不相同，也及3、6、7都是一样的，那怎么办呢？ 因为它们都是正数，不要怕，不妨把它们同时平方。
数学比较两个数大小方法备考2021中考指导
数学比较两个数大小方法备考2021中考指导课后要认真独立完成作业，勤于思考。
在课后要及时对做过的试卷和练习进行归纳和整理，对于一些易错题，可备一本错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
下面是小偏整理的数学比较两个数大小方法备考2021中考指导，感谢您的每一次阅读。
数学比较两个数大小方法备考2021中考指导一.求差法求差法的基本思路是：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0时，a0时，a>b。
”来比较a与b的大小。
二.求商法求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先求出a与b 的商，再根据“当时，ab。
”来比较a与b的大小。
三.倒数法倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a 与b的倒数，再根据“当时，a>b;当时，a<B,”来比较A与B的大小。
<p>四.估算法求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，，先估算出a、b两数中某部分的取值范围，再进行比较。
五.平方法平方法的基本思路是：先将要比较的两个数分别平方，再根据“在时，可由得到”来比较大小。
这种方法常用于比较无理数的大小。
六.移动因式法移动因式法的基本思路是：当时，若要比较形如r的两数的大小，可先把根号外的因数a与c平方移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
两个实数大小的比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。
留出纠错和消化时间一、模拟训练关键是选好模拟试题，要按照初中毕业生学业考试说明要求，结合中考数学试卷的结构特点和命题趋势，选择真正具有模拟性的模拟试题。
时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等都要符合中考要求。
二、模拟测试后，要及时对答案，趁热打铁，有利于及时查漏补缺，复习效果明显提高。
同事要对自己做的卷子评分，严格按照中考评分要求，以便掌握自身的复习水平。
无理数的大小比较和排序
无理数的大小比较和排序在数学中，无理数是指不能表示为有限小数的实数。
它们与有理数相对，后者可以表示为两个整数之比。
无理数占据了实数线上绝大部分，如 $\pi$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等。
由于无理数的特殊性质，它们的大小比较和排序相对困难。
本文将探讨无理数的大小关系及排序方式。
一、大小关系大小关系是指判断两个实数大小的关系，一般可通过比较它们的差值来确定，然而对于无理数，常规判断方式是无法使用的。
例如，$\sqrt{2}$ 与 $\pi$ 两个数谁大谁小？这就需要使用一些特殊的技巧。
1. 估值法估值法是指使用有理数逼近无理数，这样就可以将无理数转化为有理数进行比较。
例如，将 $\sqrt{2}$ 逼近到小数点后第二位，则 $\sqrt{2}\approx1.41$，将 $\pi$ 逼近到同样的位数，得到$\pi\approx3.14$。
于是我们可以比较两个有理数的大小，得出$\pi>\sqrt{2}$。
估值法的优势在于易于理解，但它十分依赖于逼近的精度，如果逼近不够准确，比较的结果也不准确。
2. 平方比较法平方比较法比较适用于那些有一个数是某个整数的平方的情况。
由于 $\sqrt{k^2+n}$ 与 $k$ 相等，对于两个无理数 $x=\sqrt{a}$，$y=\sqrt{b}$，如果 $a-b$ 是某个整数 $k$ 的平方，则有：$$ x>y \Longleftrightarrow a-b=k^2 $$这时，无需估算就能判断它们的大小关系。
例如，比较$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$，它们的差值为 $1$，是 $1$ 的平方，所以$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。
平方比较法有一个明显的局限性，即 $a-b$ 必须是某个整数$k$ 的平方，这种情况并不常见。
3. 函数比较法函数比较法使用初等函数来确定两个无理数的大小关系，例如，对于两个正的无理数 $a$ 和 $b$，有以下结论：$$ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a<b $$$$ a^x < b^x \Longleftrightarrow a<b \quad\text{和}\quad x>0 $$$$ a^x > b^x \Longleftrightarrow a>b \quad\text{和}\quad x<0 $$函数比较法优势在于适用范围广，但对于一些不好表达的无理数，比如 $\pi$，也无法得出精确的结果。
估算无理数的大小
估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。
一般情况下从1到达20 整数的平方都应牢记。
例：估算船的取值范围。
解：因为1 v 3 v 4，所以EI v U v H 即：1 Vv 2如果想估算的更精确一些比如说想精确到0.1 .可以这样考虑：因为17的平方是289 , 18的平方是324，所以1.7的平方是2.89 , 1.8的平方是3.24 .因为2.89 v 3 v 3.24 , 所以济v直v丽，所以1.7 v v 1.8。
如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。
比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。
一、直接法直接利用数的大小来进行比较。
①、同是正数：例：心与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。
因为3=宀>、「，所以3> '②、同是负数：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。
③、一正一负:正数大于一切负数。
二、隐含条件法：根据二次根式定义，挖掘隐含条件。
例:比较莎石与后巨的大小。
因为Ja_2成立所以a-2 M 0即a M 2所以1-a三-1所以】仝0, J门三-1以 Ja — 2 > 計' —a三、同次根式下比较被开方数法： 例:比较4氏与5止大小因为4运=J16x5 = 俪.5A /4 = A /25 x 4 = ^/100L所以 ,即 4<5^4四、作差法: 若 a-b>0,则 a>b 例：比较3-d 与宀-2的大小 因为3・'=5-2 -=3-品 y/~6 +2亦V =2 5所以：5-2曲>0 即 3- \ 乂>、' -2五、作商法：a>0,b>0,若'>1,则 a>b 石+1 需+2 例：比较*「与J 」' 的大小 蕩+1 侖+2 因为宀'「+ 石+ ] 祐+ 3_亦十2 需+ 2= ----- X六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c ,转证 a>c,c>bVio+3 2厉 + 2例:比较E 2与+U I '的大小所以: 石+1 7^+2需+ 2 V 而+ —V10+3 2馆 + 2因为\W+2>1,1> 2-^ + 3A/To+3 2 腐+ 2所以烦+ 2 >2^5 + 3七、平方法：a>0,b>0,若a2>b 2则a>b。
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实数
学习目标
1．知识目标
（1）知道实数与数轴上的点是一一对应的
（2）会用有理数估计一个无理数的大致范围.
(3)对实数进行大小比较.
2．能力目标
知道实数与数轴上的点是一一对应的,能够对实数进行大小比较.
3．情感目标
渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系。
学习重点、难点
重点：实数与数轴上的点是一一对应的,对实数进行大小比较.
难点：对实数进行大小比较.
节前预习
教材P106页图17—2，探讨以下问题：
OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=1
计算各直角三角形斜边的长.
OB= , OC= ,OD= ,OE= ,OF= ,OG= ,OH=
其中，是无理数，是有理数。
归纳：
有理数可以表示线段的长度，无理数也可以表示线段的长度。