空间坐标系

空间直角坐标系

教学目的：将学生的思维尤平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的

教学重点: 1.空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离

教学难点：空间思想的建立

一、空间点的直角坐标

x y之间的一一对应平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组(,)

关系，沟通了平面图形与数的研究。

为了沟通空间图形与数的研究，我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现。

1、空间直角坐标系

过空间一定点o，作三条互相垂直的数轴，它们以o为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，且统称为坐标轴。

通常把x轴，y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：

右手握住z轴，当右手的四个指头从x轴的正向以90︒角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴正向。

三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点o叫做坐标原点。

注明：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把x轴与y轴间的夹角画成130︒左右。当然，它们的实际夹角还是90︒。

2、坐标面卦限

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。

由x轴与y轴所决定的坐标面称为xoy面，另外还有xoz面与yoz面。

三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限。

3、空间点的直角坐标系

取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系。 设M 为空间的一已知点，过M 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的三个平面，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为R Q P ,,，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为z y x ,,，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组z y x ,,，这组数叫M 点的坐标。

依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为M x y z (,,)。

反过来，若已知一有序数组z y x ,,，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴取坐标为z 的点R ，然后过P 、Q 、R 分别作x 轴、y 轴、z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M 就是以有序数组z y x ,,为坐标的空间点。

这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点M 和有序数组z y x ,,之间的一一对应关系。

注明：

空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定， 因此， 常称我们生活的空间为三度空间或三维空间 ”。 事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量t 。即：(,,,)x y z t ，它表示在时刻t 所处的空间位置是(,,)x y z 。

二、空间两点间的距离公式

设M x y z 1111(,,)、M x y z 2222(,,)为空间的两点，则两点间的距离为

d M M x x y y z z ==-+-+-12212212212()()() 证明：

过M 1、M 2各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M M 12为对角线的长方体，如图所示

∆M NM 12是直角三角形， 故

d M M M N NM 21221222==+ ∆M PN 1是直角三角形， 故 M N M P PN 12122=+ 从而 d M P PN NM 21222

2=++ 而 M P P P x x 11221==- PN Q Q y y ==-1221

NM R R z z 21221==-

故 d x x y y z z 2212212212=-+-+-()()() 特别地，点M x y z (,,)与坐标原点O (,,)000的距离为

d x y z =++222