函数零点 (2)

方程的根与函数的零点

知识点一 函数的零点

对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点. 方程、函数、图象之间的关系：

方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.

知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点

函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，即方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标⇔函数y ＝f (x )的零点.

知识点三 零点存在性定理

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根.

题型一 求函数的零点

例1 (1)函数y ＝1＋1

x 的零点是( )

A.(－1,0)

B.－1

C.1

D.0

(2)函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________. 跟踪训练1

(1)函数f (x )＝2x －

1－3的零点是______.

(2)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________. 题型二 探求零点所在区间

例2 (1)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－1

4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34

(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：

x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 f (x )

6

m

－4

－6

－6

－4

n

6

不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()

A.(－3，－1)，(2,4)

B.(－3，－1)，(－1,1)

C.(－1,1)，(1,2)

D.(－∞，－3)，(4，＋∞)

跟踪训练2根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()

x －1012 3

e x0.371 2.727.4020.12

x＋21234 5

A.(－1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

题型三函数零点的个数

例3已知0

A.1

B.2

C.3

D.4

跟踪训练3求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数.

根据零点情况求参数范围

典例若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围.

习:

1.函数y＝ln x的零点是()

A.(0,0)

B.x＝0

C.x＝1

D.不存在

2.下列各图象表示的函数中没有零点的是()

3.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()

A.(1,0)

B.1

C.1

2 D.－1

4.函数f (x )＝2x －1

x 的零点所在的区间是( )

A.(1，＋∞)

B.⎝⎛⎭⎫

12，1 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫14，13

5.函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x 的零点有______个.

综合复习试卷

一、选择题

1.若集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{x |x ∈A 且1－x ∉A }，则集合B 中的元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知集合A ＝{y |y ＝31－

x ，x ∈R }，B ＝{x |1≤x ≤4}，则( ) A.A ∩B ＝∅ B.A ∩B ＝[1,3] C.A ∪B ＝(0，＋∞)

D.A ∪B ＝(0,4]

3.已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A. 3 B.±3 C.±9 D.9

4.函数y ＝x (x －1)＋ln x 的定义域为( ) A.{x |x >0} B.{x |x ≥1} C.{x |x >1}

D.{x |0

5.已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c

D.c >a >b

6.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x 3 B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1

D.y ＝2

－|x |

7.函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3)

D.(1,2)

A.∅

B.[－1,1]

C.[－1，＋∞)

D.[1，＋∞)

9.定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －

1－2，x ≤1，－log 2

(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )

A.－74

B.－54

C.－34

D.－1

4

11.函数f (x )＝x 2－2ax ＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.－11 C.1

D.－5

4

12.函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,4] D.[1,3]

二、填空题

13.计算：0.25×⎝⎛⎭⎫－1

2－4＋lg 8＋3lg 5＝________.

14.设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.

15.定义在R 上的奇函数f (x )为减函数，若a ＋b ≤0，给出下列不等式：

①f (a )·f (－a )≤0；②f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )；③f (b )·f (－b )>0；④f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ). 其中正确的是________.(填序号)

16.有下列说法：

①若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1；

②已知函数y ＝f (3x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0]； ③函数y ＝

1

1－x

在(－∞，0)上是增函数； ④方程2|x |＝log 2(x ＋2)＋1的实数根的个数是2. 所有正确说法的序号是________.

三、解答题

17.设集合U ＝R ，A ＝{x |4≤2x <16}，B ＝{x |x ≥3}.