学案2：1.1.1 构成空间几何体的基本元素

1.1.1构成空间几何体的基本元素

【自主预习】

新知初探

1．几何体

如果只考虑一个物体占有空间部分的和，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．

2．长方体

长方体可以看作由(包括它的内部)所围成的几何体．

(1)长方体的面：围成长方体的，叫做长方体的面，它共有个面．

(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有条棱．

(3)长方体的顶点：棱和棱的，叫做长方体的顶点，它共有个顶点．

3．构成空间几何体的基本元素

、、是构成空间几何体的基本元素．

4．平面及其表示方法

(1)平面的概念：

平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．

(2)平面的表示方法：

5.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系

(1)

(2)

(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．

6．空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与直线有、与三种位置关系．

7．空间中直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内；

(2)直线与平面平行：直线与平面公共点；

(3)直线与平面相交：直线与平面公共点．

①直线与平面垂直：

图1

如图1，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为．记作.直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．②点到平面的距离：

在上图1中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的的一条．称作点A1到平面AC的距离．

8．空间中平面与平面的位置关系

(1)两个平面相交：

两个平面相交于，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中

一个平面通过另一个平面的，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．

(2)两个平面平行：

如果两个平面，则说这两个平面平行．

如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的称作两个底面间的距离．

初试身手

1．下列说法：

①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；

②一个几何体可以没有顶点；

③一个几何体可以没有棱；

④一个几何体可以没有面．

其中正确的个数是()

A．1B．2C．3D．4

2．下列关于长方体的叙述不正确的是()

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都相互平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且等长

3．下列说法正确的是________．

(1)长方体是由六个平面围成的几何体；

(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；

(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．

【合作探究】

【例1】下列判断正确的是________．

①平面是无限延展的；

②一个平面长3 cm，宽4 cm；

③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；

④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．

规律方法

1．准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．

2．平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．

3．可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．

跟踪训练

1．已知下列四个结论：

①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.

其中正确结论的个数是()

A．0B．1C．2D．3

类型2从运动观点认识几何体

【例2】如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．

①②③

[思路探究]线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．

规律方法

1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．

2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．

跟踪训练

2.本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．

类型3长方体中基本元素之间的关系

[探究问题]

1．射线运动后的轨迹是什么？

2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．

【例3】在长方体ABCD­A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，

(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？

(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？

[思路探究]观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．

母题探究

1．(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？

(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？

2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？

3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？

规律方法

1．平行关系的判定

(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．