华师版八年级数学下册17.1 第1课时 变量与函数的概念及其表示方法教案与反思

17．1 变量与函数

随风潜入夜，润物细无声。出自杜甫的《春夜喜雨》

车前学校陈道锋

第1课时变量与函数的概念及其表示方法

1．了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；初步理解函数的概念，了解自变量与函数的意义；(重点)

2．通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力；

3．引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．(难点)

一、情境导入

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．

从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？

二、合作探究

探究点一：变量与常量

写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：

(1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t；

(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程

s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式s＝40t.

解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．

解：(1)常量：6，变量：n，t；

(2)常量：40，变量：s，t.

方法总结：确定在该过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称之为常量．

探究点二：函数的相关概念

【类型一】识别函数

下列关系式中，哪些y是x的函数，哪些不是？

(1)y＝x；(2)y＝x2＋z；(3)y2＝x.

解析：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．

解：(1)此关系式只有两个变量，且每一个x值对应唯一的一个y值，故y 是x的函数；

(2)此关系式中有三个变量，因此y不是x的函数；

(3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值，如当x＝4时，y＝±2，故y不是x的函数.

方法总结：由函数的定义可知在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于每一个确定的x值，y值有且只有一个值与之对应.当x值取不同的值时，y的值可以相等，也可以不相等，但如果一个x的值对应着两个不的y值，那么y一定不是x的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．【类型二】判断函数关系

判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是( ) A．x，y是变量，y2＝4x2

B．某人的数学成绩和物理成绩

C．三角形的底边长与面积

D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间

解析：选项中根据x（或y）每取一个值，y（或x）有两个值与其对应，故不存在函数关系，故此选项错误；

选项B中数学成绩与物理成并无对应关系，故此选项错误；

选项C中高不能确定，共有三个变量，故不存在函数关系，故此选项错误；

选项D中速度一定的汽车所行驶的路程与时间，存在函数关系，故此选项正确．故选D.

方法总结：判断函数关系时，应先看问题中是否仅有两个变量，再看一个变量是否随着另一个变的变化而变化，最后看定一个自变量的值，因变量的值是否有唯一的值与它对应．

【类型三】确定实际问题中函数关系式以及自变量

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是因变量？试写出用自变量表示

函数的式子．

(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；

(2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．

解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体积公式列出函数关系式．

解：(1)y＝10＋0.5x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是因变量；

(2)V＝30a2(a>0)，其中a是自变量，V是因变量．

方法总结：函数关系式中，通常等式右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量．

三、板书设计

1．常量和变量的概念

2．函数的概念

3．函数关系式

变量和函数是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些

变化现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明．函数的概念是学好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知水平，使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来．

【素材积累】

1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。几千年前的三星堆、金沙，是古蜀人智慧的结晶，难以忘怀的文明，静静地诉说着古人们的智慧……刘备，孟昶等，多少为成都制造机会，创造美丽的人啊！武侯祠中诸葛亮摘悄悄的感叹成都的美……杜甫草堂，有多少千古名句，虽然简陋却给了杜甫一个温暖的港湾。

2、早上，晴空万里，云雾满天。太阳公公把一切都搞得有一层薄薄的金黄色。一群小鸟，摘老松树的枝头上欢蹦乱跳，叽叽喳喳地唱歌，这些小淘气们一跳上去，那些晶莹的小露珠旧滴一声，跳到了地上，继续进行它们的旅行。空气摘早上也是非常的清新，你深深地吸一口气，仿佛可以把自己所有的心烦事都忘得一干二净，这旧是我家乡的早晨。