五大圆幂定理证明

五大圆幂定理证明

五大圆幂定理是指：

1. 圆内接正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。

2. 圆外切正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。

3. 任意一个正n边形的内切圆半径等于半径与n之和的1/n。

4. 任意一个正n边形的外接圆半径等于半径的n倍。

5. 任意一个正n边形的周长等于n倍的外接圆周长。

下面给出五大圆幂定理的证明：

1. 周长与直径之比的平方

设正n边形的周长为P，直径为d，则n个边的长度之和为2P/n。因为每个边上的弧长等于周长除以360度，所以每个边的长度为(2P/n)/360度。因为正n边形的每个内角都相等，所以内角和为(180度/n) * n，即180度。因此，每个边所对的圆心角为180度除以n，

即36度。又因为圆周角的大小与圆心角的大小成正比，所以每个圆周所对的圆心角为36度，即每个圆周的长度为2πr，其中r为圆的半径。因此，每个边的长度等于2πr * (2/360) * n，即πr/3。因此，直径d等于πr/3，周长P等于3πr，所以正n边形的边数n等于周长P除以直径d的平方，即n=3P/d²。

2. 外切正多边形的边数是周长与直径之比的平方

证明同上，只是将周长P替换为周长与直径之比的平方P/d²。

3. 内切圆半径等于半径与n之和的1/n

设正n边形的边长为a，内接圆的半径为r，则内接圆的周长为2πr，因为内接圆与正n边形相切，所以内接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πr=P/n。因此，πr=P/n，即r=P/nπ。又因为内接圆的半径等于边长a与半径r之差的一半，即r=a-(a/2r)=a*(1-1/n)，所以a=2r/n。因此，内切圆半径等于半径与n之和的1/n，即r=P/2nπ/(n-1)。

4. 外接圆半径等于半径的n倍

设正n边形的边长为a，外接圆的半径为R，则外接圆的周长为2πR，因为外接圆与正n边形相切，所以外接圆的周长等于正n边形的周长

除以n，即2πR=P/n。因此，πR=P/n，即R=P/nπ。又因为外接圆的半径等于边长a与外接圆半径R之和，即a+R=2R，所以R=a/2。因此，外接圆半径等于边长a与半径R之和的1/2，即R=2a/n。

5. 周长等于n倍的外接圆周长

证明同上，只是将周长P替换为周长与直径之比的平方P/d²。

综上所述，五大圆幂定理得证。