动量守恒之弹簧及圆弧模型

相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。 【问题】如图所示，物块B 左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，

A 物体以速度0v 向

B 运动，假设A 与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，那么此后A 、B 与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？

【分析】A 、B 的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹

簧最长）时二者的速度相等。

⑴ 弹簧刚开始被压缩的过程中，B 受到弹簧的弹力向右做加速运动，A 受到弹力做减速运动，开始时A 的速度大于B 的速度，弹簧一直被压缩；⑵ 当A B 、的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大；⑶ 此后由于A 继续减速，B 继续加速，B 的速度开始大于A 的速度，弹簧压缩量逐渐减小；⑷ 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度减至最小，B 的速度增至最大；⑸ 此后弹簧开始伸长，A 做加速运动，B 做减速运动；⑹ 当弹簧伸长至最长时，A B 、的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大；⑺ 此后A 继续加速，B 继续减速，弹簧逐渐缩短至原长；⑻ 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度增至最大，B 的速度减至最小。此后将重复上述过程。

上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题。设任意时刻A 、B 的速度分别为A v 、B v ，弹簧的弹性势能为p E 。

由动量守恒可得：0A A A B B m v m v m v =+；

由能量守恒可得：222

0p 111222

A A A

B B m v m v m v E =++；

由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们自己分析。

**************************************************************************************** 例题说明：例1、例2侧重对运动过程的分析，可以利用碰撞模型的结论对结果进行分析；例3结合图象分析运动过程并进行简单计算，此题只要求会读取有用信息即可，不要求学生明白为什么图象是这样的，因此不涉及简谐振动内容；例4计算速度及弹性势能等的极值；例5是简单变式，但本质仍是动量能量双守恒；例6、例7是涉及多物体多过程的问题。挑战极限部分的两道题难度较大，例8设问比较特别，需要通过假设进行推理；例9是竖直方向的弹簧模型，运动情景比较复杂，需要分析清楚

动量

——弹簧与圆弧轨道问题

知识点睛

例题精讲

对比碰撞模型，我们会发现：从初始到弹簧压缩到最短的过程，实际上是一个完全非弹性碰撞的过程；从初始到弹簧第一次恢复原长过程，实际上是一个弹性碰撞的过程；两个模型所列出的动量、能量守恒方程类似（只是非弹性碰撞过程中损失的能量表现为弹性势能），因此我们可以直接套用上一讲碰撞问题中得出的结果。

运动过程才能正确求解。

**************************************************************************************** 【例1】

如图所示，a 、b 两物体质量相等，b 上连有一轻质弹簧，且静止在光滑的水平面上，当a 以速度v 通过弹簧与b 正碰，则 A ．当弹簧压缩量最大时，a 的动能恰好为零

B ．当弹簧压缩量最大时，弹簧具有的弹性势能等于物体a 碰前动能的一半

C ．碰后a 离开弹簧，a 被弹回向左运动，b 向右运动

D ．碰后a 离开弹簧，a 、b 都以2

v

的速度向右运动

【答案】 B

【例2】 在足够大的光滑水平面上放有两物块A 和B ，已知A B m >m ，A 物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，B 物体以初速度0v 向着A 物块运动，在B 物块与弹簧作用过程中（B 与弹簧接触后不再分开），两物块在同一条直线上运动，下列判断正确的是 A ．弹簧恢复原长时，B 物块的速度为零

B ．弹簧恢复原长时，B 物块的速度不为零，且方向向右

C ．在弹簧压缩过程中，B 物块动能先减小后增大

D ．在与弹簧相互作用的整个过程中，B 物块的动能先减小后增大

【答案】 D

【例3】 如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为1m 和2m 的两物块A 、B 相连接，并静止在光

滑的水平面上。现使A 瞬时获得水平向右的速度3m/s ，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得

A ．在1t 、3t 时刻两物块达到共同速度1m/s ，且弹簧都是处于压缩状态

B ．从3t 到4t 时刻弹簧由压缩状态恢复到原长

C ．两物体的质量之比为12:1:2m m =

D ．在2t 时刻A 与B 的动能之比为k1k2:1:8

E E =

【答案】 C D

**************************************************************************************** 例题说明：例3只要求会读取有用信息即可，不要求学生理解为什么图象是这样的。如果有的学生理解能力较强，老师可以再补充一道物块弹簧模型的v t -图象的题，此题完全讲白有难度，老师根据情况选用。

【补充1】如图所示，在足够大的光滑水平面上放有质量相等的物块A 和B ，其中A 物块连接一个轻

弹簧并处于静止状态，物块B 以速度0v 向着物块A 运动。当物块与弹簧作用时，两物块在同一条直线上运动。则物块A 、B 与弹簧相互作用的过程中，两物块A 和B 的v t -图象正确的是