傅里叶级数

2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
f ( x ) f ( x ) x 为间断点 , 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
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例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x
将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 先求傅里叶系数
1
y
o


x
1

(1) cos nx d x
an
1

f ( x ) cos nx d x ( n 0 , 1 , )
②
证: 由定理条件, 对①在


逐项积分, 得
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a0 f ( x ) d x 2 d x an cos n x d x bn sin n x d x n 1
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和.
当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
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三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数,它的傅里叶系数为
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
2

o

x
x cos nx sin nx x sin nx d x n n2 0 2 2 cos n ( 1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n
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2

0
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根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:
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a0 f ( x ) a n cos n x bn sin n x ① 2 n 1 1 a n f ( x ) cos nx d x ( n 0 , 1 , )



bn
f ( x ) sin nx d x
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1
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例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 y 上的表达式为 3 2 2 3 o
x
将 f (x) 展成傅里叶级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x) d x x d x 2 2
1 1d x 2 cos n x d x
2



2

sin 2 n x d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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二、函数展开成傅里叶级数


cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin n x d x 0 ( k n ) cos k x sin n x d x 0

1 2
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

( 1) n1 sin nx f ( x ) 2 o n n 1 1 1 2(sin x sin 2 x sin 3 x ) 2 3
级数的部分和
y
x
n＝5 n＝4 n＝2 n＝1 n＝3
逼近 f (x) 的情况见右图.
2 2
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2 ( 2k 1) 2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
F ( x)
f ( x) , f ( x 2k ) ,
傅里叶展开
x [ , )
其它
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
a0 f ( x ) (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1
①
右端级数可逐项积分, 则有
b 1 f ( x ) sin nx d x ( n 1 , 2 , ) n
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sin 3 x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x ) sin x ] 3 5 7 9
说明: 1) 根据收敛定理可知,
4
1
y
o


x
11 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
它的傅里叶系数为
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例4. 设
是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
a n 0 ( n 0 , 1 , 2 , ) 2 bn f ( x ) sin nx d x 0
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则

展成傅里叶
y
o

x
a0
2 x 2 0 1 1 a n F ( x ) cos nx d x f ( x ) cos nx dx
2
F ( x)d x f ( x)d x

1

②
(n 1, 2 , )
由公式 ② 确定的
称为函数 的傅里
的傅里叶系数 ; 以
的傅里叶级数 .
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
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定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;

1

1





2 x sin nx cos nx n n2
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0
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( 2 k 41)2 , n 2k 1 2 2 ( cos n 1 ) n 0 , n 2k ( k 1 , 2 , ) 1 f ( x ) sin nx d x 1 1 cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 5 2 3

f ( x) ,

x 为连续点
函数的Fourier展开 讨论 由于Fourier级数的和函数以2为周期， Fourier 展开问题， 有两类: 但经过 （多数属这种情况） 变换， 都可以将其变换为 或 上定义， 并可以
的
经周期性开拓, 能成为以2为周期的周期函数. 所以以下将重点讨论定义在[ , ]和 (0, ] 上的函数 Fourier 展开问题.
0
1
1

0
1 cos nx d x
0
( n 0 , 1 , 2 , )
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(1) sin nx d x
0
0
1
1

0
1 sin nxdx

2 1 cos nx 1 cos nx n 1 cos n n 0 n 4 2 n , 当 n 1 , 3 , 5 , 1 ( 1)n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 4 1 1 f ( x ) sin x sin 3 x sin( 2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , )


bn
f ( x ) sin nx d x

1

②
(n 1, 2 , )
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
cos k x cos n x d x


1 cos nx d x 1 sin nx d x 0
第七节 傅里叶级数
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
第十二章
一、三角级数及三角函数系的正交性
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研究函数项级数的意义： 给出函数的一种表达方式； 方式的改变称变换，变换的目的
an x n ; （1）简化计算，幂级数
n 0

（2）提取特征——提取信号的频率特征（频谱分析）； 即把复杂的用简单的表示 工程上认为：简谐振动是最简单的
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a0

1

a0 f ( x ) d x f ( x ) (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1



a0 f ( x ) cos k x d x cos kx d x 2 an cos kx cos nx d x bn cos kx sin nx d x n 1
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一、三角级数及三角函数系的正交性
三角级数： 如 由三角函数组成的函数项级数，
a
n 1

n
cos n x ,
b
n 1

n
sin n x
a0 傅里叶级数：f ( x ) a n cos n x bn sin n x ① 2 n 1 1 a n f ( x ) cos nx d x ( n 0 , 1 , )
(谐波函数)
A : 为振幅 : 为角频率
Φ : 为初相
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想法： 复杂的周期运动 :
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (a n cos n x bn sin n x ). 得函数项级数: 2 n 1
an

1

f ( x) cos nxdx
x cos nx d x
1
0
1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2
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, n 2k 1 1 cos n an ( k 1 , 2 , ) 2 n 0, n 2k 1 1 0 (1) n 1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx n ( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于
a k cos 2 k x d x


(利用正交性)
ak
f ( x ) cos k x d x

1

( k 1 , 2 , )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
f ( x ) sin k x d x

1

( k 1 , 2 , )