第5讲数量场的方向导数与梯度
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2
在点M(1,0,1)处有：
u 1 x 2
u 0 y
u 1 z 2
而l的方向余弦为：
1 cos 3
由定理1可得：
2 cos 3
2 cos 3
u u u u cos cos cos l x y z 1 1 2 1 2 2 0 3 2 2 3 2 3
证明：M点的坐标为M(x0+Δ x, y0+Δ y, z0+Δ z)，由
于函数u在M0处可微，故
u u u u u ( M ) u ( M 0 ) x y z x y z
其中ω 在ρ →0时趋于零，上式两边除以ρ ，可得：
u
u x u y u z x y z u u u cos cos cos x y z
就可以通过在该点的梯度表示为：
n
0
，
gradu n , gradu
0
符号由 n 的取向来确定。 把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就 得到一个矢量场，成为此数量场产生的梯度场。
0
r x 2 y 2 z 2 为点M(x,y,z)的矢径r的模， 例3： 设
试证：
r 0 grad r r r
定理2.若在有向曲线C上取定一点M0作为计算弧长s
的起点，并以C之正向作为s增大的方向；M为C上的一 点，在点M处沿C之正向作一与C相切的射线l,如图， 则当曲线C光滑，函数u在点M处可微时，函数u沿l方
向的方向导数就等于函数u对s的全导数，即：
u du l ds
证明：由于曲线C是光滑的，因此可用弧长s作为参 数在描述其参数方程： x=x(s), y=y(s), z=z(s). 沿曲线C,函数表示为 u=u[x(s), y(s),z(s)]. 点M处，函数u可微，则u对s的全导数为：
时)，
u
u(M ) u(M 0 ) M 0M
的极限存在，
方向导数的定义
则称此极限为函数 u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，
记为:
u(M ) u(M 0 ) u lim l M 0 M M 0 M0M
定理1. 若函数 u =u(x, y, z)在点 M0(x0, y0, z0)处可
q 4r
q
3
3
r
由于电场强度：
4r
r
则有：
E -gradv
此式说明：电场中电场强度等于电位的负梯度。从
而可知，电场强度垂直于等位面，且指向电位减小的
一方。
Homework 4
作业 P48 习题3：1，2，4，6, 8
由题意知梯度方向平行于z轴，且其模等于32，则有
4a 3c 0,4a b,2b 2c 32
解得：a=3,b=12,c=-4; 或 a=-3,b=-12,c=4
（3）梯度运算的基本公式：
(1) grad C 0
(2) grad (C u ) C grad u (3) grad ( u v ) grad u grad v
2
点M(2,3)处沿x增大方向的切线方向导数即可。
将曲线方程改为矢量形式：
r xi yj xi ( x 1) j 其导矢： r i 2 xj
2
就是曲线沿x增大方向的切向矢量，代入点M（2,3）得
r M i 4 j
1 其方向余弦为： cos 17
函数u在点M处的偏导数为：
显然
l 为 l 方向上的单位矢量，因此函数u在 l 方向
0
上的方向导数等于G在
u 0 0 G l G cos( G, l ) l 0 因此当方向 l 与G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 u G l
l
方向上的投影，如下式：
函数u的方向导数取得最大值为：
由此可见矢量G的方向就是函数u（M）变化率最大的 方向，其模就是最大变化率的数值，我们把G称为函数u 在给定点处的梯度。
证毕!
函数沿曲线方向的方向导数：
定义： 如图，从M点出发沿C之正向取一点M1,记弧
长 MM1 s ,若当M1→M时，比式：
u u ( M 1 ) u ( M ) s MM1
的极限存在，称之为函 数u在点M处沿曲线（正 向）的方向导数记为：
u s
定理3. 若曲线C光滑，在点M处函数u可微，则有：
u u s l
也就是说，函数u在点M处沿曲线C（正向）的
方向导数与函数u在点M处沿C的切线方向（指向C的
正向一侧）的方向导数相等。
例2： 求函数 u 3x 2 y y 2 在点M（2,3）处沿曲
线 y x 1 朝x增大一方的方向导数。
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：根据推论，只需求出函数u沿曲线 y x 1在
l 2 2 1 l i j k l 3 3 3
M点在l 方向的方向导数为（梯度在l方向的投影）
u l
gradl u M [ grad u l ]M
o M
2 2 1 1 (3) (3) ( ) 3 3 3 1 3
例5： 求常数a,b,c之值，使函数 u axy byz cz x
2
2 3
在点M(1,2,-1)处沿平行于z轴方向上的方向导数取 得最大值32.
解： u u u grad u i j k x y z
(ay2 3cz 2 x 2 )i (2axy bz) j (by 2czx3 )k
grad u M (4a 3c)i (4a b) j (2b 2c)k
u du s ds
证明：由于曲线C光滑，在点M处函数可微，故全导 du u 数 存在。而 按定义实际上是一个右极限 ds s
u u lim s s 0 s
du u u du lim 故当 存在时，就有 s ds ds s 0 s
推论：若曲线C光滑，在点M处函数u可微。则有：
第二章 场论
第5讲 数量场的方向导数和梯度
主要内容
1. 数量场的方向导数 2. 数量场的梯度
教材：第2章 第2节
1.数量场的方向导数 方向导数定义：
设M0是数量场u =u(M)中的一个已知点，从点M0出 发沿某一方向引一条射线l, 在l上点M0的邻近取一动点M， 记 M 0 M ，如图所示。若当M 趋于M0时(即ρ 趋于零
u u u u cos cos cos l x x z
可以看成是矢量G与矢量
u 0 0 G l G cos( G, l ) l
其中：
0
l 的数量积
0
u u u G i j k, x y z
l cosi cosj cosk
证明：
r x x , x x2 y 2 z 2 r r y r z , , 同理 y r z r
于是
r r r grad r i j k x y z x y z r 0 i j k r r r r r
求数量场 u xy2 yz3在点M(2,-1,1)处的梯 例4：
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u u 1 (5) grad ( ) 2 (vgrad u u grad v ) v v
(6) grad f ( u ) f (u) grad u
f f (7) grad f ( u, v ) grad u grad v u u
令ρ →0取极限，注意到此时有ω →0，则得到定理1.
例1： 求函数 u
沿
解： u
x2 y2 z 2
在点M(1,0,1)处
l i 2 j 2k
x x
2 2
方向的方向导数。
2
x y z u z
u y z
2 2
y x y z
2 2 2
x y z
记：
q k grad u
u q cos( q, l ) 则热流强度： k l
只有当 l 的方向与q 的方向一致时,热流强度取 得最大值|q|。即矢量q 的方向表达了热流强度最大 的方向，其模表示最大热流强度的数值。称q 为热流
矢量。是传热学中的重要概念。
例8： 设有位于坐标原点的点电荷q，由电学知道，在
微，则函数u在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且
其数值由如下公式给出：
数，cos ， ， 为 l 方向的方向余弦。 cos cos
u u u u cos cos cos l M 0 x x z u u u 其中 x ， y ， z 是在点M0处的偏
度及在矢量 解：
l 2i 2 j k 方向的方向导数。
u u u grad u i j k x y z y i (2 xy z ) j 3 yz k
2 3 2
M点的梯度为：
grad u M i 3 j 3k
0
l 方向的单位矢量为：
例7： 设有一温度场u(M),由于场中各点的温度各不相同， 因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点， 根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的热 流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任 一点处，沿 l 方向的热流强度为：
u k l
其中k称为内导热系数，负号表示热流方向与温度 增大的方向相反
（1）梯度的定义：
在数量场u(M)中的一点M处，存在这样一个矢量G，
其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也
正好是这个最大变化率的数值。则称矢量G为函数u(M)
在点M处的梯度，记作grad u,即：
grad u G
我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直 角坐标系中的表达式为：
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds dx dx dx 注意到 ， ， 是曲线C的正向切线l的方向余弦， ds ds ds 即： dx dy dz cos cos cos ds ds ds
即有：
du u u u u cos cos cos ds x x z l
其周围空间的任一点M(x,y,z)处所产生电位为：
v
解：利用公式（6）得
q 4r
其中ε 为介电常数，r xi yj zj , r r . 试求电位v的梯度。
grad v grad
由例3知
q
4r r grad r r
q 4r
2
grad r
所以
grad v E
u u u gradu G i j k x y z
（2）梯度的性质：
性质1：函数u沿l方向的方向导数等于梯度在该方向
的投影。写作：
u grad l u l
性质2：数量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直与过该点的
等值面，且指向函数u(M)增大的一方。 由性质2可知：在等值面上任一点处的单位法矢量
4 cos 17
u u 2 6 xy M 36, (3x 2 y) 6. M x M y M
所求方向导数为：
u u u cos cos s x y 1 4 60 36 6 17 17 17
2.数量场的梯度
考察方向导数的公式：
在点M(1,0,1)处有：
u 1 x 2
u 0 y
u 1 z 2
而l的方向余弦为：
1 cos 3
由定理1可得：
2 cos 3
2 cos 3
u u u u cos cos cos l x y z 1 1 2 1 2 2 0 3 2 2 3 2 3
证明：M点的坐标为M(x0+Δ x, y0+Δ y, z0+Δ z)，由
于函数u在M0处可微，故
u u u u u ( M ) u ( M 0 ) x y z x y z
其中ω 在ρ →0时趋于零，上式两边除以ρ ，可得：
u
u x u y u z x y z u u u cos cos cos x y z
就可以通过在该点的梯度表示为：
n
0
，
gradu n , gradu
0
符号由 n 的取向来确定。 把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就 得到一个矢量场，成为此数量场产生的梯度场。
0
r x 2 y 2 z 2 为点M(x,y,z)的矢径r的模， 例3： 设
试证：
r 0 grad r r r
定理2.若在有向曲线C上取定一点M0作为计算弧长s
的起点，并以C之正向作为s增大的方向；M为C上的一 点，在点M处沿C之正向作一与C相切的射线l,如图， 则当曲线C光滑，函数u在点M处可微时，函数u沿l方
向的方向导数就等于函数u对s的全导数，即：
u du l ds
证明：由于曲线C是光滑的，因此可用弧长s作为参 数在描述其参数方程： x=x(s), y=y(s), z=z(s). 沿曲线C,函数表示为 u=u[x(s), y(s),z(s)]. 点M处，函数u可微，则u对s的全导数为：
时)，
u
u(M ) u(M 0 ) M 0M
的极限存在，
方向导数的定义
则称此极限为函数 u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，
记为:
u(M ) u(M 0 ) u lim l M 0 M M 0 M0M
定理1. 若函数 u =u(x, y, z)在点 M0(x0, y0, z0)处可
q 4r
q
3
3
r
由于电场强度：
4r
r
则有：
E -gradv
此式说明：电场中电场强度等于电位的负梯度。从
而可知，电场强度垂直于等位面，且指向电位减小的
一方。
Homework 4
作业 P48 习题3：1，2，4，6, 8
由题意知梯度方向平行于z轴，且其模等于32，则有
4a 3c 0,4a b,2b 2c 32
解得：a=3,b=12,c=-4; 或 a=-3,b=-12,c=4
（3）梯度运算的基本公式：
(1) grad C 0
(2) grad (C u ) C grad u (3) grad ( u v ) grad u grad v
2
点M(2,3)处沿x增大方向的切线方向导数即可。
将曲线方程改为矢量形式：
r xi yj xi ( x 1) j 其导矢： r i 2 xj
2
就是曲线沿x增大方向的切向矢量，代入点M（2,3）得
r M i 4 j
1 其方向余弦为： cos 17
函数u在点M处的偏导数为：
显然
l 为 l 方向上的单位矢量，因此函数u在 l 方向
0
上的方向导数等于G在
u 0 0 G l G cos( G, l ) l 0 因此当方向 l 与G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 u G l
l
方向上的投影，如下式：
函数u的方向导数取得最大值为：
由此可见矢量G的方向就是函数u（M）变化率最大的 方向，其模就是最大变化率的数值，我们把G称为函数u 在给定点处的梯度。
证毕!
函数沿曲线方向的方向导数：
定义： 如图，从M点出发沿C之正向取一点M1,记弧
长 MM1 s ,若当M1→M时，比式：
u u ( M 1 ) u ( M ) s MM1
的极限存在，称之为函 数u在点M处沿曲线（正 向）的方向导数记为：
u s
定理3. 若曲线C光滑，在点M处函数u可微，则有：
u u s l
也就是说，函数u在点M处沿曲线C（正向）的
方向导数与函数u在点M处沿C的切线方向（指向C的
正向一侧）的方向导数相等。
例2： 求函数 u 3x 2 y y 2 在点M（2,3）处沿曲
线 y x 1 朝x增大一方的方向导数。
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：根据推论，只需求出函数u沿曲线 y x 1在
l 2 2 1 l i j k l 3 3 3
M点在l 方向的方向导数为（梯度在l方向的投影）
u l
gradl u M [ grad u l ]M
o M
2 2 1 1 (3) (3) ( ) 3 3 3 1 3
例5： 求常数a,b,c之值，使函数 u axy byz cz x
2
2 3
在点M(1,2,-1)处沿平行于z轴方向上的方向导数取 得最大值32.
解： u u u grad u i j k x y z
(ay2 3cz 2 x 2 )i (2axy bz) j (by 2czx3 )k
grad u M (4a 3c)i (4a b) j (2b 2c)k
u du s ds
证明：由于曲线C光滑，在点M处函数可微，故全导 du u 数 存在。而 按定义实际上是一个右极限 ds s
u u lim s s 0 s
du u u du lim 故当 存在时，就有 s ds ds s 0 s
推论：若曲线C光滑，在点M处函数u可微。则有：
第二章 场论
第5讲 数量场的方向导数和梯度
主要内容
1. 数量场的方向导数 2. 数量场的梯度
教材：第2章 第2节
1.数量场的方向导数 方向导数定义：
设M0是数量场u =u(M)中的一个已知点，从点M0出 发沿某一方向引一条射线l, 在l上点M0的邻近取一动点M， 记 M 0 M ，如图所示。若当M 趋于M0时(即ρ 趋于零
u u u u cos cos cos l x x z
可以看成是矢量G与矢量
u 0 0 G l G cos( G, l ) l
其中：
0
l 的数量积
0
u u u G i j k, x y z
l cosi cosj cosk
证明：
r x x , x x2 y 2 z 2 r r y r z , , 同理 y r z r
于是
r r r grad r i j k x y z x y z r 0 i j k r r r r r
求数量场 u xy2 yz3在点M(2,-1,1)处的梯 例4：
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u u 1 (5) grad ( ) 2 (vgrad u u grad v ) v v
(6) grad f ( u ) f (u) grad u
f f (7) grad f ( u, v ) grad u grad v u u
令ρ →0取极限，注意到此时有ω →0，则得到定理1.
例1： 求函数 u
沿
解： u
x2 y2 z 2
在点M(1,0,1)处
l i 2 j 2k
x x
2 2
方向的方向导数。
2
x y z u z
u y z
2 2
y x y z
2 2 2
x y z
记：
q k grad u
u q cos( q, l ) 则热流强度： k l
只有当 l 的方向与q 的方向一致时,热流强度取 得最大值|q|。即矢量q 的方向表达了热流强度最大 的方向，其模表示最大热流强度的数值。称q 为热流
矢量。是传热学中的重要概念。
例8： 设有位于坐标原点的点电荷q，由电学知道，在
微，则函数u在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且
其数值由如下公式给出：
数，cos ， ， 为 l 方向的方向余弦。 cos cos
u u u u cos cos cos l M 0 x x z u u u 其中 x ， y ， z 是在点M0处的偏
度及在矢量 解：
l 2i 2 j k 方向的方向导数。
u u u grad u i j k x y z y i (2 xy z ) j 3 yz k
2 3 2
M点的梯度为：
grad u M i 3 j 3k
0
l 方向的单位矢量为：
例7： 设有一温度场u(M),由于场中各点的温度各不相同， 因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点， 根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的热 流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任 一点处，沿 l 方向的热流强度为：
u k l
其中k称为内导热系数，负号表示热流方向与温度 增大的方向相反
（1）梯度的定义：
在数量场u(M)中的一点M处，存在这样一个矢量G，
其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也
正好是这个最大变化率的数值。则称矢量G为函数u(M)
在点M处的梯度，记作grad u,即：
grad u G
我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直 角坐标系中的表达式为：
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds dx dx dx 注意到 ， ， 是曲线C的正向切线l的方向余弦， ds ds ds 即： dx dy dz cos cos cos ds ds ds
即有：
du u u u u cos cos cos ds x x z l
其周围空间的任一点M(x,y,z)处所产生电位为：
v
解：利用公式（6）得
q 4r
其中ε 为介电常数，r xi yj zj , r r . 试求电位v的梯度。
grad v grad
由例3知
q
4r r grad r r
q 4r
2
grad r
所以
grad v E
u u u gradu G i j k x y z
（2）梯度的性质：
性质1：函数u沿l方向的方向导数等于梯度在该方向
的投影。写作：
u grad l u l
性质2：数量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直与过该点的
等值面，且指向函数u(M)增大的一方。 由性质2可知：在等值面上任一点处的单位法矢量
4 cos 17
u u 2 6 xy M 36, (3x 2 y) 6. M x M y M
所求方向导数为：
u u u cos cos s x y 1 4 60 36 6 17 17 17
2.数量场的梯度
考察方向导数的公式：