例析如何求解旋转扫过的面积

例析如何求解旋转扫过的面积

我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积，如何计算图形旋转扫过的面积呢？ 下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.

例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ． 析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.

例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB′，B′A′，弧A′C ，CB

围成的阴影部分的面积是 ．

析解: 本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质，连接BO ，O B '，阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积，欲求扇形B BO '面积，需要计算OB 的长，于是连接AC ，则AC ⊥OB ，

∵120A =∠，∴∠AOC=060，

∴∠AOB=21∠AOC=030，∴AD=2

121=AO ，

根据勾股定理得，OD=22AD OA -=23， ∴OB=3，

∵旋转角∠A AO '=，090

∴∠A CO '=，030 ∴∠B BO '=，

090 ∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影

=31211243⨯⨯--ππ=23π3-.

例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋

转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A ．77π338-

B ．47π338+

C ．π

D ．4π33

+ 析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算，中位线定理和直角三角形的有关性质等，连接BH 和1BH ，

∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，

∴AB=2BC=4，

∴AC=,32242222=-=-BC AB

∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，

∴OB=1OB =2，CH=32

111==AC H C ， ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ，

易证△HOB ≌△B O H 11，∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120，半径分别为7和3的两扇形的面积差，

即3601202BH S π=阴影360

1202BO π-=πππ=-3437. A H B O C 1O 1H 1A 1C