反比例函数动点综合题

y O x A B C D α y ＝x 3 1 1 －1 －1 1．如图1，已知双曲线y ＝x

k （k ＞0）与直线y ＝k ′ x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限．试解答下列问题：

（1）若点A 的坐标为（4，2）则点B 的坐标为_____________；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_____________；

（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝x

k （k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限．

①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；

②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由．

2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题． 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O

逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y ＝

x

3的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点A （－m ，0）、C （m ，0）（m 是常数，且m ＞0）．

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是_____________；

（2）①当点B 为（p ，1）时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α和m 的值；

②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有．．几个？（不必说理） （3）试探究：四边形ABCD 能不能是菱形？若能，直接写出B 点坐标；若不能，说明理由．

3．如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝x k 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，tan ∠AOC ＝3

1，点B 的坐标为（m ，－2）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式；

（3）在y 轴上存在一点P ，使得△PDC 与△ODC 相似，请你求出P 点的坐标．

4．如图，是反比例函数y ＝－x 2和y ＝－x 8在第二象限中的图像，点A 在y ＝－x

8的图像上，点A 的横坐标为m （m ＜0），AC ∥y 轴交y ＝－

x 2的图像于点C ，AB 、CD 均平行于x 轴，分别交y ＝－

x 2、y ＝－x

8的图像于点B 、D ． （1）用m 表示A 、B 、C 、D 的坐标；

（2）求证：梯形ABCD 的面积是定值；

（3）若△ABC 与△ACD 相似，求m 的值．

三、反比例函数与翻折结合

5．如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k （x ＞0）的图象经过点B ． （1）求k 的值；

（2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、NA ′BC ．设线段MC ′、

NA ′分别与函数y ＝x

k （x ＞0）的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．

6．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点C 的坐标为（4，3），反比例函数y ＝

x

k （k ＞0）的图象与矩形AOBC 的边AC 、BC 分别相交于点E 、F ，将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上．

（1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等；

（2）求反比例函数的解析式； （3）如图2，P 点坐标为（2，－3），在反比例函数y ＝x

k 的图象上是否存在点M 、N （M 在N 的左侧），使得以O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．

课后练习 1．如图，已知直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝

x k （k ＞0且k ≠2）相交于第一象限内的两点P （1，k ）、Q （2

2 b ，y 2）． （1）求点Q 的坐标（用含k 的代数式表示）；

（2）过P 、Q 分别作坐标轴的垂线，垂足为A 、C ，两垂线相交于点B ．是否存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．（P 、Q 两点请自己在图中标明）

2．在平面直角坐标系中，函数y ＝

x

m （x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB ．

（1）求m 的值；

（2）求证：DC ∥AB ；

（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式

3．如图，一次函数y ＝kx －7的图象与反比例函数y ＝－x 12的图象交于A （m ，2）、B 两点． （1）求一次函数的解析式和点B 的坐标；

（2）等腰梯形CDEF 的顶点C 、D 在反比例函数的图象上，顶点E 、F 在一次函数的图象上，DE ∥CF ∥y 轴，且C 、D 的横坐标分别为a 、a －2，求a 的值．

4．如图，直线y ＝21x ＋b 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B ，与双曲线y ＝x

k （其中x ＞0）相交于第一象限内的点P （2，y 1），作PC ⊥x 轴于C ，已知△APC 的面积为9．

（1）求双曲线所对应的函数关系式；

（2）在（1）中所求的双曲线上是否存在点Q （m ，n ）（其中m ＞0），作QH ⊥x 轴于H ，当QH

＞CH 时，使得△QCH 与△AOB 相似？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．