常见错误剖析(1)函数

常见错误剖析(1) 函数在学习初等函数的过程中，同学们发生的错误，主要表现在如下几个方面：(1)对函数概念的理解不透彻、不准确；(2)对函数性质认识不清晰、不到位；(3)对函数的定义域、值域的考虑出现疏漏；(4)对函数图像及变换拿捏不准确等等.下面，我们将列举若干实例，对以上诸方面的错漏之处进行分析和校正.1．紧扣函数概念是关键例1.下列各对函数中，表示相同函数的是( ).①f(n)=2n+1(n∈Z)与f(n)=2n-1(n∈Z). ②f(x)=3x+2(x∈R)与g(t)=3t+2(t∈R).③f(x)=x 2−1x+1与g(x)=x-1. ④f(x)={0 x=01sinxx∈(0，π2]与g(x)={0 t=01 t=π22costsin2tx∈(0，π2).错解：①、④是相同函数；②、③不是相同函数.剖析：①中f(n)=2n+1(n∈Z)与f(n)=2n-1(n∈Z)的定义域都是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应关系不同，所以它们不是相同函数；②中f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域都是R,尽管它们表示自变量的字母不同，但对应关系都是“乘以2加3”，是相同的对应关系，所以它们是相同函数；③中的f(x)与g(x)的定义域不同，所以它们不是相同函数；④中f(x)与g(x)的定义域相同，其对应关系利用sin2t=2sintcost化简后，也是相同的.所以它们是相同函数.说明：判断两个函数是否为相同的函数，要看它们的定义域与对应关系是否都相同，若是，则它们是相同的函数；这两点中有一点不同，就是不同的函数.至于用什么字母作为自变量，则是无关紧要的.例2.已知f(x)=(m2+2m)x m2+m−1.当m为何值时，(1)f(x)为正比例函数？(2)f(x)是反比例函数？错解：(1)欲使f(x)为正比例函数，必须m2+m-1=1，解得m=1或m= -2.(2)欲使f(x)为反比例函数，必须m2+m-1=-1，解得m=0或m= -1.剖析：(1)正比例函数的一般形式为f(x)=kx(k≠0).上述解法中，只注意到了x的指数为1，而忽略了x的系数k≠0.正确的解法为：由(1)求出m=1或m=-2后，再将m=1或m=-2代入(m2+2m)中，舍去m= -2,最后求得m=1.(2)与(1)类似，反比例函数的一般形式为f(x)=kx(k≠0).再将求出的m=0或m=-1代入m2+2m中，舍去m=0,最后求得m=-1.说明：如指数函数f(x)=a x（a＞0且a≠1），对数函数f(x)=log a x(a＞0且a≠1)，幂函数f(x)=x n (n≠0)等都有类似的问题存在，不要出错哟！例3.已知函数f(x)=√x−7 3ax2+4ax+3的定义域是R ，求a的取值范围.错解：依题意ax2+4ax+3≠0.即二次函数y=ax2+4ax+3的图像与x轴无交点, 则有Δ=(4a)2-12a< 0,解得, 0<a<34.剖析:此题的解答过程看似很正确，仔细分析知，分母对应的函数y=ax2+4ax+3并没有指明它是二次函数，当其二次项的系数为零时，就不是二次函数了.而a=0刚好是满足题设 条件的.故正确答案为0≤a<34. 说明：此类问题是常见问题，也是初学者极易出错的地方.在解答此类问题时，一定要注意分二次项的系数是否为零来进行讨论.千万不要疏忽了！想一想：① (1)如图 1.1—1.下列图形中，不能作为函数图像的是( ).图1.1—1(2)不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4＜0对∀x ∈R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ).A.a ≤2. B .a ＜-2. C.-2＜a ＜2. D .-2＜a ≤2.2．由定义域、值域引发的问题例4.某牧民计划建造一矩形羊圈，现有总长度100米可作为围墙的材料，求羊圈的面积S 与矩形的一边长x 的函数关系.错解：设羊圈的一边长为x 米，则另一边长为(50-x)米.易得函数关系式为 S=x(50-x). 剖析：确定一个函数的三要素应为定义域，对应关系和值域.其中起决定性作用的是定义域 和对应关系.有相同的对应关系，但定义域不同的函数仍然是不同的函数.尤其是对实际问题，我们还要根据实际情况给出符合实际意义的函数的定义域.对于这一点，也往 往被初学者所忽视，应引起我们足够的重视.正解：在原解答的基础上应再考虑，x ＞0且50-x ＞0，从而得到0＜x ＜50.故正确的函数关系为 S=x(50-x)(0＜x ＜50).例5.已知f(x 2-3)=lg x 2x 2−6 .(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性.错解：(1)∵ f(x 2-3)=lg (x 2−3)+3(x 2−3)−3， ∴ f(x)=lg x+3x−3 (x <-3或x >3).故 f(x)的定义域为x ∈(-∞，-3)∪(3，+∞).（2)∵ f(x)的定义域关于原点对称，且f(-x)=lg x+3x−3= -f(x)， ∴ f(x)是奇函数.剖析：在(1)的解答中，若令t=x 2-3,则易知t ＞-3.即f(x)的定义域为x ∈(3，+∞).注意到本题是求函数f(x)的定义域，而不是求f(x 2-3)的定义域，因此在作自变量的代换t=x 2-3时，t ＞-3这一约束条件要贯穿在解题过程的始终，否则就会出错.在解(2)中，由上述分析知，f(x)的定义域为x ∈(3，+∞)，不关于原点对称. 故此函数是非奇非偶的函数.例6.已知函数f(√x +1)=x+2√x -1.求f(x).错解：令t=√x +1，所以x=(t-1)2,从而得出，f(t)=t 2-2. 即 f(x)=x 2-2.剖析：令t=√x +1时，t ≥1，所以f(x)=x 2-2(x ≥1).才是满足条件的函数表达式.说明：在处理此类问题的过程中，我们常常使用换元法.但要注意，只要是换了元，就一定x y o A 1 x y o B 1 x y o C xy o D要把新元的取值范围沿用到最后，否则，极易出现上述错误.例7.已知函数f(x)=2+log 3x ，x ∈[1，9]，求y=[f(x)]2+f(x 2)的最大值.错解：由已知得：y=(2+log 3x)2+2+log 3x 2=lo g 32x+6 log 3x+6.因为 x ∈[1，9]，所以log 3x ∈[0,2] .故 函数y 的最大值为22.(x=9时取得).剖析：上述解法是我们很容易犯的一种错误，即很容易忽略函数f(x 2)的定义域.实际上，x 2∈[1，9]也要成立，所以y=[f(x)]2+f(x 2)的定义域为 x ∈[1，3],从而 log 3x∈[0.1]. 这样一来函数y 的最大值应为13.（x=3时取得）.想一想②：(1)求函数f(x 2-2)=lg x 2x 2−5 的定义域. (2)已知函数f(x)满足：f (x+1x )=x 2+1x 2+1x .求f(x).例8.(1)已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围.(2)已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)的值域为R ，求实数a 的取值范围.错解：(1) ∵ f(x)的定义域为R ，∴ 真数 ax 2+2x+1 >0对∀x ∈R 恒成立.从而有：a >0且△=4-4a < 0，⇒ a >1.(2)∵ f(x)的值域为R ，∴ ax 2+2x+1 >0对∀x ∈R 恒成立.从而有：a >0且△=4-4a < 0，⇒ a >1.剖析：(1)应该分二次项的系数a 是否为零进行讨论.a=0时，真数为2x+1不可能恒大于零. 当a≠0时，同上. ∴ 实数a 的取值范围为a >1(2)此解法的错误在于没有准确地理解函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)的值域为R 的本质含义.根据对数函数的图像和性质，我们知道只要u=ax 2+2x+1的值能够取遍一切正实数，f(x)=lgu 的值域就为R.而当a >0且△=4—4a < 0时，只能保证函数的定义域为R.要想函数f(x)的值域为R.则u=ax 2+2x+1的图像必须与x 轴有交点.所以 当a=0时,y=2x+1,图像与x 轴有交点，满足题设条件；当a ≠0时，a >0且△=4—4a≥0.故满足条件的实数a 的取值范围是a ≤1.3．单调性、奇偶性、周期性之判断例9.下面的推理正确吗？说明理由.∵ 1<2，3<4，且f(1)<f(2),f(3)<f(4).∴ 函数y=f(x)在[1，4]上是增函数. 剖析：函数的单调性是指，对于函数定义域内某个区间Q 上的任意x 的取值x 1，x 2,当x 1x 2时，都有f(x 1)f(x 2)或f(x 1)f(x 2)成立.而不是对若干个特殊值成立就可以了的.即使是对区间Q 上的无数个值都满足，只要是对某一个特定的值不满足也不行.如图1.1—2.虽然上述三个图像所对应的函数都满足，当1<2，3<4时，有f(1)<f(2),f(3)<f(4)也不能得到函数y=f(x)在[1，4]上是增函数.由此可知，上述推理是错误的.x y o 1 2 3 4 x y o 1 2 3 4 x y o 1 3 1 ° · 4 图1.1—2例10.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=√x 2−a 2−√a 2−x 2(a >0). (2)f(x)={x 2+2x +3 x <02 x =0−x 2+2x −3 x <0.(3)f(x)=lg (√x 2+1+x ). (4)f(x)=1−cos x+sin x 1+cos x+sin x . 对于(1)：错解：∵ f(−x)=√(−x)2−a 2−√a 2−(−x)2=√x 2−a 2−√a 2−x 2∴ f(-x)=f(x).但是,f(-x)≠-f(x). 故此函数是偶函数，但不是奇函数．剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，考虑到函数的定义域是{-a,a }，值域是{0}， 故函数的解析式可简化为f(x)=0，x ∈{-a,a }．正解：∵ f(x)=0，x ∈{-a,a }, ∴ f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x).故此函数既是奇函数又是偶函数．对于(2)：错解：∵ 当x<0时，f(-x)=-(x 2+2x+3)=-f(x)；当x>0时，f(-x)=-(-x 2+2x-3)=-f(x)．∴ 函数f(x)是奇函数．剖析：∵ 尽管对于定义域内的每一个x ≠0，都有f(-x)= -f(x)成立，但当x=0时，f(0)=2≠0，∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．此外，应特别注意，若函数f(x)是奇函数，则对定义域内的每一个x ，都有f(-x)=-f(x)成立，特别当x=0属于定义域时，由f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0．一般地，有以下结论：奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0．在此例中如果能去掉函数在x=0处的定义(或在x=0处定义f(0)=0)，那么这个函数就是奇函数了． 对于(3)：错解：对于此函数，由于√x 2+1>√x 2=|x|≥x,所以其定义域为R ，且f(-x)=lg(√x 2+1−x )≠±f(x). 所以 此函数是非奇非偶的函数.剖析：对于式子f(-x)=lg(√x 2+1−x )≠±f(x).表面上看是正确无误的.但实际上 f(−x)=lg(√x 2+1−x)=√x 2+1+x =−f(x).所以此函数是奇函数.在这里，我们被表面现象迷惑了.对于某些似是而非的问题，我们要有一双慧眼，要善于透过现象看本质，这也是对思维的严谨性的考验与要求.对于(4)：错解：∵f(x)=1−cos x+sin x 1+cos x+sin x =2sin 2x 2+2sin x 2cos x 22cos 2x 2+2sin x 2cos x 2=tan x 2.而y =tan x2为奇函数， 故此函数是奇函数.剖析：在判断函数的奇偶性时，首先要考查其定义域是否关于原点对称，这是函数具备奇偶 性的必要条件.显然，对于此函数，x=π2时函数有意义，而，x=−π2时函数无意义， 即f(π2)与f(−π2)不可能同时有意义.故此函数是非奇非偶的函数.说明：在判断函数的奇偶性时，应首先考查函数的定义域，当定义域不关于原点对称时，即可确认此函数是非奇非偶的函数；当定义域关于原点对称时，再来检验奇偶性的定义式是否成立.例11.已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x>0时，对应的解析式是f(x)=x 2-2x+3，则f(x)_____________.错解：当x <0时，f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)+3],∴ f(x)={x 2−2x +3,x >0,−x 2−2x −3,x <0.剖析：由于此函数为奇函数且定义域为R ，即在x=0处有意义，所以还应给出x=0时的对应关系f(0)=0.正解：（1）因为f(x)为奇函数且在x=0处有意义，所以f(0)=0.（2）当x < 0时，-x >0，于是f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x 2+2x+3= -f(-x)，∴ f(x)=-x 2-2x -3.综上可知，所求函数的解析式为f(x)={x 2−2x +3 x >00 x =0−x 2−2x −3 x <0.此外，本题还可以先作出函数f(x)在x >0时的图像，再利用奇函数的图像关于原点对称作出x <0时的图像，最后利用待定系数法由图求解析式.例12.求函数y =2tan x1−tan 2x 的最小正周期.错解：∵y =2tan x 1−tan 2x =tan 2x ，∴ T=π2.即函数的最小正周期为T=π2.剖析：T=π2不是函数y =2tan x 1−tan x 的周期，因为当x=0时，y =2tan x 1−tan x 有意义， 由周期函数的定义，应有f(0+π2)=f(0)成立，然而f(0+π2)根本无意义，故：T=π2不是其周期，错解是由于忽视其定义域而产生的.正解：由于函数y =2tan x1−tan x 的定义域为{x|x ≠k π+π2，x ≠k π+π4,k 为整数.} 作出函数y=tan2x {x|x ≠k π+π2，x ≠k π+π4,k 为整数}的图像，可以看出，所求函数的周期应为π.例13.为了使函数y=sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 .错解：由于函数y=sinωx 在一个周期内只出现一个最大值，欲使y=sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则50个周期的长度不超过区间[0，1]的长度1，即50×2πω≤1⇒ω≥100π. 所以ω的最小值是100π.剖析：由于函数y=sinωx 与函数y=sinx 的图像只有横向伸缩但没有左右平移变换，所以x=0是它们共同的一个零点，欲使y=sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，其实并不需要50个整周期，只要有49.25个周期即可.故应由2πω≤149.25⇒ω≥98.5π. 所以ω的最小值是98.5π.例14.已知函数y=f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数.当x (0，32)时，f(x)=ln(x 2-x+1). 则函数y=f(x)在[0,6]上零点的个数为( ).A.3.B.6.C.7.D.9.错解：∵ y=f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ f(0)=0,即0是其一个零点.令 ln(x 2-x+1)=0， 可得另一个零点1.又 ∵ y=f(x)是奇函数，∴ f(-1)=-f(1)=0.再由周期性可得：f(2)=f(3-1)=f(-1)=0,f(3)=f(3+0)=f(0)=0,f(4)=f(3+1)=f(1)=0,f(5)=f(3+2)=f(2)=0, f(6)=f(6+0)=f(0)=0. ∴ 函数y=f(x)在[0,6]上零点的个数为7,故应选C.剖析：上述解答看似很严谨，但细分析后发现其忽略了，既是周期又具有奇偶性的函数，其零点有所谓的“半周期”现象.假设函数y=f(x)的周期为T ，对于奇函数，若f(T)=0,则必有f(T 2)=0.这是因为f(T 2)= f(T −T 2)= f(−T 2)=- f(T 2),⇒f(T 2)=0.即T 若是函数y=f(x)的一个零点，则T 2也必是另一个零点. 对于本题，由于3是其零点，所以 32=1.5也是零点，再由周期性4.5又是另一个零点.因此，应有9个零点.故应选D.对于偶函数，若有f(T 4)=0，则必有f(3T 4)=0.这是因为，f(3T 4)= f(−3T 4)= f(T −3T 4)= f(T 4)=0. 上述问题可与函数y=sinx 与y=cosx 联系起来理解.例15.如果f(x)是[0,+∞)上单增的偶函数,且f(log 427·log 272)=0，求不等式f(log a x)> 0 (a>0且a≠1)的解集.错解:∵ log 427·log 272=12, ∴ 不等式f(log a x)＞0⇔f(log a x)＞f(12)，又∵ f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴ log a x ＞12. 当a ＞1时, 不等式的解为{x|x ＞O } 当0＜a ＜1时, 不等式的解为{x|0＜x ＜M }. 剖析: 在上述解答中，由f(log a x)＞f(12)， 又∵ f(x)在[0,+∞)上是增函数,并不能得到 log a x ＞12.∵ log a x 可能是负数. 正解：由偶函数的性质f(t)=f(|t|)可得，f(log a x)＞f(12)变形为 f(|log a x|)＞f(12). 从而得到 |log a x|＞12，∴log a x ＞12或log a x ＜-12.再分a ＞1和0＜a ＜1讨论求解.（下略）. 说明：对于偶函数在定义域内的任意取值a ，一定有f(a)=f(|a|).这可由偶函数的定义式及绝对值的意义得到.在处理与偶函数有关的解不等式问题时，尤其要注意利用此特性.例16.若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞，4],求实数a 的值.错解：∵ 此函数图像的对称轴为直线x=1-a ，且开口向上.又函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4]上单调递减.∴ 1-a ≥4 , 从而 a ≤-3.剖析：函数在区间D 上单减，与函数的单减区间是D ，是有区别的.前者只要求函数的图像在D 上是下降的，其下降区间可以超出D .而后者的的下降区间，则只能刚好是D .故正确的解法是由 1-a=4 ，得到a= -3.想一想③：(1)有同学求函数y=√x 2+2x −3的单调增区间时，给出如下做法:令 u=x 2+2x-3,其图像的对称轴为直线x=-1，又开口向上，所以此函数的单增区间是[-1,+ ). 你认为正确吗？说明理由.(2)下面的做法正确吗？若不对，请改正. ①判断函数f(x)=(x −1)√x+1x−1的奇偶性.∵f(x)=(x −1)√x+1x−1=√x 2−1，∴ f(−x)=√(−x)2−1=√x 2−1=f(x).故函数f(x)=(x −1)√x+1x−1是偶函数.②对于问题“定义在[-1,1]上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)是增函数.若f(1+m)＜f(2m)成立，求m 的取值范围.”有人给出此问题的解答过程为：∵ 当x ≥0时，f(x)是增函数，且f(1+m)＜f(2m)，∴ 0≤1+m ＜2m,得 m ＞1; 又 f(x)是偶函数，∴ 当x ≤0时，f(x)是减函数，∴ 0≥1+m ＞2m,得 m ≤-1. 所以 m 的取值范围是 m ＞1或m≤-1.(3)已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x -1),且x ∈[-1，0] 时，f(x)=3x +49时，则f(log 135) = . 例17.已知函数f(x)={a x x <0(a −3)x +4a x ≥0满足，对任意实数x ，当x 1≠x 2时都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则实数a 的取值范围是___________. 错解：由于对任意实数x ，当x 1≠x 2时都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，可知函数f(x)是R 上的减函数，故应有函数y=a x 与y=(a -3)x+4a 都是单减的函数，所以0<a<1且a-3<0.解得 0<a<1.剖析：首先，对不等式所提供的信息f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0不明白，是解题的障碍之一，此式表明,函数f(x)是减函数.其次，x<0当时，函数为减函数，则需0<a<1；当x>0时，函数为减函数，又需a -3<0，即a<3.综上可知，0<a<1.即便如此，也仅仅说明函数分别在x<0和x>0时，分别是减函数.但是，仍然不能说明函数在整个定义域上是减函数，比如，反比例函数在其定义域上就不是减函数.正解：要使得函数f(x)在定义域上是减函数，首先要求f(x)在x>0，x< 0时都是单减的.还要保证当x<0时,f(x)≥f(0).即要求14a.因此，a 必须同时满足{0<a <1a −3<01≥4a，即0<a ≤14.说明：深刻理解函数单调性的内涵和外延是解题关键.减函数的内涵：如果函数f(x)对区间D内任意的x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，则称函数f(x)是区间D 上的减函数；减函数的外延：如果函数f(x)对区间D 内任意的x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0，则称函数f(x)是区间D 上的减函数.变式：已知f(x)={(3a −1)x +4a x <1log a x x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ). A.(0，1). B.(0，13). C.[ 17，1). D.[17，13).例18.求函数y=log 2sin (π3−2x )的单调递增区间.错解：∵ y=log 2u 是u 的增函数，∴ 原函数的单调递增区间由u=sin (π3−2x )的单增区间来确定.即由 2k π−π2≤π3−2x ≤2k π−π2确定.解得函数y=log 2sin (π3−2x )的单调递增区间为[k π−π12，[k π+5π12]，k ∈Z. 剖析：上述的解答中，犯了两个致命的错误.一是忽略了t= π3−2x 是减函数.二是忽略了函数的定义域.求函数的单调区间，必须在定义域的范围内进行.即这里作为真数位置的u=sin (π3−2x )必须大于0. 正解：令y=log 2u ，u =sint ，t =π3−2x ，其中y 是u 的增函数，t 是x 的减函数. ∴ 原函数的递增区间由u=sint 的递减区间与sint ＞0来决定.由2k π+π2≤π3−2x ≤2k π+π，解得函数数y=log 2sin (π3−2x )的单调递增区间为(k π−π3，[k π−π12]，k ∈Z.4.初等方法求函数最值的要领例19.求函数y=x+√x −1的最小值.错解:移项平方整理得 x 2-(2y+1)x+1+y=0（1） ∵ x 是实数,∴ 方程(1)有实根，则 Δ=[-(2y+1)]2-4(1+y)≥0 . 解得y ≥34，∴ y min =34.剖析：错误出在问题的转化过程不是等价转化.方程(1)有实根，但不是任意的实根. 而应是大于或等于1的实根，因此 Δ=[-(2y+1)]2-4(1+y) ≥0只是必要条件，并不充分.此题若转化为根的分布来求解,则较繁琐.用换元法就比较简单了.正解：令√x −1=t ≥0，则 y=t 2+t+1，当t ≥0时，y min =1.当然，此题也可以从函数的单调性角度来处理.易知，此函数的定义域是{x|x ≥1}, 且当x 1时，函数是单增的.故当x=1时，y min =1.例20.当f(x)=5x 2−2kx+504x 2−10x+25 的最小值为1时，求实数k 的所有可能取值.错解：由已知f(x)= 5x 2−2kx+504x 2−10x+25≥1恒成立. ∵ 4x 2-10x+25=(2x -52)2+754>0.∴ 5x 2-2kx+50≥4x 2-10x+25恒成立，亦即：x 2+(10-2k)x+25≥0恒成立.∵ x 2项的系数为正，则△=(10-2k)2-100≤0 ⇒ 0≤k ≤10 .∴ k 的取值范围为k ∈[0，10].剖析：此问题的错误也是由于转化过程是不等价而产生的.由f(x)min =1,可以推出f(x)≥1.但是，由f(x)≥1，不能推出f(x)min =1.这是因为由f(x)≥1，⇒f (x )>1或f(x)=1，不能保证f(x)=1一定成立，只有当f(x)≥1，并且总存在x 0,使得f(x 0)=1，才能保证f(x)min =1.正解：令5x 2−2kx+504x 2−10x+25=1，则x 2+(10-2k)x+25=0. ∵ f(x)的极小值点存在，∴ △=(10-2k)2-100≤0.解得 0≤k ≤10 .由于5x 2−2kx+504x 2−10x+25=1+x 2−(2k−10)x+254x 2−10x+25=1+[(x−(k−5)]2−(k−5)2+254x 2−10x+25， 易知，上式中分母恒正，分子的最小值是25-(k-5)2.当0＜k ＜10时，25-(k-5)2＞0.此时，f(x)＞1,即f(x)不能取得最小值1.因此，k 只能取0或10.容易验证，当k=0或10时，f(x)有最小值1.∴ k 的取值为k=0或k=10.说明：此问题属于“恰成立问题”，相当于方程x 2+(10-2k)x+25=0有等实根，所以由△=(10-2k)2-100=0即可求得k=0或10.想一想④：已知方程 9x -2x 3⋅+3k-1=0(1)有两个实数解.求实数k 的取值范围.解：令t=x 3,则原方程可化为 t 2-2t+3k-1=0 (2)由已知方程(2)有两个实根的条件是△≥0，可得 k ≤23. 此解法正确吗？5.对数函数有点烦，要小心应对哦例21.求函数y =√log 12x −1的定义域. 错解：要使函数在R 上有意义，应有log 12x −1≥0，⇒log 12x ≥1，⇒x ≤12. 所以函数y =√log 12x −1的定义域为(-∞，12].剖析：对于真数x 必须满足x ＞0.所以定义域应为（0, 12]. 例22.已知lgx+lgy=2lg(x -2y).求log √2x y 的值. 错解：∵ lgx+lgy=2lg(x -2y)，∴ xy=(x -2y)2 (1) 即 x 2-5xy+4y 2=0， 解之得 x=y 或x=4y. ∴ log √2x y =0或4.剖析：利用对数的运算性质，将对数式进行变形的过程中，变形前后对字母取值范围的要求是不同的.如等式：log a MN=log a M+log a N 的左边要求MN >0,这里M 、N 可同正，也可同负；而右边则要求M 、N 只能同为正.因此，我们在作相应的变形时，一定要通过限制条件来保证变形的等价性.本题中，去掉对数符号后，x>0,y>0,x-2y >0.这些约束条件在(1)式中是没有体现出来的.故应在变到(1)式的同时，添加限制条件 ，或在求出x=y 或x=4y 后，代入检验真数是否大于零.本题的正确解答应舍去x=y .∴ log √2x y =4. 想一想⑤：(1)已知lg(x+2y)+lg(x -y)=lg2+lgx+lgy,求 x y 的值.(2)求函数y =log cos 600(3−2x −x 2)的值域和单减区间.例23.解不等式：a 2x +1<a x+2+a x-2(a>0).错解：原不等式变形为：a 2x +1<a 2a x +a -2a x ，即 (a x -a 2)(a x -a -2)<0 (1).∴ a -2<a x <a 2，故x ∈(-2,2).剖析：在变形过程中，到(1)式止，都是正确的，而得出a -2＜a x ＜a 2就错了.因为a 的不同取值会直接影响a -2与a 2的大小关系；另外在由a -2＜a x ＜a 2，⇒x ∈(-2,2)也犯了类似的错误.这是因为，当a ＞1或0＜a ＜1时，函数的单调性是不同的.正解：原不等式变形为：a 2x +1＜a 2a x +a -2a x ，即 (a x -a 2)(a x -a -2)＜0.(1)当0＜a ＜1时，a 2＜a -2 ⇒ a 2＜a x ＜a -2，⇒x ∈(-2,2);(2)当a ＞1时，a -2＜a 2 ⇒ a -2＜a x ＜a 2，⇒x ∈(-2,2);(3)当a=1时，无解.综上所述知：当10≠>a a 且时，x ∈(-2,2);当a=1时，无解.例24.已知f(x)=1+log x 3,g(x)=2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小. 错解：∵ f(x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x 3x 4.(1)当0＜x ＜1时，0＜3x 4＜1，∴ log x 3x 4＞0，即f(x)＞g(x)；(2)当x ＞1时， log x 3x 4＞0，即f(x)＞g(x)；综上所述知：f(x)＞g(x).剖析：在上述解题过程中，对于(2)当x ＞1时， log x 3x 4＞0.并不是恒成立的.因为x ＞1时，3x 4可能大于1，也有可能小于1.而对数式子的值，当底数和真数同时大于1或同时在(0,1)内时，其值大于0；当底数和真数一个在(0,1)内，另一个大于1时，其值小于0.故 当x ＞1时，还要再考查真数3x 4的不同取值可能.正解：∵ f(x)-g(x)=log x 3x -log x 4=log x 3x 4. (1)当0＜x ＜1时，0＜3x 4＜1，∴ log x 3x 4＞0，即f(x)＞g(x)；(2)当1＜x ＜43时，0＜3x 4＜1，∴ log x 3x 4＜0，即f(x)＜g(x)；(3)当x=43时，3x 4=1，∴ log x 3x 4=0，即f(x)=g(x)； (4)当x ＞43时，3x 4＞1，∴ log x 3x 4＞0，即f(x)＞g(x)；综上所述知：当x ＞43 或0＜x ＜1时，f(x)＞g(x)；当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)； 当x=43时，f(x)=g(x). 想一想⑥：(1)已知若log a 2<log b 2<0,试确定a,b 的大小与范围；(2)若log a 23＜1,求实数a 的取值范围.6.其它应该注意的事项例25.函数f(x)=x+x -1的零点个数为（ ）A.0B.1C.至少一个D.至多一个.错解：∵ f(1)=2＞0,f(-1)=-2＜0. ∴ 函数f(x)至少有一个零点，故选C.剖析：函数y=f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点的条件是，图像在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0.本题的函数f(x)=x+x -1的图像在x=0处是间断的，显然不满足图像在区间[a,b]上连续不断这一要求.结合图像知函数f(x)=x+x -1无零点.应选A.另外，也可以从x+1x =x 2+1x 恒不能为0这个角度得知函数f(x)=x+x -1的零点个数为0.例26.对函数y=log 2(1- x) 的图像变换有如下说法：由函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，得到函数y=log 2(-x)的图像,再将所得图像向左平移一个单位即可得函数y =log 2[(-x)+1]=log 2(1- x)的图像.你认为正确吗？ 剖析：由函数y=log 2(-x)的图像，得到函数y=log 2(1- x)的图像，应向右平移一个单位.这是因为y=log 2(1- x)=log 2[-(x-1)].函数图像左右平移的规则“加左减右”，是指将x 换成(x+a)或(x-a),其它(包括符号)均不变.也可令平移前的(-x)=0,平移后的(1-x)=0,知要由x=0变为x=1，应向右平移一个单位.一般地，由函数y=f(ωx +φ)变形为y=f(ωx +k )可分别令ωx +φ=0，ωx +k =0，求得平移前的“起点”x 1=−φω，平移后的“起点”x 2=−kω，然后将它们在数轴上标出，从而可直观、准确的确定平移的方向和幅度.例27.若(a +1)−13<(3−2a)−13，求实数a 的取值范围.错解：由函数y =x −13在(-∞,0)及(0，+∞)都是减函数知：(1){a +1<03−2a <0a +1>3−2a ，⇒无解； (1){a +1>03−2a >0a +1>3−2a ，⇒23<a <32.∴ 实数a 的取值范围为23<a <32.剖析：由函数y =x −13在(-∞,0)及(0，+∞)都是减函数，满足条件的a 应有三种情形： (1){a +1<03−2a <0a +1>3−2a ，⇒无解； (1){a +1>03−2a >0a +1>3−2a，⇒23<a <32.(3){a +1<03−2a >0⇒a <−1.所以 实数a 的取值范围为23＜a ＜32或a ＜-1.说明：一般地，若函数y=f(x)是在x=0处无意义的奇函数，在(-∞,0)及(0，+∞)都是减 (或增)函数，求相应参数的取值范围时，都应分三种情形讨论，不可或缺.想一想⑦：若(a+1)3<(3-2a)3，求实数a 的取值范围.有同学仿照例27给出了如下解法：分类讨论，得(1){a +1>0,3−2a >0,a +1<3−2a.或(2){a +1<0,3−2a <0,a +1<3−2a. 或(3){a +1<0,3−2a >0.解(1)得-1<a<23；解(2)知无解；解(3)得a<-1.于是，得实数a 的取值范围是-1<a<23或a<-1. 认为他的解法正确吗？例28.已知函数y={x +1x ,x >0x 3+9,x ≤0.若关于x 的方程f(x 2+2x)=a 有六个不相等的实根，则实数a 的取值范围是( ).A.(2,8].B.(2,9].C.(8,9]D.(8,9).错解：令x 2+2x=t,则问题可转化为函数y={t +1t ,t >0t 3+9,t ≤0，f(t)9 2. 8与函数f(t)=a 有六个不同的交点. 结合图1.1—3知， 实数a 的取值范围是(2,9].故应选B.剖析：上述的解答存在一个致命的漏洞——忽略了x 2+2x=t 中，t ≥-1这一隐含的约束条件，而当t ≥-1时，x 3+9≥8,故上述图像中y= x 3+9的那段图像只包含t ≥-1这部分.所以正确的答案应为C.说明：此类问题相当于换元法解方程，(x 2+2x)2+2(x 2+2x)-3=0,在解出x 2+2x=1或-3后，再求x 的值，这时x 2+2x=-3实际上是无实根的.例29.函数y=2x -x 2的图像大致是( ).错解：在同一直角坐标系中同时作出函数y=2x 与y=x 2图像，如图1.1—4.结合图像知，函数y=2x -x 2有两个零点且在最小零点的左侧y <0.故应选B.剖析：上述推导过程只看重了“形”，而且是错误的“形”.我们知道对于在(0,+∞)都是增函数的幂函数、指数函数、对数函数，当自变量x 足够大时，指数值>幂函数值>对数值，即在同一直角坐标系中同时画出在(0,+∞)都是单增的幂函数、指数函数、对数函数的图像时，从某一点开始，指数函数的图像一定在幂函数图像的上方.因此，y=2x 与y=x 2图像在y 轴右侧应有两个交点(2,4)和(4,16)，所以正确的选择支为A.说明：在处理函数的零点(方程根的个数)、图像的变换等问题时，我们可“数形结合”来处理.“形”——直观、明了；“数”——精细、准确.我们要把两者有机地结合起来，相辅相成，相得益彰.习题1.11.已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],则函数y=f(x+2)①与函数y=f(x)+2 ②中，哪个会使定义域发生变化，哪个会使值域发生变化？2.已知函数y=log 2(x 2-ax -a)的值域为R.求实数a 的取值范围.3.已知sin 、cos 是方程8x 2+6kx+2k+1=0的两实根，求实数k 的值.4.求函数y=x+√2x −1的最小值.某同学给出如下的解法： 令√2x −1=t ，则x=t 2+12.∴ y=t 22+t +12=(t+1)22≥0. ∴ y min =0. 你认为有错吗？若有错，请改正.5.判断函数f(x)=√1−x 2|x+2|−2的奇偶性.下面的做法正确吗？若不对，请改正. ∵f(−x)=√1−(−x)2|−x+2|−2=√1−x 2|x−2|−2≠±f(x)，∴ f(x)是非奇非偶的函数.6.试比较log x 3与log 3x 的大小.7.已知函数y=f(x)是在x=0处无意义的奇函数，且在(0，+ )上是增函数.若f(a+1)+f(2a-3)<0，求实数a 的取值范围.8.已知(2a −1)−2>(a +3)−2，求实数a 的取值范围.y图1.1—4o x x y o A y o B y o C y D x x x9.已知函数f (x )＝4x与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t 的取值范围是( ).A ．(－6，0] . B.(－6，6) . C ．(4，＋∞). D.(－4，4). 10.定义域和值域均为[-a,a](a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图1.1—5.对于命题：(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个根；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个根；(3)方程g[g(x)]=0有且仅有一个根；(4) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个根； 其中正确的是( ).A.(1)(2).B.(2)(3).C.(1)(3).D.(3)(4).11.已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x －3)+f(x 2－3)<0,求x 的取值范围. 有人给出了如下的解法，你认为他有没有错误，若有，请更正. ∵ f(x)是奇函数，∴f(x －3)<－f(x 2－3)=f(3－x 2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴ x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0. 解得x>2或x<－3，又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数， ∴ 2＜x ＜3为所求.参考答案想一想①：（1）B ，C ，D. (2)D.想一想②：(1)x ∈(3，+∞); (2)f(x)=x 2-x+1(x 1≠). 想一想③：(1)不正确，忽视了函数的定义域{x|x ≤-3或x ≥1}.此函数的单增区间是[1,+ ∞). (2)①不正确.错误有二，一是变形f(x)=(x −1)√x+1x−1=√x 2−1不正确.二是此函数的定义域不关于原点对称，应为非奇非偶的函数.②由已知得f(|1+m|)＜f(|2m|)，得|1+m|＜2|m|≤1，得到−12≤m ＜−13. (3)1. 变式：D.想一想④：令t=x 3＞0，所以方程（1）有两实根，等价于方程（2）有两正根.则 △≥0 且t 1+ t 2＞0且t 1t 2＞0, ⇒ 13<k ≤23想一想⑤：(1)xy =2.(2)值域 [-2,+ ,∞)；单减区间 (-3，-1].想一想⑥：(1)0＜b ＜a ＜1;(2)(0,23)∪(1,+ ∞). 想一想⑦：剖析：以上解法机械地分类讨论，而忽略了函数的定义域和单调性，从而导致错误.正解：因为幂函数f(x)=x 3在R 上是增函数，所以由(a+1)3<(3-2a)3得f(a+1)<f(3-2a)，于是，x y oa a -a -a y=f(x) x y o a a -a -a y=g(x) 图1.1—5有a+1<3-2a ，解得a<23.故实数a 的取值范围是(−∞，23).习题1.11.函数①会使函数y=f(x)的定义域发生变化，而值域不变；函数②会使函数y=f(x)的值域发生变化，而定义域不变.理由是，图像的左右平移会改变定义域，值域不变;图像的上下平移会改变值域，而定义域不变.2.a ≤-4或a ≥0.3.{sinα+cosα=−3k4sinαcosα=2k+18 ∆=36k 2−32(2k +1)≥0⇒k =−109.4.剖析：上面解法当t=-1时，y=0，而由t =√2x −1≥0知t=-1不可能，所以该解法错 误，其忽视了换元时对新元t 的限制范围. 正解: 令t =√2x −1≥0，则x =t 2+12（t ≥0）∴ y =12t 2+t +12=12(t +1)2≥0∵ t ≥0 ∴y =12(t +1)2≥12. ∴当t=0时，y12min.5.由已知可得此函数的定义域为-1≤x ≤1且x ≠0,关于原点对称. 此时 原函数式可变为：y =√1−x 2x.易知此函数为奇函数.6.(1)当x=3或13时，log x 3=log 3x ；(2)当x ＞3或13＜x ＜1时，log x 3＜log 3x ； (3)当1＜x ＜3或0＜x ＜13时，log x 3＞log 3x.7.将原式变为f(a+1)＜f(3-2a),再仿例27可求得a 的取值范围为23＜a ＜32或a ＜-1. 8.注意到此题与上述第7题是不同的，其对应的函数是偶函数.故可利用偶函数的特性来求解. 即：由(2a −1)−2>(a +3)−2，得到 |2a-1|＜|a+3|且2a-1≠0,a+3≠0. 进而求得a 的取值范围为−23＜a ＜12或129.B.10.C.11.剖析：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域. 正解：由{−3<x −3<3−3<x 2−3<3得{0<x <6−√6<x <√6,故0<x<√6,又∵f(x)是奇函数，∴f(x －3)<－f(x 2－3)=f(3－x 2),又f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<√6,即A={x|2<x<√6}.。