净现值NPV-折现现金流量估价
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C C C C
⋯
0 1 2 3 T 年金现值可由两个永续年金现值之差求出: 从时期1开始的永续年金 减去从时期 T + 1开始的永续年金
C C r PV = − T r (1+ r)
2010-12-31 公司理财讲义 20
年金（ 年金（Annuity） ）
年金现值系数
C 1 PV = 1− T r (1+ r)
4.2 多期投资的情形
终值 FV = C0×(1 + r)T
C0 ：期初投资金额,
r ：利息率 T ：资金投资所持续的期数
现值 PV= CT/(1 + r)T
2010-12-31 公司理财讲义 5
4.3 复利计息期数
一年期终值：
r FV = C0 ×1+ m
m
r:名义年利率，m: 一年复利计息次数 实际年利率：
2010-12-31
公司理财讲义
2
4.1 单期投资的情形
终值（FV）：一笔资金经过一个时期或多 个时期以后的价值。
FV = C0×(1 + r) (1
现值：PV=C1/(1+r) 投资的净现值（NPV）=－成本+PV
2010-12-31
公司理财讲义
3
不确定性与价值评估
不确定的投资其风险较大，这时就要求一个 更高的贴现率。 比如投资油画，其风险高，确定性的市场利 率假如是10%，投资油画的贴现率可能要求 为25%。
增长年金（Growing annuity）
A stream of cash flows that grows at a constant rate for a fixed number of periods.
2010-12-31
公司理财讲义
12
永续年金（ 永续年金（Perpetuity） ）
A constant stream of cash flows that lasts forever.
C 0 1
C 2
C
…
3
C C C PV = + + +⋯ 2 3 (1+ r) (1+ r) (1+ r)
The formula for the present value of a perpetuity is:
C PV = r
2010-12-31 公司理财讲义 13
Perpetuity: Example
假如有一笔永续年金，以后每年要付给投资者 美元， 假如有一笔永续年金，以后每年要付给投资者100美元，如果相 美元 关的利率水平为8％ 那么该永续年金的现值为多少? 关的利率水平为 ％，那么该永续年金的现值为多少
$100 0 1
$100 2
$100
…
3
$100 = $1,250 PV = .08
2010-12-31 公司理财讲义 14
C 0 1
C 2
C
C
⋯
3 T
C C C C PV = + + +⋯ 2 3 T (1+ r) (1+ r) (1+ r) (1+ r)
年金现值公式:
C 1 PV = 1− r (1+ r)T
2010-12-31 公司理财讲义 19
年金现值计算的另一种思维： 年金现值计算的另一种思维：
公司理财讲义
10
4.4 简化公式（Simplifications） 简化公式（ ）
永续年金（Perpetuity）
永续年金( annuity )是一系列没有止境的现金流 比如英国政府发行的金边债券（consols）（由英国政府 1751年开始发行的长期债券），一个购买金边债券的投 资者有权永远每年都在英国政府领取利息 比如NOBEL奖、其它奖学金等
2010-12-31
公司理财讲义
17
永续增长年金
房东由房屋可得的现金流（房租）的现值为
100000 PV = = $1666667 .11−.05
2010-12-31
公司理财讲义
18
年金（ 年金（Annuity） ）
A constant stream of cash flows with a fixed maturity.
永续增长年金（ 永续增长年金（Growing Perpetuity） ）
上述问题显然是个关于无穷级数的计算问题。 上述问题显然是个关于无穷级数的计算问题。
2010-12-31 公司理财讲义 15
永续增长年金（ 永续增长年金（Growing Perpetuity） ）
C 0 1
C×(1+g) C ×(1+g)2
2010-12-31
公司理财讲义
30
Growing Annuity：Example ：
斯图尔特·加贝尔（ 斯图尔特 加贝尔（Stuart Gabriel）是一个二年级的 加贝尔 ） MBA学生，他得到了一份每年 学生， 美元薪金的工作。 学生 他得到了一份每年80,000美元薪金的工作。 美元薪金的工作 他估计他的年薪会每年增长9％，直到40年后他退休 ％，直到 他估计他的年薪会每年增长 ％，直到 年后他退休 为止。若年利率为20％，他工作期间工资的现值为多少? ％，他工作期间工资的现值为多少 为止。若年利率为 ％，他工作期间工资的现值为多少
r 1+ −1 m
m
实际年利率
2010-12-31
公司理财讲义
7
多年期复利
r FV = C0 ×1+ m
m×T
连续复利
FV = C0×erT
C0 是初始的投资，r是名义利率，T是投资所 持续的年限；e是一个常数，其值约为2.718
连续复利
2010-12-31
2010-12-31
公司理财讲义
27
两笔年金的现值相等
计算过程分三步：前两步要计算最后 年要支付学费的现值 年要支付学费的现值， 计算过程分三步：前两步要计算最后4年要支付学费的现值，然后再计 算南希夫妇每年要存多少款，其现值才等于所支付学费的现值。 算南希夫妇每年要存多少款，其现值才等于所支付学费的现值。 (1) 用年金公式计算 年学费的现值： 用年金公式计算4年学费的现值 年学费的现值：
2010-12-31
公司理财讲义
29
增长年金（Growing Annuity） 增长年金（ ）
增长年金现值的计算公式
1+ g T C PV = 1− (1+ r) r −g
其中： 其中： C：是指第一期末开始支付的数额； ：是指第一期末开始支付的数额； r：是指适当利率利率； ：是指适当利率利率； g：是指每期的固定增长率 ： T：是指年金支付的持续期 ：
2010-12-31
公司理财讲义
23
递延年金实例
丹尼尔·卡拉维洛（ 丹尼尔 卡拉维洛（ Danielle Caravello）在六年后 卡拉维洛 ） 开始的四年之内，每年会收到500美元。如果利率 美元。 开始的四年之内，每年会收到 美元 ％，那么他的年金的现值为多少 为10％，那么他的年金的现值为多少 ％，那么他的年金的现值为多少?
A
T r
1 = 1 − r
(1+r )
T
1
T
是在利率为r的情况下，T 年内每年获得1美元的年金 的现值 年金现值系数表
A
T r
PV = C × Ar
2010-12-31
公司理财讲义
21
Annuity: Example Ⅱ
马克·杨 马克 杨（Mark Young）赢得了一项州博彩大奖， ）赢得了一项州博彩大奖， 在以后20年中每年将得到 年中每年将得到50,000美元的 在以后 年中每年将得到 美元的 奖金，一年以后开始领取奖金。若年利率为8％， 奖金，一年以后开始领取奖金。若年利率为 ％， 这项奖项的真实价值是多少? 这项奖项的真实价值是多少
永续增长年金（Growing Perpetuity） 永续增长年金（ ）
上述公式中，
C：现在开始一期以后收到的现金流； g：每期的固定增长率 r：适当的贴现率
关于永续增长年金的计算公式有三点需要注意：
上述公式中的分子是现在起一期后的现金流，而不是目前的现 金流 贴现率r一定要大于固定增长率g，这样永续增长年金公式才会 有意义 假定现金流的收付是有规律的和确定的 通常的约定：假定现金流是在年末发生的(或者说是在期末发 生的)；第0期表示现在，第1期表示从现在起1年末，依次类推
2010-12-31
公司理财讲义
22
关于年金计算中需要注意的地方
对于年金计算中现金流产生的时间差异：
递延年金（delayed annuity） 现金流收付产生在多期以后的年金 先付年金（annuity in advance） 与后付年金相对应：通常假定第一次年金收付发生在1期之后 1 年金的第一次支付发生在现在或者说是0期 教材P67例4－22 不定期年金（the infrequent annuity） 指年金的支付频率不确定，超过1年期 使两笔年金的现值相等
2010-12-31
公司理财讲义
31
4.5 如何确定公司价值（What Is a Firm Worth?） 如何确定公司价值（ ）
年金（Annuity）
年金是指一系列稳定有规律的、持续一段固定时期的现金收付 活动 A stream of constant cash flows that lasts for a fixed number of periods. 比如：人们退休后所得到的养老金经常是以年金的形式发放的。 租赁费和抵押借款也通常是年金的形式
2010-12-31
公司理财讲义
24
2010-12-31
公司理财讲义 陈榕
25
不定期年金实例
陈安娜（ 美元的年金， 陈安娜（Ann Chen）小姐得到一笔 ）小姐得到一笔450美元的年金， 美元的年金 每两年支付一次，持续时间为20年 第一次支付是在第2期 每两年支付一次，持续时间为 年。第一次支付是在第 期， 也就是两年以后，年利率为6％。该年金的现值为多少？ ％。该年金的现值为多少 也就是两年以后，年利率为 ％。该年金的现值为多少？ 第一步，首先需确定两年期的利率： R＝(1＋6%)(1+6%)-1=12.36% 第二步，计算10年期的年金现值： PV=$450*[1/0.1236-1/0.1236(1+0.1236)10]=$2 505.57
…
2 3
C C×(1+ g) C×(1+ g)2 PV = + + +⋯ 2 3 (1+ r) (1+ r) (1+ r)
The formula for the present value oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a growing perpetuity is:
C PV = r −g
2010-12-31 公司理财讲义 16
2010-12-31
公司理财讲义
26
两笔年金的现值相等
哈罗德（Harold）和海伦·南希（Helen Nash）开始为他们刚出生的 女儿苏珊（Susan）进行大学教育存款，南希夫妇估计当他们的女儿上 大学时，每年的费用将达30,000美元，在以后几十年中年利率将为14％。 这样，他们现在要每年存多少钱才能够支付女儿四年大学期间的费用? 为了便于计算，我们假定苏珊今天出生，她父母将在她18岁生日那年 支付第1年的学费。在以后的17年中，他们每年都在苏珊生日那天存入 相同金额的存款。第1次存款是在1年以后。
(2) 计算4年学费在第 期的现值： 计算 年学费在第0期的现值： 年学费在第 期的现值
(3) 使存款与支付学费的现值相等： 使存款与支付学费的现值相等：
2010-12-31
公司理财讲义
28
增长年金（ 增长年金（Growing Annuity） ）
比如：由于企业的实际增长率变化或通货膨 胀等的原因，使得企业现金流随着时间而增 长情况 增长年金的现值可视为两个永续增长年金的 现值的差额
第4章 折现现金流量估价
李连军 博士 教授
Chapter Outline
4.1 单期投资的情形（One-Period Case） 4.2 多期投资的情形（Multi-period Case） 4.3 复利计息期数（Compounding Periods Compounding Periods） 4.4 简化公式（Simplifications） 4.5 如何评估公司的价值（What Is a Firm Worth?）
永续增长年金（Growing perpetuity）
A stream of cash flows that grows at a constant rate forever. 比如：上市公司的高管人员在年报中经常承诺公司在未 来将以20％的股利增长率向股东派现
2010-12-31
公司理财讲义
11
4.4 简化形式（Simplifications） 简化形式（ ）
⋯
0 1 2 3 T 年金现值可由两个永续年金现值之差求出: 从时期1开始的永续年金 减去从时期 T + 1开始的永续年金
C C r PV = − T r (1+ r)
2010-12-31 公司理财讲义 20
年金（ 年金（Annuity） ）
年金现值系数
C 1 PV = 1− T r (1+ r)
4.2 多期投资的情形
终值 FV = C0×(1 + r)T
C0 ：期初投资金额,
r ：利息率 T ：资金投资所持续的期数
现值 PV= CT/(1 + r)T
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4.3 复利计息期数
一年期终值：
r FV = C0 ×1+ m
m
r:名义年利率，m: 一年复利计息次数 实际年利率：
2010-12-31
公司理财讲义
2
4.1 单期投资的情形
终值（FV）：一笔资金经过一个时期或多 个时期以后的价值。
FV = C0×(1 + r) (1
现值：PV=C1/(1+r) 投资的净现值（NPV）=－成本+PV
2010-12-31
公司理财讲义
3
不确定性与价值评估
不确定的投资其风险较大，这时就要求一个 更高的贴现率。 比如投资油画，其风险高，确定性的市场利 率假如是10%，投资油画的贴现率可能要求 为25%。
增长年金（Growing annuity）
A stream of cash flows that grows at a constant rate for a fixed number of periods.
2010-12-31
公司理财讲义
12
永续年金（ 永续年金（Perpetuity） ）
A constant stream of cash flows that lasts forever.
C 0 1
C 2
C
…
3
C C C PV = + + +⋯ 2 3 (1+ r) (1+ r) (1+ r)
The formula for the present value of a perpetuity is:
C PV = r
2010-12-31 公司理财讲义 13
Perpetuity: Example
假如有一笔永续年金，以后每年要付给投资者 美元， 假如有一笔永续年金，以后每年要付给投资者100美元，如果相 美元 关的利率水平为8％ 那么该永续年金的现值为多少? 关的利率水平为 ％，那么该永续年金的现值为多少
$100 0 1
$100 2
$100
…
3
$100 = $1,250 PV = .08
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C 0 1
C 2
C
C
⋯
3 T
C C C C PV = + + +⋯ 2 3 T (1+ r) (1+ r) (1+ r) (1+ r)
年金现值公式:
C 1 PV = 1− r (1+ r)T
2010-12-31 公司理财讲义 19
年金现值计算的另一种思维： 年金现值计算的另一种思维：
公司理财讲义
10
4.4 简化公式（Simplifications） 简化公式（ ）
永续年金（Perpetuity）
永续年金( annuity )是一系列没有止境的现金流 比如英国政府发行的金边债券（consols）（由英国政府 1751年开始发行的长期债券），一个购买金边债券的投 资者有权永远每年都在英国政府领取利息 比如NOBEL奖、其它奖学金等
2010-12-31
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17
永续增长年金
房东由房屋可得的现金流（房租）的现值为
100000 PV = = $1666667 .11−.05
2010-12-31
公司理财讲义
18
年金（ 年金（Annuity） ）
A constant stream of cash flows with a fixed maturity.
永续增长年金（ 永续增长年金（Growing Perpetuity） ）
上述问题显然是个关于无穷级数的计算问题。 上述问题显然是个关于无穷级数的计算问题。
2010-12-31 公司理财讲义 15
永续增长年金（ 永续增长年金（Growing Perpetuity） ）
C 0 1
C×(1+g) C ×(1+g)2
2010-12-31
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30
Growing Annuity：Example ：
斯图尔特·加贝尔（ 斯图尔特 加贝尔（Stuart Gabriel）是一个二年级的 加贝尔 ） MBA学生，他得到了一份每年 学生， 美元薪金的工作。 学生 他得到了一份每年80,000美元薪金的工作。 美元薪金的工作 他估计他的年薪会每年增长9％，直到40年后他退休 ％，直到 他估计他的年薪会每年增长 ％，直到 年后他退休 为止。若年利率为20％，他工作期间工资的现值为多少? ％，他工作期间工资的现值为多少 为止。若年利率为 ％，他工作期间工资的现值为多少
r 1+ −1 m
m
实际年利率
2010-12-31
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7
多年期复利
r FV = C0 ×1+ m
m×T
连续复利
FV = C0×erT
C0 是初始的投资，r是名义利率，T是投资所 持续的年限；e是一个常数，其值约为2.718
连续复利
2010-12-31
2010-12-31
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27
两笔年金的现值相等
计算过程分三步：前两步要计算最后 年要支付学费的现值 年要支付学费的现值， 计算过程分三步：前两步要计算最后4年要支付学费的现值，然后再计 算南希夫妇每年要存多少款，其现值才等于所支付学费的现值。 算南希夫妇每年要存多少款，其现值才等于所支付学费的现值。 (1) 用年金公式计算 年学费的现值： 用年金公式计算4年学费的现值 年学费的现值：
2010-12-31
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29
增长年金（Growing Annuity） 增长年金（ ）
增长年金现值的计算公式
1+ g T C PV = 1− (1+ r) r −g
其中： 其中： C：是指第一期末开始支付的数额； ：是指第一期末开始支付的数额； r：是指适当利率利率； ：是指适当利率利率； g：是指每期的固定增长率 ： T：是指年金支付的持续期 ：
2010-12-31
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23
递延年金实例
丹尼尔·卡拉维洛（ 丹尼尔 卡拉维洛（ Danielle Caravello）在六年后 卡拉维洛 ） 开始的四年之内，每年会收到500美元。如果利率 美元。 开始的四年之内，每年会收到 美元 ％，那么他的年金的现值为多少 为10％，那么他的年金的现值为多少 ％，那么他的年金的现值为多少?
A
T r
1 = 1 − r
(1+r )
T
1
T
是在利率为r的情况下，T 年内每年获得1美元的年金 的现值 年金现值系数表
A
T r
PV = C × Ar
2010-12-31
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21
Annuity: Example Ⅱ
马克·杨 马克 杨（Mark Young）赢得了一项州博彩大奖， ）赢得了一项州博彩大奖， 在以后20年中每年将得到 年中每年将得到50,000美元的 在以后 年中每年将得到 美元的 奖金，一年以后开始领取奖金。若年利率为8％， 奖金，一年以后开始领取奖金。若年利率为 ％， 这项奖项的真实价值是多少? 这项奖项的真实价值是多少
永续增长年金（Growing Perpetuity） 永续增长年金（ ）
上述公式中，
C：现在开始一期以后收到的现金流； g：每期的固定增长率 r：适当的贴现率
关于永续增长年金的计算公式有三点需要注意：
上述公式中的分子是现在起一期后的现金流，而不是目前的现 金流 贴现率r一定要大于固定增长率g，这样永续增长年金公式才会 有意义 假定现金流的收付是有规律的和确定的 通常的约定：假定现金流是在年末发生的(或者说是在期末发 生的)；第0期表示现在，第1期表示从现在起1年末，依次类推
2010-12-31
公司理财讲义
22
关于年金计算中需要注意的地方
对于年金计算中现金流产生的时间差异：
递延年金（delayed annuity） 现金流收付产生在多期以后的年金 先付年金（annuity in advance） 与后付年金相对应：通常假定第一次年金收付发生在1期之后 1 年金的第一次支付发生在现在或者说是0期 教材P67例4－22 不定期年金（the infrequent annuity） 指年金的支付频率不确定，超过1年期 使两笔年金的现值相等
2010-12-31
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31
4.5 如何确定公司价值（What Is a Firm Worth?） 如何确定公司价值（ ）
年金（Annuity）
年金是指一系列稳定有规律的、持续一段固定时期的现金收付 活动 A stream of constant cash flows that lasts for a fixed number of periods. 比如：人们退休后所得到的养老金经常是以年金的形式发放的。 租赁费和抵押借款也通常是年金的形式
2010-12-31
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2010-12-31
公司理财讲义 陈榕
25
不定期年金实例
陈安娜（ 美元的年金， 陈安娜（Ann Chen）小姐得到一笔 ）小姐得到一笔450美元的年金， 美元的年金 每两年支付一次，持续时间为20年 第一次支付是在第2期 每两年支付一次，持续时间为 年。第一次支付是在第 期， 也就是两年以后，年利率为6％。该年金的现值为多少？ ％。该年金的现值为多少 也就是两年以后，年利率为 ％。该年金的现值为多少？ 第一步，首先需确定两年期的利率： R＝(1＋6%)(1+6%)-1=12.36% 第二步，计算10年期的年金现值： PV=$450*[1/0.1236-1/0.1236(1+0.1236)10]=$2 505.57
…
2 3
C C×(1+ g) C×(1+ g)2 PV = + + +⋯ 2 3 (1+ r) (1+ r) (1+ r)
The formula for the present value oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a growing perpetuity is:
C PV = r −g
2010-12-31 公司理财讲义 16
2010-12-31
公司理财讲义
26
两笔年金的现值相等
哈罗德（Harold）和海伦·南希（Helen Nash）开始为他们刚出生的 女儿苏珊（Susan）进行大学教育存款，南希夫妇估计当他们的女儿上 大学时，每年的费用将达30,000美元，在以后几十年中年利率将为14％。 这样，他们现在要每年存多少钱才能够支付女儿四年大学期间的费用? 为了便于计算，我们假定苏珊今天出生，她父母将在她18岁生日那年 支付第1年的学费。在以后的17年中，他们每年都在苏珊生日那天存入 相同金额的存款。第1次存款是在1年以后。
(2) 计算4年学费在第 期的现值： 计算 年学费在第0期的现值： 年学费在第 期的现值
(3) 使存款与支付学费的现值相等： 使存款与支付学费的现值相等：
2010-12-31
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28
增长年金（ 增长年金（Growing Annuity） ）
比如：由于企业的实际增长率变化或通货膨 胀等的原因，使得企业现金流随着时间而增 长情况 增长年金的现值可视为两个永续增长年金的 现值的差额
第4章 折现现金流量估价
李连军 博士 教授
Chapter Outline
4.1 单期投资的情形（One-Period Case） 4.2 多期投资的情形（Multi-period Case） 4.3 复利计息期数（Compounding Periods Compounding Periods） 4.4 简化公式（Simplifications） 4.5 如何评估公司的价值（What Is a Firm Worth?）
永续增长年金（Growing perpetuity）
A stream of cash flows that grows at a constant rate forever. 比如：上市公司的高管人员在年报中经常承诺公司在未 来将以20％的股利增长率向股东派现
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4.4 简化形式（Simplifications） 简化形式（ ）