三重积分的计算法—球面坐标

5
经线方向的长为 rd,
z dr
d
纬线方向的宽为 rsind, rsin
向径方向的高为 dr。
r
于是，小六面体的体积为 o
x
dv r2 sindrdd
d
r sind
rd
d
y
这就是球面坐标系中的体积元素。
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二、 三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz F(r,, )r2 sindrdd
x
y
P(x,y,0)
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
3
③点M的直角坐标与
z
球面坐标的关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
M(r,,)
r • M(x,y,z)
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
2
,
0
2
z
x2 y2 z2dv
1
2
d
cos
2 d r r 2 sindr
0
0
•
0
2
2
sin
cos4
d
。
0
4
10 x
o
y
10
z
例2 求 z2dv, : x2 y2 z2 2z 2
解法一 用球面坐标系
: 0 r 2cos,0 ,0 2
•
2
o
I
为半径的上半球面与xoy面所围
成的空间区域。
: 0 r R,0 ,0 2
I
2
d
2 d
R
r
2
2 sin2
r
2
x
sindr
o
0
0
0
y
2
2 sin3 d
R r 4dr
4 R4。
0
0
15
9
(2)
x2 y2 z2 dv, : x2 y2 z2 z
解
:
0
r
cos
,
0
2
d
2 d
2cos
r
2
cos2
r
2
x
sin
dr
0
0
0
y
2
2 0
cos2
sin
[r5
5
]2cos 0
d
64
5
cos8
8
2 0
8 。
5
11
解法二 用柱面坐标系
z
z2dv
2
1
d
1
rdr
1 r 2
z 2dz
0
2
0
1 1r2
2
1
r
z3 3
dr 1 1r2
1 1r2
0
2
3
1
r[6
球面坐标
球形体域 或其中一 部分
体积元素
dxdydz
rdBiblioteka Baidurdz
变量代换
x x y y zz
x r cos y r sin
zz
r2 sindddr
x r sin cos y r sin sin z r cos
15
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin , r cos)。
计算三重积分，一般是化为先r，再，最后
的三次积分。
当原点在 内时,有
0 r r(, ),0 ,0 2 ,
f (x, y, z)dV
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
4
1 5
z
5
)
2 0
8 。
5
z 2
o x
y
Dz
y
Dz
o zx
Dz
:
x2
y2
(2z
z2)
13
小结三重积分的计算方法： 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 关键步骤：
(1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限
14
坐标系 直角坐标
适用范围
长方体 四面体 任意形体
柱面坐标
柱形体域 锥形体域 抛物体域
r
为从正z轴来看自x轴
o
x
z
y
按逆时针方向转到有向 x y P(x,y,0)
uuur 线段OP , 这里P是点M 在xoy平面上的投影点。
这样三个数r , ,叫做点M的球面坐标。
2
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
M(r,,)
0
,
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
z
x
y
0
0
0
7
例如，半径为R的球体的体积
V
dV
2
d
d
R r 2 sindr
0
0
0
2 2 R3 4 R3。
33
8
例1 先将积分化为球面坐标的累次积分,
再求其积分值。
R
(1)I dx
R2 x2
dy
R2 x2 y2 ( x2 y2 )dz
R R2 x2
0
z
解 (1) 是以原点为球心,以R
7.3.4 利用球面坐标计算三重积分
一、球面坐标
z
设M ( x, y, z)为空间内一 点, 则点M 也可用这样三个
有次序的数r, ,来确定。
M(r,,) • M(x,y,z)
r
o
x
z
y
x y P(x,y,0)
1
r为原点到M间的距离。 uuuur
为有向线段OM与z轴
正向所夹的角。
z
M(r,,) • M(x,y,z)
1 r2 2
(1 r 2)3 ]drx
o
y
0
4
(
1
1
)
[3
1 r2
(1 r 2)3 ]d(1 r 2)
32
0
4
3
(
1 2
)
0
[3
u
u3 ]du
8 。
5
1
12
解法三 截面法
2
z2dv z2dz d
0
Dz
2
z2 (2z z2 )dz
0 2
(2z3 z4 )dz
0
(2 z4
dv r2 sindrdd
4
为了把三重积分 中的变量从直角坐标 变换为球面坐标，用
三组坐标平面r = 常 数， =常数， = 常数把积分区域分
成许多小闭区域。
z
dr
d
r sin
r
o
x
d
r sind
rd
d
y
考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成
的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可 把这个六面体看作长方形。