函数三要素求法小结.ppt

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3.1.1函数的概念(第1课时)课件(人教版)

f x） x 3
1
．
x2
2
f 3），（
（2）求（
f ）的值．
3
2
解：
（2）将3 与代入解析式，有
2
解：
（2）将33 与代入解析式，有
3
2
1
f (解：
3) （2）将3
3 + 3 与 3 代入解析式，有

1 1 ；
f (3) 3 +33+ 2
1 ；
3 + 2
1
2f (3) 2 3 + 31
11 31 ；3
33
．33
（
f ）2 + 32

1
11
3
3
．
f ）
+23 3 + 23 8 8 3
3（
3
3
3 + 22
3 8 8
3
2
2 3
1+ 2 11 3 3
33
．
（
f ）
+3 3

2
3
3
3 8 8
2.初中对函数是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，
y是x的函数.
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行
半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行
时间 t（单位：h）的关系可以表示为
函数的概念：
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，

函数三要素及分段函数

函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定一．定义域一．定义域1.具体函数：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；的实数集合； ④若f(x)是对数型函数，则函数的定义域是使真数大于0的实数集合；的实数集合；⑤若f(x)是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合；是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合； ⑥三角函数:（必修4） 2.抽象函数：抽象函数：①已知函数f(x)的定义域为D ，求函数f 【g （x ）】的定义域，只需g （x ）∈D; ②已知函数f 【g （x ）】的定义域为D, 求函数f(x)的定义域, 只需求出g （x ）的值域。

）的值域。

练习：1.求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x xx x f③=)(x f x11111++④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y⑥()()1log 143++--=x x x x f ⑦⑦221()1(3234)f x n x x x x x =-++--+ ⑧221()log (1)x f x x --=-⑨若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是（） 2. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-×x f 的定义域3．设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域4. 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 5. 设a ÎR ，函数)22lg(2a x ax y --=的定义为A ，不等式0342<+-x x的解集为B ，若¹ÇB A f ，求实数a 的取值范围．的取值范围．6.已知函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.二．函数解析式二．函数解析式1.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 2．若x x x f 21(+=+）,求f(x)3. 已知：)(x f =x 2-x+3 求：求： f(x+1), f(x1) 4. 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 5. 若xxx f -=1)1( 求f(x) 6. 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f7.设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式. 8.8. 已知ｆ（ｘ＋x 1）＝ｘ３＋31xx ，求ｆ(ｘ)的解析式的解析式三．值域三．值域1．直接法：利用常见函数的值域来求利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ¹0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(¹=k xky 的定义域为{x|x ¹0}，值域为{y|y ¹0}；二次函数)0()(2¹++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-³}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-£}. 2.分离常数法（反函数法）：例：1+=x x y3．换元法：例：求函数x x y -+=142的值域的值域4. 判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例：求函数66522++-=x x x y 的值域的值域 5. 数形结合法：数形结合法：例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 例2：求函数xx y 1+=的值域6. 二次函数比区间上的值域(最值)：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142Î+-=x x x y ；③]1,0[,142Î+-=x x x y ； ④]5,0[,142Î+-=x x x y ；练习：①x x y -+=2； ②242xx y --=③ 34252+-=x x y④④)0(9122¹++=x x x y ⑤若函数12)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，则a 的值为的值为（）⑥ 设函数41)(2-+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域；的值域；（Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值⑦的值域求2)2(|1|-++=x x y⑧的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(x f x f x g y x f -+== ⑨已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值．的值．分段函数分段函数; ; ; 定义域定义域定义域; ; ; 值域或最值值域或最值值域或最值; ; ; 函数值函数值函数值; ; ; 解析式解析式解析式; ; ; 图像图像图像; ; ; 反函数反函数反函数; ; ; 奇偶性奇偶性奇偶性; ; ; 方程方程方程; ; 不等式不等式. .))12log (12x 1)1x +--）的值为）的值为。

函数的概念,三要素的求法（整理版）

函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

函数的概念与表示法课件(共19张PPT)

( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域：在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的值域。（3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

【高中数学】2023年新高一初升高衔接-函数的概念课件

: → 为从集合到集合的一个函数.
记作 = , ∈
1.函数的概念
是怎样的对应关系？
1.非空性：数集不为空集
1.函数的概念
是怎样的对应关系？
2.任意性：所有x均有对应的y
子女1
子女2
子女3
亲生母亲1
亲生母亲2
哪个孩子没有亲生母亲？
————所有都有
你和兄弟姐妹有几个亲生母亲？
第二章函数
பைடு நூலகம்
函数
函数的概念
函数的概念
函数的三要素
函数
函数的性质
我们在这里
We are here
1
函数的概念
目录
函数的概念
函数的概念
函数的判断
分段函数
没有人比我更懂函数了
1.函数的概念
函数的近代定义
设 A，B是两个非空数集，如果按某一确定的对应关系 f ，使得 A 中的任意
一个数 x，在 B 中都有唯一确定的数 f ( x )与之对应，则称 f : A B 为从 A
2.函数的判断
练2-1.下列四个图形中，不是函数图象的是 (
y
y
O
x
A
)
y
O
x
B
y
O
x
C
O
x
D
2.函数的判断
练习2-2.（2022重庆八中期末4）设集合 = {|( + 1)( − 3) ⩽ 0}，
= {|( − 3) ⩽ 0}，函数()的定义域为，值域为，则函数
()的图象可以是(
为从 A
什么是真正的函数?
到 B 的函数 (function) ，记作y f ( x) ，x A．

函数的三要素(定义域、值域、对应法则)

函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。

下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点函数的定义域题点求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x ＜2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．（3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．答案 (0,1]解析函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点求函数的解析式题点待定系数法求函数解析式解由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)，即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式解方法一设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式解方法一设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。

函数的概念与表示ppt

注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
[5,6)
（2） {x|x ≥9}
[9,)
（3） {x|x < -9,或 9 < x<20}
(, 9 ) ( 9 ,2)0
【例1】判断下列每组的两个函数是否为同一函数?
（1）y=∣x ∣与y=√x2 (2)y=2x+1 与y=2s+1 (3)y=1 与y=x0 (4)y=x2+2x 与y=2x3
四. 区间的概念
请阅读课本P27关于区间的内容
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
【例2】已知函数
f(x)
x3 1 x2
求函数的定义域
解：要使函数有意义，
只 x x 2 3 0 0 要 x x 3 2 x 3 且 x 2
所f(以 x)的定{x义 |x 3 域，x为且 2 }
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合.
【例3】
某山海拔7500m，海平面温度为25℃，气温是海拔高度的函数，而且高度每升高 100m,气温下降0.6℃，请用解析表达式表示气温T随海拔高度x变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域。
五.小结
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对
应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟

函数的三要素

函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。

高中数学函数入门——三要素：定义域、值域、对应关系的求法

高中数学函数入门——函数的三要素及其求法函数的定义：设B A 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数)(function记作 A x x f y ∈=),(其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域，显然值域是集合B 的子集.一、定义域求法（1）具体函数（函数给定解析式）１、)(x f 是整式：R ；２、)(x f 是分式：使分母不为0的数集；３、)(x f 是二次（偶次）根式：根号内式子≥0；４、幂式0x ：0≠x ；5、对数：真数大于0；6、以上几部分组合：各式都有意义的数集。

【总结反思】求具体函数定义域——看“x ”在哪里【例1】求下列函数的定义域。

).4(log 123)()3(;23||2)()2(;213)()1(220x x x x f x xx x f x x x f -+-=-+-=+++=).2,21()(,221,04012),4(log 123)()3(]3,()(3,03||02023||2)()2(),2()2,3[)(,23,0203213)()1(2220的定义域为即解得的定义域为，即解得的定义域为即且解得，【解析】x f x x x x x xx f x f x x x x x x x x f x f x x x x x x x f <<⎩⎨⎧>->-∴-+-=--∞-≤⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≠∴-+-=+∞-⋃---≠-≥⎩⎨⎧≠+≥+∴+++=（2）抽象函数（没有给定解析式）【例2】 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域是()A.[0,1)∪(1,2020]B.[-1,1)∪(1,2020]C.[0,1)∪(1,2019]D.[-1,1)∪(1,2019](2)已知函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),则f(2x -1)的定义域为( )A.(-1,0)B.-12,12C.(0,1)D.-12,0【解析】(1)由函数y=f(x)的定义域是[0,2020]可知要使f(x+1)有意义,需满足0≤x+1≤2020,解得-1≤x ≤2019,所以要使g(x)=f(x+1)x−1有意义,需满足{-1≤x ≤2019,x −1≠0,解得-1≤x<1或1<x ≤2019.故选D.(2)∵函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),∴-4<x<-2,∴-3<x+1<-1,则f(x)的定义域为(-3,-1),由-3<2x -1<-1,得-1<x<0,∴f(2x -1)的定义域为(-1,0).故选A【总结反思】求抽象函数定义域——抓住定义域的定义：x 的取值范围二、求解析式的方法①换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，注意新元范围.②配凑法：已知f[g(x)]=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，再以x 代替g(x)得到f(x)的解析式.③待定系数法：已知函数类型，如一次函数、二次函数等基本初等函数.④解方程组法：已知f(x)与f(-x)、f(x 1)的等量关系，再以-x 代替x 、x1代替x 构造一个等式.⑤“求谁设谁”（对称法）：已知f(x)的奇偶性及某一区间上解析式，求对称区间上的解析式.【例3】 (1)已知函数f(√x +1)=x-4,则f(x)= .(2)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)= .(3)已知函数f(x)对一切不为0的实数x 均满足f(x)+2f 2020x =2020x +2,则f(x)= . (4)已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x>0,f(x)=-2x 2+3x+1,求f(x)的解析式.【解析】(1)方法一(换元法):令t=√x +1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t 2-2t-3(t ≥1),故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).方法二(配凑法):由题可知√x +1≥1,f(√x +1)=x-4=(√x +1)2-2(√x +1)-3,故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).(2)(待定系数法)∵f(x)为二次函数,∴设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∵f(0)=3,∴c=3.由f(x+2)-f(x)=4x+2,得a(x+2)2+b(x+2)+3-ax 2-bx-3=4x+2,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x 2-x+3.(3)(解方程组法)f(x)+2f2020x =2020x +2,① 将①中的x 换成2020x ,得f2020x +2f(x)=x+2, ② 将①②联立并消去f 2020x ,得f(x)=23x-20203x +23(x ≠0).(4) (求谁设谁)设x<0,则-x>0,f(-x)=-2x 2-3x+1,∵f(x)为R 上的奇函数，∴f(x)=-f(-x)=2x 2+3x-1∴x<0时f(x)=2x 2+3x-1，f(0)=0⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=∴0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f三、求值域的方法(1)原则:依据函数的定义域求值域,即先确定定义域再求值域.(2)常用方法.①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;②配方法:此法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;④换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.注意新元的范围.【例4】求下列函数的值域12)4(3)3(]5,1[,64)2(1)1(2-+=-=∈+-=+=x x y x x y x x x y x y),21[210,00,)1(212121,0,12)4(}1|{1,03333133)3(3)3(]11,2[115,222]5,1[,2)2()2().,1[111,0,0)1(2222+∞∴==≥∴≥+=++=∴+=≥-=≠∴≠∴≠--+=-+-=-=∴====∴=∈+-=+∞+=∴≥+∴≥∴≥函数的值域为处取得最小值即在上单调递增函数在设函数值域为函数值域为取最大值在取最小值在，在给定区间对称轴为配方得的值域为解：x u u u u u u y u x u x u y y y x x x x x x y y x y x x x x y x y x x x 【总结反思】定义域、值域是集合，要用集合或区间表示．。

函数三要素

一、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。

2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。

3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。

4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。

例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。

1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。

3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

例3： 1）已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。

2）已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。

函数的概念三要素的求法

函数的概念三要素的求法函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

函数有许多不同的定义方式，但最常见和最基本的定义是：函数是一个集合，它把一个给定的输入（称为自变量）映射到一个特定的输出（称为因变量）。

函数在数学中有广泛的应用，在几乎所有的数学分支中都起着重要的作用。

一个函数通常用一个方程式或者一段描述来表示。

例如，y=f(x)表示了一个函数，其中y是x的函数，并且通过方程式y=f(x)可以计算出y的值。

这里的f表示函数的名称或者函数符号。

一个函数由三个要素组成，它们分别是定义域、值域和对应关系。

首先是定义域。

定义域是函数的自变量（一般用x表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，定义域是使得函数有意义的自变量的值。

在实际问题中，定义域可以是各种各样的数集，例如实数集、整数集、有理数集等等。

有时候，由于特定的限制条件，定义域可能只是一个特定的子集，而不是整个数集。

需要注意的是，对于一些函数，定义域可能有一些特殊的限制，例如分母不能为零或者不能取负数等等。

其次是值域。

值域是函数的因变量（一般用y表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，值域是函数所能达到的所有值的集合。

值域可以是实数集、整数集、有理数集等等，根据具体问题的要求而定。

需要注意的是，对于有些函数，值域可能有一些特殊的限制，例如函数值只能取正数或者只能取整数等等。

最后是对应关系。

对应关系指的是自变量和因变量之间的一一对应关系。

换句话说，对于定义域中的每一个自变量值，函数有唯一确定的因变量值与之对应。

这个对应关系可以用函数图像、函数表等方式表示，以形象直观地展示函数的特点。

需要注意的是，函数的对应关系是唯一的，不会有两个不同的自变量值对应同一个因变量值的情况发生。

在求解一个函数的三要素时，首先要确定函数的定义域。

根据具体的问题，分析自变量可能的取值范围，排除那些使得函数无意义的自变量值。

然后要确定函数的值域。

根据具体问题的要求，分析因变量可能的取值范围，找出函数所能达到的所有值。

《函数的概念及其表示》函数的概念与性质PPT(第一课时函数的概念)

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第三章函数的概念与性质
(2)①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为 R. 不相等． ②对应关系不同，f(x)＝ 1x，g(x)＝ x.不是同一个函数． ③定义域、对应关系都相同．同一个函数． ④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.不是同一个函数．【答案】 (1)B (2)③
栏目导引
第三章函数的概念与性质
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
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第三章函数的概念与性质
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第三章函数的概念与性质
判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形．
(－∞，4)．
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第三章函数的概念与性质
已知全集 U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁UA 用区间表示为 ________．解析：∁UA＝{x|x≤1 或 x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
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第三章函数的概念与性质
下图中能表示函数关系的是________．
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第三章函数的概念与性质
⑤若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． (2) 第 (1) 题易出现化简 y ＝ x ＋ 1 － 1－x ，错求定义域为 {x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．

函数三要素

函数定义域，值域，解析式一．函数：（1）定义：（任意，唯一）（2）判断函数图象。

（3）相等函数判断（4）三要素：（定义域，值域，对应关系）（5）定义域求法：1， 2， 3， 4。

（6）抽象函数定义域二．函数值域的求法：（1）配方法：例：22++-=x x y（2）换元法：例：x x y 21--=（3）裂项法：例：313-+=x x y （4）不等式法：例：313-+=x x y ，)6,5(∈x （5）图象法：例：11-++=x x y ，3≥x . 752+--=x x y ,3≤x .三．解析式的求法：（1）代入法：例：已知 52)(+=x x f ，求)14(-x f 解析式拼凑法（换元法）：例：已知 13)1(-=-x x f ，求)(x f 解析式（2）待定系数法：例：)(x f 为二次函数且2)0(=f ，1)()1(-=-+x x f x f ，求)(x f 解析式)(x f 为一次函数且14)]([-=x x f f ，求)(x f 解析式（3）方程组法：例：3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 解析式x x f xf =+)()1(2，求)(x f 解析式四．例题：1、下列各组函数中，表示相同函数的是（）()()()x x g x x f A ==,2(B)x y =与x x y 2= (C)2y =, y=x ()()()vv v g u u u f D -+=-+=11,11 2．函数422--=x x y 的定义域。

3．函数0y =__________。

3．已知)(x f 的定义域为（1，4]，求)23(+x f 定义域？4．已知)14(-x f 的定义域为[3，7]，求)(x f 定义域？5．已知)14(+x f 的定义域为[2，5]，求)31(x f -定义域？6．函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________。