齐次方程解法
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
齐次方程的三种通解
齐次方程的三种通解摘要：一、齐次方程的概念与特点二、齐次方程的通解分类1.零解2.非零解3.混合解三、齐次方程求解方法1.直接求解法2.变量替换法3.常数变易法四、齐次方程的应用1.线性方程组求解2.微分方程求解3.实际问题中的应用正文：一、齐次方程的概念与特点齐次方程是指具有如下形式的线性方程：a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ...+ a_1x + a_0 = 0其中，a_n≠0，n为正整数。
齐次方程的特点是最高次项的系数为0，即方程的解中包含n个独立变量，且系数矩阵为增广矩阵的幂零矩阵。
二、齐次方程的通解分类1.零解：当方程的系数满足一定条件时，方程的解为零解。
具体条件如下：若a_n≠0，当且仅当a_(n-1)、...、a_1、a_0不全为0时，方程有零解。
2.非零解：除零解之外的所有解，其特点是至少有一个非零解。
3.混合解：方程的通解由零解和非零解组成。
三、齐次方程求解方法1.直接求解法：对于一次齐次方程，可以直接求解。
例如：ax + b = 0解得x = -b/a。
2.变量替换法：对于高次齐次方程，可以通过变量替换降低方程的次数。
例如，将x^n替换为新的变量y，得到：ay + b = 0从而求解原方程。
3.常数变易法：在一定条件下，可以将齐次方程转化为非齐次方程，然后利用非齐次方程的求解方法求解。
四、齐次方程的应用1.线性方程组求解：齐次方程组具有特殊的解，可以用于求解线性方程组。
例如，线性方程组：ax_1 + by_1 = cdx_2 + ey_2 = f的解可以通过求解对应的齐次方程组得到：x_1 = -b/a * y_1x_2 = -f/d * y_22.微分方程求解：在一定条件下，齐次方程可以转化为微分方程，从而求解微分方程。
3.实际问题中的应用：齐次方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，如振动系统的稳态解、电路中的电流分布等。
总之，齐次方程作为一种特殊的线性方程，具有丰富的理论和实际应用价值。
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点;但是同学们学得时候要系统;要全面;要完整..下面是解线性方程组各种情况的标准格式;请同学们以此为准;进行练习..一、齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解：1 若齐次线性方程组()=;则只有零解；r A n2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()<.注：当r A n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式m nA=.注：1、基础解系不唯一;但是它们所含解向量的个数相同;且基础解系所含解向量的个数等于()-.n r A2、非齐次线性方程组AX B=的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O=所对应的同解方程组..由上面的定理可知;若m是系数矩阵的行数也即方程的个数;n是未知量的个数;则有：1当m n<时;()≤<;此时齐次线性方程组一r A m n定有非零解;即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A=；3当m nA≠;故齐次线性=且()r A n=时;此时系数矩阵的行列式0方程组只有零解；4当m n >时;此时()r A n ≤;故存在齐次线性方程组的同解方程组;使“m n ≤”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有()4r A n ==;则方程组仅有零解;即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠;不可以用行列式的方法来判断;从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---;知方程组仅有零解;即12340x x x x ====.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为 134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ;4x ;5x 为自由未知量令31x =;40x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;41x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;40x =;51x =;得125,6x x ==-;于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以;原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++1k ;2k ;3k R ∈.例3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系;并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩其中2x ;3x 为自由未知量令21x =;30x =;得142,0x x ==；令20x =;31x =;得141,0x x =-=;于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以;原方程组的通解为1122X k k ξξ=+其中1k ;2k 为任意实数.二、非齐次线性方程组的解法⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦可见()()3r A r A ==;则方程组有唯一解;所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠;则原方程组无解例 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;可见()3()2r A r A =≠=;所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦可见()()24r A r A ==<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ;4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ;4x 为自由未知量令31x =;40x =;得121,2x x =-=；令30x =;41x =;得125,7x x ==-;于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦..所以;原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++1k ;2k R ∈.例 求线性方程组 的全部解.解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可见()()34r A r A ==<;所以方程组有无穷多解;其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令40x =;可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数;得;1233,3,1x x x ==-=;于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以;原方程组的通解为X k ηξ=+ k R ∈.。
齐次方程_??????
齐次方程一、什么是齐次方程？简言之，齐次方程是指形如 $ax^2+bx+c=0$ 的二次方程，其中$a,b,c$ 是常数，而且 $a\e 0$，此时对比出来的齐次方程是$\\frac{x^2}{a}+\\frac{bx}{a}+\\frac{c}{a}=0$，也就是 $x^2+bx+c=0$。
通用地说，形如 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$（其中，$a_1,a_2,\\cdots,a_n$ 都是常数，而且至少有一个 $a_i\e 0$ ）的一次齐次方程称为 $n$ 元线性齐次方程。
总之，齐次方程的特点有以下几点：1. 带有 $0$ 项的方程是齐次方程；2. 每一项的次数都相同；3. 方程中的常数项为 $0$；4. 方程中每个系数都是相同次数的幂。
二、齐次方程的解法通常使用行列式解法或保持族的形式解法来解齐次方程。
〇、零解首先，任何一个齐次方程都有一个特殊的解，那就是零解。
这个解比较好解决，因为当 $x_1=x_2=\\cdots=x_n=0$ 时，方程显然成立。
一、行列式解法1. 唯一性定理：对于 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，若其有非零解，则该方程的任意$n$ 个非零解在它们的比值下等于几个常数的比值。
2. 基础定理：对于 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，其通解可以表示成 $x_i=C_1x_{i_1}+C_2x_{i_2}+\\cdots+C_tx_{i_t}$，其中$t$ 是非零解的个数，$i_1,i_2,\\cdots,i_t$ 是一个 $1,2,\\cdots,n$ 的排列，而$C_1,C_2,\\cdots,C_t$ 是任意常数。
3. 行列式解法：若要解决 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，可以构造行列式：$$\\left\\vert\\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \\cdots & a_{1,n} \\\\a_{2,1} & a_{2,2} & \\cdots & a_{2,n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{n,1} & a_{n,2} & \\cdots & a_{n,n}\\end{matrix}\\right\\vert$$如果此行列式等于 $0$，则有非零解；否则只有零解。
齐次方程的通解的步骤例子
齐次方程的通解的步骤例子
以下是 6 条关于齐次方程通解步骤的例子：
1. 首先要搞清楚啥是齐次方程呀！就像你要认清一个人一样。
比如说方程$x^2+y^2=0$，这就是个齐次方程呢！然后呢我们要找到它的特征方程，这就好比是找到开启宝藏的钥匙。
有了这把钥匙，才能继续往下走呀，是不是很有意思呢？
2. 接着呀，我们就来解特征方程咯！比如方程$x^2-2x+1=0$，解方程就
像是翻山越岭去找答案。
求出特征根，哇塞，就感觉找到了路途中的重要标志呢！你说神奇不神奇？
3. 再之后呢，根据特征根的情况来确定通解的形式呀！这就好像是根据不同的地形来选择不同的前进方式。
要是特征根是单实根，那通解就有一种形式；要是有重根呢，又会不一样哦，这多像我们的生活，充满了各种变化呀！就像方程$x^2-4x+4=0$，它的特征根是重根，通解形式就不一样啦！
4. 然后呢我们要根据确定的通解形式，去找到具体的系数呀！哎呀，这就好比是给一幅画上色，让它更加生动起来。
通过一些条件来确定这些系数，就像在给我们的答案添砖加瓦呀！比如给定一个初始条件，就能把那些不确定的都确定下来啦！
5. 紧接着呀，把所有的都组合起来，通解就出来啦！哇哦，就好像是把一颗颗珍珠串成了一条美丽的项链。
你看，从一个复杂的方程到清楚明了的通解，
这过程多有成就感呀！例如方程$y''+y=0$，经过一系列操作，通解就展现在眼前啦！
6. 最后呀，记得要检查一下哦，看看我们解的对不对呀！这就像是做完作业要检查一遍一样。
嘿嘿，可不能马虎呀！只有经过认真检查，我们才能真正掌握齐次方程的通解呢！
总之，搞懂齐次方程的通解步骤真的超级重要，大家一定要认真对待呀！。
齐次微分方程解法
齐次微分方程解法一、前言齐次微分方程是微积分中的重要概念之一，也是求解微分方程的基础。
本文将对齐次微分方程的解法进行详细讲解。
二、齐次微分方程的定义齐次微分方程是指形如 $y'=f(\frac{y}{x})$ 的微分方程，其中 $f$ 是一个连续函数。
三、齐次微分方程的通解对于一个齐次微分方程 $y'=f(\frac{y}{x})$，我们可以通过变量代换$y=kx$ 将其化为一阶线性常系数微分方程。
具体来说，将 $y=kx$ 代入原式得到：$$\frac{dy}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$$将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dk}{dx}$ 分别表示为$\frac{d(kx)}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$ 和$\frac{dk}{d(kx)}=\frac{1}{x}$，则有：$$\frac{d(kx)}{dx}=kf(k)$$这是一个一阶线性常系数微分方程，其通解为：$$kx=c_1e^{\int f(k) dk}$$将 $k=\frac{y}{x}$ 代入上式得到：$$\frac{y}{x}=c_1e^{\int f(\frac{y}{x}) d(\frac{y}{x})}$$这就是齐次微分方程的通解。
四、齐次微分方程的特解对于一个齐次微分方程 $y'=f(\frac{y}{x})$，我们可以通过变量代换$y=kx$ 将其化为一阶线性常系数微分方程。
具体来说，将 $y=kx$ 代入原式得到：$$\frac{dy}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$$将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dk}{dx}$ 分别表示为$\frac{d(kx)}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$ 和$\frac{dk}{d(kx)}=\frac{1}{x}$，则有：$$\frac{d(kx)}{dx}=kf(k)$$这是一个一阶线性常系数微分方程，其通解为：$$kx=c_1e^{\int f(k) dk}$$将 $k=\frac{y}{x}$ 代入上式得到：$$\frac{y}{x}=c_1e^{\int f(\frac{y}{x}) d(\frac{y}{x})}$$我们可以通过给定初始条件来求出特解。
第3,4节 齐次方程, 一阶线性微分方程
y
2(1ex ), 2(e 1) ex ,
0
x
x 1 1
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方程，
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y Ce P( x)dx .
例 3 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
P( x)dx sin xdx cos x,
u
2
(x
3
1) 2
C
3
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内容小结
. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
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思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
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例1. 解微分方程y y tan y .
同济大学第七版高等数学第七章齐次方程
齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
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一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y ,
x
代入原方程得 u x du (u)
dx
分离变量:
du
dx
(u) u x
两边积分, 得
du
dx
(u) u
x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
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hk6 0 令 x X 1, y Y 5 , 得 dY X Y
dX X Y
再令 Y＝X u , 得
1u
dX
1 u2 du X
积分得
arctan u 1 ln (1 u2) 2
代回原变量, 得原方程的通解:
ln C X
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arctan y 5 x1
1 ln 1 2
2
y5 x1
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*二、可化为齐次方程的方程
1.当 a1 a
( c2 c12 0 )
b1 时, 作变换 x X h, y Y k
b
d x d X , d y dY, 原方程化为
a h bk c
a1h b1k c1
(齐次方程)
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求出其解后, 程的解.
即得原方
2. 当 a1 a
b1 时 , 原方程可化为 b
dy ax by c
(b
dx (a x b y) c1
dv 令 v a x by, dx
0)
a bdy dx
dv a b v c (可分离变量方程)
高数齐次方程
dx
v c1
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
( c2 c12 0 )
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例3. 求解
解: 作变换 x X h, y Y k ，原方程可化为
dY X Y h k 4 d X X Y hk 6
令 h k 4 0 得 h 1, k 5 hk 6 0
即 x X 1, y Y 5 , 得 dY X Y d X X Y
再令 u Y X
,
得
1u 1 u2
du dX X
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积分得
arctan u
1 2
ln
(1
u
2
)
ln
C
X
代回原变量, 得原方程的通解:
arctan
y x
5 1
1 2
ln
1
y5 x 1
2
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y
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*二、可化为齐次方程的方程
( c2 c12 0 )
1.当 a1 b1 时,作变换 x X h, y Y k ( h, k 为待 ab
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1
齐次方程
齐次方程
第三节
齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
返回
一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程.
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
例2.解微分方程 dy y y 解: 方程变形为 2 dx x x
2
y , 令 u , 则有 xu x u Fra bibliotek2 u u 2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
说明:
y2 2C ( x C ) 2
A
y
若已知反射镜面的底面直径为d ,
d
o h
x
顶到底的距离为 h , 则将
2
( C , 0)
d2 代入通解表达式得 C 8h 这时旋转曲面方程为
2 2 d d x y2 z2 4h 16h
*二、可化为齐次方程的方程
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例3.在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,
齐次式常见处理方法
齐次式常见处理方法
在数学中，齐次方程是一个等式，其中所有项的次数都是相同的。
齐次方程可以通过一些常见的处理方法进行求解。
1. 分离变量法：将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后对两边求积分，最后解出方程的特解。
2. 代入新变量法：通过引入新的变量，将齐次方程转化为一阶线性方程，然后使用常规的线性方程求解方法求解。
3. 特征方程法：对齐次方程建立特征方程，再解特征方程，得到特征值，然后利用特征值和对应的特征向量来表示通解。
4. 幂级数法：假设齐次方程的解可以用幂级数表示，然后通过代入系数得到满足条件的递推关系，最后求出齐次方程的通解。
5. 矩阵法：将齐次方程转化为矩阵方程，然后求解出矩阵的特征值和特征向量，再将特征向量代入矩阵方程中，得到齐次方程的通解。
这些处理方法在不同的情况下会有不同的适用性，需要根据具体的齐次方程选择合适的处理方法。
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
h1 ,h 2 , ,h t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
解系, 如果 (1)h 1 ,h 2 , ,h t 是 Ax 0的一组线性无关 的解 ;
如果 h 1 , h 2 , , h t 为齐次线性方程组 的一组基础解系 Ax 0
, 那么 , Ax 0 的通解可表示为
,
h r 1 1 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故h 也是Ax 0 的 解.
下面来证明
h.
h r 1 1 r 2 2 n n r
0 1
b 11 br1
b1 ,n r b r ,n r 0 0
x1 x2 0 xn
x 1 b11 x r 1 b1 ,n r x n x b x b r ,n r x n r1 r 1 r
例1
求齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 x1 7 x 2 3 x 3 x4 0
的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有
1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1
2 7 3 7 5 7 4 7 , , 1 1 2 0 0 1
即得基础解系
并由此得到通解 2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 , ( , R ). c1 1 c 2 0 c1 c 2 x3 x4 0 1
第三节 齐次型方程
可化为齐次型的方程
dy 2x + y − 4 . 例6 求 = − 的通解 dx x + y −1
解 dy
y+2 2( x − 3) + ( y + 2) ,则 令u = =− x−3 dx ( x − 3) + ( y + 2)
du 2+ u u + ( x − 3) =− dx 1+ u 2u + 2 2dx du = − , 2 u + 2u + 2 x−3
第三节
形如
齐次型方程
的微分方程叫做齐次型方程 . 齐次型方程
y 解法: 令 u = , x
代入原方程得 分离变量: 两边积分, 得 积分后再用
du u+x = ϕ(u) dx du dx = ϕ(u) − u x du dx ∫ ϕ(u) − u = ∫ x
代替 u, 便得原方程的通解.
y y 例1. 解微分方程 y′ = + tan . x x y 解: 令u = , 则y′ = u + x u′, 代入原方程得 x u + x u′ = u + tan u cos u dx du = 分离变量 sin u x cos u dx 此处 C ≠ 0 du = ∫ 两边积分 ∫ sin u x 得 ln sin u = ln x + ln C , 即 sin u = C x y 故原方程的通解为 sin = C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
2、 2、( x 2 + 2 xy − y 2 )dx + ( y 2 + 2 xy − x 2 )dy = 0 , y x =1 = 1 . 三、化下列方程为齐次方程,并求出通解: 化下列方程为齐次方程,并求出通解: x+ y+1 1、 y ′ = 1、 ； x− y−3 2、 2、( 2 x − 5 y + 3)dx − ( 2 x + 4 y − 6)dy = 0 .
齐次线性微分方程的解法和特征方程
齐次线性微分方程的解法和特征方程微积分学科中，我们经常会遇到不同形式的微分方程，齐次线性微分方程是其中的一种常见形式。
解这类微分方程的关键是求出特征方程的解。
齐次线性微分方程的一般形式为：$$ a_n(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0 $$其中$a_n(x),a_{n-1}(x),\cdots,a_1(x),a_0(x)$是已知函数且不同时为零。
$y^{(n)}(x),y^{(n-1)}(x),\cdots,y'(x),y(x)$是未知函数$y(x)$的各阶导数，$n$是自然数。
我们将这个微分方程转化为特征方程，令：$$ a_n(x)m^n+a_{n-1}(x)m^{n-1}+\cdots+a_1(x)m+a_0(x)=0 $$其解为$m_1,m_2,\cdots,m_n$。
这里有两种情况：情况一：$m_1,m_2,\cdots,m_n$是不相同的实数对于每个不同的实数$m_i(i=1,2,\cdots,n)$，都存在函数$y_i(x)$，满足：$$ y_i(x)=C_i e^{m_ix} $$其中$C_i$是任意常数。
因为$m_1,m_2,\cdots,m_n$都是实数，所以$y_i(x)$都是实函数。
那么原微分方程的通解就可以表示为：$$ y(x)=C_1 e^{m_1x}+C_2 e^{m_2x}+\cdots+C_n e^{m_nx} $$其中$C_1,C_2,\cdots,C_n$都是任意常数。
情况二：$m_1,m_2,\cdots,m_n$存在相同的实数不妨设$m_1=m_2=\cdots=m_k=m$，$m_{k+1},\cdots,m_n$都是不同于$m$的实数。
则存在函数$f(x),y_1(x),y_2(x),\cdots,y_k(x)$，满足：$$ \begin{aligned} f(x)&=C_1 e^{mx}+C_2 xe^{mx}+\cdots+C_k x^{k-1}e^{mx}\\ y_i(x)&=x^i e^{mx},\ i=1,2,\cdots,k \end{aligned} $$其中$C_1,C_2,\cdots,C_k$都是任意常数。
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法常微分方程是高等数学中的重要内容，也是考研数学中必考的知识点之一。
在常微分方程中，齐次方程和非齐次方程的解法是备战考研的重点。
本文将为大家详细介绍常微分方程的齐次与非齐次解法，助力大家高效备考。
一、齐次方程的解法齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y)的方程，其中f(x,y)满足齐次性质f(tx,ty) = f(x,y)。
齐次方程的解法相对简单，可以通过变量分离法和换元法来求解。
1. 变量分离法变量分离法是求解齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）将方程变形为dy = g(x)dx，其中g(x)为x的函数。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫g(x)dx。
（3）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到y = ∫g(x)dx + C。
（4）得到的方程即为齐次方程的通解。
2. 换元法换元法是另一种常用的齐次方程求解方法。
具体步骤如下：（1）设u = y/x，即y = ux。
（2）将dy/dx = f(x,y)转化为关于u和x的方程，求出du/dx，并将y用u和x表示。
（3）对上式进行变量分离，得到du/u = g(x)dx。
（4）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到ln|u| = ∫g(x)dx + C。
（5）解出u，即得到u = e^(∫g(x)dx + C)。
（6）将u = y/x代入上式，得到y = xe^(∫g(x)dx + C)。
（7）得到的方程即为齐次方程的通解。
二、非齐次方程的解法非齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y) + g(x)的方程，其中g(x)为非零的函数。
求解非齐次方程的方法主要有常数变易法和特解叠加法。
1. 常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）先求齐次方程dy/dx = f(x,y)的通解y0。
（2）设非齐次方程的通解为y = y0 + u(x)，其中u(x)为待定函数。
（3）将y = y0 + u(x)代入非齐次方程，得到dy/dx = f(x,y0+u) + g(x)。
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=06.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:①f(x)=P m(x)eλx型令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最佳的方程结果执笔：缪张华。
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。
下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。
一、齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解：(1) 若齐次线性方程组()=，则只有零解；r A n(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()<.（注：r A n当m n=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A=.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()-.n r A2、非齐次线性方程组AX B=的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O=所对应的同解方程组。
由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），<时，()n是未知量的个数，则有：（1）当m n≤<，此时齐次线r A m n性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A=；（3）当m nA≠，故齐=且()r A n=时，此时系数矩阵的行列式0次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.例 3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩（其中2x ,3x 为自由未知量）令21x =，30x =，得142,0x x ==；令20x =，31x =，得141,0x x =-=，于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，原方程组的通解为1122X k k ξξ=+（其中1k ,2k 为任意实数）.二、非齐次线性方程组的解法⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100r d +=≠，则原方程组无解）例 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）令340,0,x x ==得原方程组的一个特解500η⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
齐次方程的三种通解
齐次方程的三种通解
答：
1、幂级数解法
幂级数解法是一种求解齐次方程的方法，其基本思想是将方程的解表示为无穷级数形式。
通过对齐次方程进行幂级数展开，可以得到一组递推关系式，通过求解递推关系式得到幂级数的系数，进而得到方程的解。
幂级数解法主要适用于具有幂函数形式的解的情况。
2、变量代换法
变量代换法是一种通过引入新的变量来简化齐次方程的方法。
通过将方程中的未知数表示为新变量的函数，可以将方程转化为容易求解的形式。
常用的变量代换法包括：将未知数x表示为t的函数，将方程转化为t的线性方程；将x表示为e^t的函数，将方程转化为常微分方程等。
3、积分因子法
积分因子法是一种通过引入积分因子来简化齐次方程的方法。
通过将方程乘以一个适当的函数，可以将方程的积分转化为容易求解的形式。
常用的积分因子包括：e^(-x^2)，sin(x)，cos(x)，(1+x^2)^(-1/2)等。
齐次方程
代入原方程得
du dx
( u) u
x
dx x
可分离变量的方程
分离变量: 两边积分, 得 积分后再用
du
(u ) u
du
(u ) u
dx x
代替 u, 得到原方程的通解.
例1. 解微分方程 y 解: 令 u
y
y x
tan
2 2
( h, k 为待
b 定常数), 则 d x d X , d y d Y ,
原方程化为
a h bk c
a1h b1k c1
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
求出其解后,
程的解.
2.当 a1 a b1 时 , 原方程可化为 b dy a x by c d x ( a x b y ) c1
第三节 齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
一、齐次方程 形如 例如
x x y y
2
的方程叫做齐次方程 .
该方程可化为
d y dx
xy y
2
2
x 2 xy
y x
x 1 2 y又 Nhomakorabea，dy dx
x y sin
2 2
y 2x
dY dX X Y X Y
令 x X 1, y Y 5 , 得
再令 Y＝X u , 得
1 u 1 u
2
du
dX X
积分得
arctan u
2 1 ln (1 u ) 2
ln C X