数学分析第一章 实数集与函数

数学分析第一章 实数集与函数
有理数对四则运算封闭
• 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论 实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把 “有限小数”（包括整数）也表示为“无限小 数”．为此作如下规定：
对于正有限小数 x a0 .a1 an ,
其中 0 ai 9,i 1, 2, , n, an 0, a0为非负整数
例 a b, 0, a b . 0, a < b + a b
二. 绝对值与不等式
绝对值定义：
|
a
|
a a
, ,
a 0 a0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
0
a
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绝对值的一些主要性质
1. | a| | a| 0 当且仅当 a0 时 | a| 0 2. -|a|a |a| 3. |a|h -h< a< h; |a| h hah, h0 4. a b ab a b 5. | ab|| a| |b| 6. a |a| , b0
a2 b2 a2 c2 b c 成立，它的几何意义是什么？
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作业P4,1(1),2(2),3,4,5(2)
b |b|
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性质 4（三角不等式）的证明：
由性质2
-|a| a |a|, -|b| b |b|
两式相加
-(|a|+|b|)a+b |a|+|b|
由性质 3 上式等价于 |a+b||a|+|b|
把上式的 b 换成 -b 得 |a-b||a|+|b|
由此可推出
| f (x) A | A f (x) A | A | | f (x) | | A |
规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有
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则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。
规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有
x y ，则称 y x
实数的有理数近似表示
定义 2 设 x a0.a1a2 an 为非负实数，称有理数
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三. 几个重要不等式:
（1） a 2 b2 2 ab ,
sin x 1. sin x x .
（2）对 a1, a2,, an R , 记
M (ai )
a1
a2
an n
1 n
n i 1
ai ,
1
G(ai ) n
a1 a2 an
n i1
ai n ,
(算术平均值) (几何平均值)
(3)Bernoulli不等式
对h 0,由二项式展开式 (1 h)n 1 nh n(n 1) h2 hn
2
有(1 h)n 上式右端任何一项。
思考题：
1、设 a、b R, 是任意正数，恒有关系式 a-b 成立，请问
a、b 之间关系如何？ 2、设 a、b、c R , (R 表示全体正实数的集合).有关系式：
H (ai )
1
n 1
1
1
1 n1
n. n1
(调和平均值)
a1 a2
ai ) G(ai ) M (ai ), 等号当且仅当 a1 a2 an 时成立.
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（3） Bernoulli 不 等式 : (在中学已用数学归纳法证明过)
如: x 32.179834521
x5 32.17983 x6 32.179834
x5 32.17984 x6 32.179835 y 187.834521
y4 187.8346 y5 187.83453
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y4 187.8345 y5 187.83452
命题：设x a0.a1a2 与y b0.b1b2 为两个实数 ,
记:x a0.a1 (an 1)9999
2
对于正整数 x a0, 则记 x (a0 1).9999
对于负有限小数（包括负整数） y ,则先将 y 表示为无限
小数，再在所得的小数之前加负号.
例： 2.001 2.0009999
3 2.9999 2.001 2.009999 3 2.9999
xn为实a0.数a1ax2 的ann 位为不实足数近x似的值n，位而不有足理xn近数似xn值 ， 101而 n 有理 x下n 数页 xn
1 10 n
称为 x 的 n 位过称剩为近x似的值n。位过剩近似值。
对于负实数 x 对 于a0负.a1实a2数 axn a0 .a1a2 an
x
的
n
位不足近x似的值n规位定不为足：近x似 n 值规 a0 .定a1 a为2 ：axnn
1a 10 n
0；.a15a2
a
x的n位过剩近似值规定为: xn a0.a1a2 an
比如 2 1.4142,
1.4,1.41,1.414,称为 2的 不足近似值; 1.5,1.42,1.415,称为 2的过剩近似值.
注: 实数x的不足近似xn当n增加时 不减， 过剩近似xn当n增加时不增。
则x y 存在非负整数 n,使得xn yn 。
例2 设x, y为实数, x y;证明存在有理r,数满足 x r y.
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证明:由x y 存在非负整数n,使得xn yn , 取r xn yn ,则r为有理数,且 2 x xn r yn y.
实数的主要性质
1 四则运算的封闭性。
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实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数
x a0.a1a2 an , y b0.b1b2 bn 其中 ak , bk 为非负整数， 0 ak , bk 9 。若由
1） ak bk , k 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x y 2） 若存在非负整数 l ，使得 ak bk , (k 0 , 1 , 2 , , l) ，而 al1 bl1 ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。
2 有序性: 任意两个实数a,b必满足下列关系之一: a b, a b, a b.
3 传递性: a b,b c a c. 4 Archimedes:即对a,b R,若b a 0,则 存在正整数n,使得na b.
5 稠密性:即任两个不等的实数间必有另一个实数。 8
5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密 6 实数集的几何表示： 数轴: