高考必考高中数学函数的凹凸性

目的 : ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程：

一、课题导入

1. 2013 届高三第一次月考试题 12 得分统计表

班级

考试人数 答对人数 答错人数 正确率

高三（1）班（理）

54 19 35 35.1% 高三（11）班（文）

61

12

49

19.7%

2.组织学生现场解答月考试题 12 并进行得分统计，以引出课题

题目： 一高为Ｈ、 满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图 1 所示， 其底部碰了一个小洞， 满缸水 从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图 2 中的（ ）．（选自《中学数学教学参考》 2001 年第 1～2 合期）的《试题集绵》．

函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型． 这种题情景新颖、 背景公平， 能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现 “高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于 教学大纲 ”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有 作专门的研究， 因此， 就多数学生而言， 对这类凹凸性曲线问题往往束手无策； 而教师的 “导 数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一 般性的解法， 无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现 此类的试题都是十分重要的。

二、新课讲授

1、凹凸函数定义及几何特征

高考必考

函数的凹凸性在高考中的应用

图1

如图 3 根据单调函数的图像特征可知：函数

f 1(x)与 f 2(x)都是增函数。但是 f 1(x) 与 f 2(x) 递增方式不同。不同在哪儿？把形如 f 1(x)的增长方式的函数称为凹函数，而形如

f 2(x) 的增长方式的函数称为凸函数。

⑵凹凸函数定义 (根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第 201 页)：

设函数 f 为定义在区间 I 上的函数，若对( a ，b )上任意两点 x 1、 x 2 ，恒有：

(

1) f (x1 x2) f (x1) f(x2) ，则称 f 为( a ，b )上的凹函数； (2)

f (

x1 2

x2)

f (x1)2

f (x2) ，则称 f 为( a ，b )上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征：

几何特征 1(形状特征)

x 1 x 2

A 1(x 1, f (x 1)) ， A 2(x 2, f (x 2)) ，过点

x1 2

x2 作ox 轴的垂线交函数于 凹函数 的形

状特征是：其函数 曲线任意两点 A 1与 A 2之间的部分 位于弦 A 1A 2的下方

;

如图，设 A 1,A 2 是凹函数

y= f (x) 曲线上两点，它们对应的横坐标

x 1 x 2 ，则

A ，交 A 1A 2 于

B ，

图 4 (凹函数) 图 5(凸函数)

图 11 （凸函数）

凸函数 的形状特征是：其函数 曲线任意两点 A 1与 A 2之间的部分 位于弦 A 1A 2的上方。

简记为： 形状凹下凸上 几何特征 2（切线斜率特征）

设 A 1, A 2是函数 y= f （ x ）曲线上两点，函数 曲线 A 1与 A 2之间任

凹函数的切线斜率特征是： 切线的斜率 y= f （x ） 随 x 增大而增大 ； 凸函数的切线斜率特征是： 切线的斜率 y= f （x ） 随 x 增大而减小 ；

简记为： 斜率凹增凸减

几何特征 3（增量特征 ）

A 处切线的斜率：

图 6 （凹函数）

图 7（凸函数）

图 9（凸函数）

图 8 （凹函数） 图 10 （凹函数）

设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9 所示，由图10、11 可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，

Δｙ２，Δｙ３，⋯越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，⋯越来越小；

由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，⋯）

凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；

凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；

简记为：增量凹大凸小

弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．

函数凹凸性的应用

应用 1 凹凸曲线问题的求法

下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．

题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12 所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13 中的（）．

解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．

例1 向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图

14 所示，那么水瓶的形状是（图15 中的）（）．（1998 年全国高考题）

单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液

面越来越小，故选Ｂ．

例2 在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微

机记录后再显示的图象如图16 所示．现给出下面说法：

①前5 分钟温度增加的速度越来越快；

②前5 分钟温度增加的速度越来越慢；

③ 5 分钟以后温度保持匀速增加；

④ 5 分钟以后温度保持不变．

其中正确的说法是（）．

Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③

而5 分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0 ，故选Ｂ．

2001 年第1～2 合期的《试题集绵》，用了增

量法就反成了“看图说画

AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f（x）的图象是（）

图15

解：因为容器中总的水量（即注水量）V 关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个

解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5 分钟前每当ｔ增加一个单位

增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，

注：本题也选自《中学数学教学参考》

例3（06 重庆理）如图所示，单位圆中弧

图16